第14章 技巧专题 构造全等三角形的常用方法-2025-2026学年新教材八年级上册数学7分钟优化课堂(人教版2024）

技巧专题 构造全等三角形的常用方法 一、连“公共边”法 1.如图,在一个风筝ABCD 中,AB=AD,BC=DC,分别在AB,AD 的中点E,F 处挂两根 彩线EC,FC. 求证:EC=FC. " # & ' % $ 二、延长法 2.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D 是边AC 上的点,AE⊥BD;交BD 的延长 线于点E,且AE=12BD ,求证:BD 是∠ABC的平分线. " & $ # % 三、作垂线法 3.如图,在四边形ABCD 中,∠BAC=90°,过点D 作DE⊥AC,交BC于点E,若DE=BC, AC=4,S△CDE=6,求CE的长. " & % # $ ·13· 四、倍长中线法 4.如图,已知CD=AB,∠BAD=∠BDA,AE是△ABD 的中线.求证:AC=2AE. " # & % $ 五、截长补短法 5.如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD 上,求证:BC=AB+CD. " # & % $ ·23· 在△ABE和△ADG中, AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABE≌△ADG(SAS), ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∵∠BAD=120°,∠EAF=60°, ∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF= 120°-60°=60°, ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=60°, ∴∠EAF=∠GAF=60°, 在△AEF和△AGF中, AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△AEF≌△AGF(SAS), ∴EF=GF=GD+DF, ∴BE+DF=EF. (2)结论仍然成立,理由如下: 如图,延 长 CB 到 G,使 BG=DF,连 接AG, " ' # % $&( ∵ ∠ABE + ∠ADC =180°,∠ABE + ∠ABG=180°, ∴∠ADC=∠ABG, 在△ADF和△ABG中, AD=AB ∠ADF=∠ABG DF=BG 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ADF≌△ABG(SAS), ∴AG=AF,∠DAF=∠BAG, ∵∠EAF=12∠BAD , ∴∠BAE+∠DAF=12∠BAD , ∴ ∠BAE + ∠BAG = 12 ∠BAD ,即 ∠EAG=12∠BAD , ∴∠EAG=∠EAF, 在△AEG和△AEF中, AG=AF ∠EAG=∠EAF AE=AE 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△AEG≌△AEF(SAS), ∴EF=GE=BE+GB, ∴BE+DF=EF. 技巧专题 构造全等三角形的常用方法 1.证明:如图,连接AC, " # $ & % ' 在△ABC与△ADC中, AB=AD BC=DC AC=AC 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABC≌△ADC(SSS), ∴∠EAC=∠FAC, ∵E,F分别是AB,AD 的中点, ∴AE=12AB ,AF=12AD , ∵AB=AD, ∴AE=AF, 在△AEC与△AFC中, AE=AF ∠EAC=∠FAC AC=AC 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△AEC≌△AFC(SAS), ∴EC=FC. 2.证明:延长AE,BC交于点F, ' #$ & % " ∵BE⊥AF, ∴∠AEB=∠FEB=90°, ·201· ∴∠FAC+∠ADE=90°, ∠CDB+∠DBC=90°, ∵∠ADE=∠CDB, ∴∠FAC=∠DBC, 在△AFC和△BDC中, ∠FAC=∠CBD AC=BC ∠ACF=∠ACB 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△AFC≌△BDC(ASA), ∴AF=BD, ∵AE=12BD , ∴AE=12AF=FE , 在△AEB和△FEB中, AE=EF ∠AEB=∠FEB EB=EB 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△AEB≌△FEB(SAS), ∴∠ABE=∠FBE, ∴BD 是∠ABC的平分线. 3.解:如图,过点D作DH⊥BC于点H, # $& % " ) ∴∠EHD=90°,∵∠BAC=90°∴∠BAC =∠EHD, ∵AB⊥AC,DE⊥AC, ∴AB//DE,∴∠B=∠DEH, 在△ABC和△EHD 中, ∠BAC=∠DHE ∠B=∠DEH BC=ED 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ΔABC≌ΔEHD(AAS),∴AC=HD=4, ∵S△CDE=6,∴CE·HD=12,∴CE=3. 4.证明:如图,延长AE至F,使EF=AE,连 接BF,则 " # & % $ ' ∵EF=AE, ∴AF=2AE, ∵AE是△ABD 的中线, ∴BE=DE, 在△ADE与△FBE中, AE=FE ∠AED=∠FEB DE=BE 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ADE≌△FBE(SAS), ∴BF=DA,∠FBE=∠ADE, ∵∠ABF=∠ABD+∠FBE,∠BAD=∠BDA, ∴∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+ ∠BAD=∠ADC, 在△ABF与△CDA 中, AB=CD ∠ABF=∠CDA BF=DA 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABF≌△CDA(SAS), ∴AF=AC, ∵AF=2AE, ∴AC=2AE. 5.证明:如图,在BC上取点F,使BF=BA, 连接EF, & % $'# " ∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD, ∴∠ABE=∠FBE,∠FCE=∠DCE, 在△ABE和△FBE中, AB=FB ∠ABE=∠FBE BE=BE 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ·301· ∴△ABE≌△FBE(SAS), ∴∠A=∠BFE, ∵AB∥CD, ∴∠A+∠D=180°, ∴∠BFE+∠D=180, ∵∠BFE+∠CFE=180°, ∴∠CFE=∠D, 在△CDE和△CFE中, ∠CFE=∠D ∠FCE=∠DCE CE=CE 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△CDE≌△CFE(AAS), ∴CF=CD, ∵BC=BF+CF, ∴BC=AB+CD, 精练7 角的平分线的性质 1.A 2.解:如图,射线OC即为所求 0 / # $ " . 3.C 4.D 5.A 6.A 7.4 8.5 9.5 10.6cm 11.(1)解:∵EF⊥AB, ∴∠AFE=90°, ∴∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40°, ∵∠BAD=100°, ∴∠DAE=180°-100°-40°=40°. (2)证明:如图,过E 作EM⊥AD 于M, EN⊥BC于N, # % / $ & ' " . ∵BE平分∠ABC,EF⊥AB, ∴EF=EN, ∵∠EAF=∠DAE=40°, ∴AE平分∠DAF, ∴FE=EM, ∴EM=EN, ∵EM⊥AD,EN⊥CD, ∴DE平分∠ADC. (3)解:∵△ACD 的面积=△ADE 的面 积+△CDE的面积, ∴12AD ·EM+12CD ·EN=18, ∴12 (AD+CD)·EM=18, ∴12× (4+8)×EM=18, ∴EM=3, ∴EF=3, ∴△ABE 的面积=12AB ·EF=12×6 ×3=9. 精练8 角的平分线的判定 1.B 2.C 3.解:(1)如图,过点D 作AB 和AC 的垂线 交E,F 两 点,过 点 D 作 BC 的 垂 线 交 于点G, " ( $ ' % & # ∵BD 和CD 分别是△ABC两个外角的角 平分线, DE⊥AB,DF⊥AC,DG⊥BC, ∴DE=DG,DF=DG, ∴DE=DF. (2)在,理由如下: ∵DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF, ∴点D 在∠BAC的角平分线上. 4.D 5.B 6.③ 7.(1)证 明:如 图,过 点 F 作FG⊥AB 于 点G, ·401·