第14章 重点专题 三角形全等的基本模型-2025-2026学年新教材八年级上册数学7分钟优化课堂(人教版2024）

∴∠DAF+∠CAF=∠CAB+∠CAF, ∴∠DAC=∠FAB. (2)如图,连接AE, " # & $% ' ∵∠AFE=∠ABE=90°, 在Rt△AEF和Rt△AEB中, AE=AE AF=AB ∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL), ∴EF=BE, ∵DF=BC, ∴DF=BC=CE+BE=CE+EF. 重点专题 三角形全等的基本模型 1.解:∵AC∥DF,BC∥EF, ∴∠A=∠EDF,∠ABC=∠E, 在△ABC和△DEF中, ∠A=∠EDF ∠ABC=∠E AC=DF 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABC≌△DEF(AAS), ∴AB=DE, ∴AB-BD=DE-BD, ∴AD=BE. 2.证明:(1)∵∠1=∠2,∠1+∠DPB=∠2 +∠CPB=180°, ∴∠DPB=∠CPB, 在△BDP 和△BCP 中, ∠DPB=∠CPB PB=PB ∠3=∠4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△BDP≌△BCP(ASA). (2)由(1)可知,△BDP≌△BCP, ∴DP=CP, 在△ADP 和△ACP 中, AP=AP ∠1=∠2 DP=CP 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ADP≌△ACP(SAS), ∴AD=AC. 3.(1)证明:∵∠DAB=∠CAE, ∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC, ∴∠DAC=∠BAE, 在△BAE和△DAC中, AE=AC ∠BAE=∠DAC AB=AD 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△BAE≌△DAC(SAS). (2)解:∵△BAE≌△DAC, ∴∠E=∠C, ∵∠CAD=135°,∠D=20°, ∴∠C=180°-∠CAD-∠D=180°- 135°-20°=25°, ∴∠E=∠C=25°. 4.解:(1)∵A(4,0),B(0,3), ∴OA=4,OB=3, ∴OA·OB=4×3=12. (2)如图,作CD⊥x轴于点D, " % Y $ Z # 0 则∠AOB=∠CDA=90°, ∴∠ACD+∠CAD=90°, ∵∠BAC=90°, ∴∠CAD+∠BAO=90°, ∴∠ACD=∠BAO, 在△BAO和△ACD 中, ∠AOB=∠CDA ∠BAO=∠ACD AB=CA 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△BAO≌△ACD(AAS), ∴AD=OB=3,CD=OA=4, ∴OD=OA+AD=4+3=7, ∴C(7,4). 5.解:(1)延长线段FD 到点G,使DG=BE, 连接AG,则∠ADG=90°, ·101· 在△ABE和△ADG中, AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABE≌△ADG(SAS), ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∵∠BAD=120°,∠EAF=60°, ∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF= 120°-60°=60°, ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=60°, ∴∠EAF=∠GAF=60°, 在△AEF和△AGF中, AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△AEF≌△AGF(SAS), ∴EF=GF=GD+DF, ∴BE+DF=EF. (2)结论仍然成立,理由如下: 如图,延 长 CB 到 G,使 BG=DF,连 接AG, " ' # % $&( ∵ ∠ABE + ∠ADC =180°,∠ABE + ∠ABG=180°, ∴∠ADC=∠ABG, 在△ADF和△ABG中, AD=AB ∠ADF=∠ABG DF=BG 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ADF≌△ABG(SAS), ∴AG=AF,∠DAF=∠BAG, ∵∠EAF=12∠BAD , ∴∠BAE+∠DAF=12∠BAD , ∴ ∠BAE + ∠BAG = 12 ∠BAD ,即 ∠EAG=12∠BAD , ∴∠EAG=∠EAF, 在△AEG和△AEF中, AG=AF ∠EAG=∠EAF AE=AE 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△AEG≌△AEF(SAS), ∴EF=GE=BE+GB, ∴BE+DF=EF. 技巧专题 构造全等三角形的常用方法 1.证明:如图,连接AC, " # $ & % ' 在△ABC与△ADC中, AB=AD BC=DC AC=AC 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABC≌△ADC(SSS), ∴∠EAC=∠FAC, ∵E,F分别是AB,AD 的中点, ∴AE=12AB ,AF=12AD , ∵AB=AD, ∴AE=AF, 在△AEC与△AFC中, AE=AF ∠EAC=∠FAC AC=AC 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△AEC≌△AFC(SAS), ∴EC=FC. 2.证明:延长AE,BC交于点F, ' #$ & % " ∵BE⊥AF, ∴∠AEB=∠FEB=90°, ·201· 重点专题 三角形全等的基本模型 一、平移模型 1.如图,点A,D,B,E在一条直线上,AC∥DF,BC∥EF,AC=DF,试说明AD=BE. " # $ % & ' 二、对称模型 2.如图,在四边形ACBD 中,点P 在对角线AB 上,连接PC,PD.已知∠1=∠2,∠3=∠4. (1)求证:△BDP≌△BCP. (2)求证:AD=AC. "     $ # % 1 三、手拉手模型 3.如图,已知 AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC,BE. (1)求证:△BAE≌△DAC. (2)若 ∠CAD=135°,∠D=20°,求∠E的度数. "% & # $ ·92· 四、一线三等角模型 4.如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰 直角三角形ABC,AB=AC,∠BAC=90°. (1)求出OA·OB的值. (2)求点C坐标. "0 # Z Y $ 五、半角模型 5.(1)问题背景:如图1,在四边形ABCD 中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°, 点E,F分别是BC,CD 上的点,且∠EAF=60°,请探究图中线段BE,EF,FD 之间的 数量关系,并说明理由. (2)拓展应用:如图2,在四边形ABCD 中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,点E,F分别是 BC,CD 上的点,且∠EAF=12∠BAD ,(1)中的线段BE,EF,FD 之间的数量关系是 否还成立? 若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由. 
 
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