福建省南平市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

南平市2024-2025学年高一下学期期末质量检测 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1． 答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是 A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 2．已知向量，，则 A． B． C． D． 3．设，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态．根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是 （第4题图） A．图（1）中平均数中位数众数 B．图（2）中平均数众数中位数 C．图（2）中众数平均数中位数 D．图（3）中平均数中位数众数 5．已知三棱锥，，点，分别是棱，的中点，且，则异面直线与所成的角是 A． B． C． D． 6．已知的三个内角，，的对边分别为，，．若，，且 的面积为，则 A． B． C． D． 7．已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为 A． B． C． D． 8．已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是 A． B． C． D． 高一数学试题 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某影院连续天的观影人数（单位：百人）依次为，，，，，，，，，，则下列关于这天观影人数的结论正确的是 A．众数为 B．平均数为 C．中位数为 D．第百分位数为 10．若平面向量，满足，，则 A． B．与的夹角为 C． D． 11．如图，正方体的棱长为，是四边形内（包括边界）的一个动点，则下列结论正确的是 （第11题图） A．当在线段上时，三棱锥的体积是定值 B．当是线段的中点时，的周长是 C．当是线段的中点时，三棱锥的外接球的体积是 D．当是棱的中点时，的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量与共线，则实数 ▲ ． 13．如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点．将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点．若三棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为 ▲ ． （第13题图） 14．研究人员从某公司员工的体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名女工员、20名男员工的体重数据，计算得到10名女员工的平均体重为52（单位：kg），方差为6；20名男员工的平均体重为64（单位：kg），方差为3.则这30名员工体重的平均数是 ▲ ，方差是 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数，,是虚数单位． （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 16．（15分） 从某次测试中随机抽取份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． （第16题图） （1）求的值和抽取测试卷的成绩的第百分位数； （2）对成绩在和的抽取测试卷，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取份，再从这份测试卷中随机抽取份了解答题情况，写出这份测试卷所有可能结果构成的样本空间，并求这份测试卷成绩都在的概率. 17．（15分） 某高校“强基计划”自主招生的面试中有三道不同的题目，每位面试者依次作答．若答对两道题目，则面试通过，结束面试；若答错两道题目，则面试不通过，结束面试．已知李明答对第一道题目的概率为，答对第二道题目的概率为，答对第三道题目的概率为，假设每道题目是否答对是独立的． （1）求李明第二次答题后结束面试的概率； （2）求李明最终通过面试的概率． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，过点作交于点． （1）若是的中点，过点作一个截面，使得该截面与平面平行，请画出截面，并写出作图过程（无需证明）； （2）证明：平面； （3）求二面角的余弦值． （第18题图） 19．（17分） 已知的三个内角，，的对边分别为，，，点是的外心． （1）当时，求； （2）对于任意的，，，，用向量方法证明不等式 　 　（当且仅当时，等号成立）； （3）若，求 的最大值． $$高一数学参考答案及评分标准 第1页（共 5 页） 南平市 2024-2025 学年高一下学期期末质量检测 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．C 2．C 3．A 4．D 5．A 6．B 7．B 8．C 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．BC 10．ACD 11．ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12． 4 13． 24 14． 60 ；36 （第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解】（1）由题可得， 2 2 0m m+ − = ，且 24 0m−  ，………………………………………………2分 解得 1m = 或 2m = − ．……………………………………………………………………………………3分 又 2m   ，…………………………………………………………………………………………………4分 故 1m = ．……………………………………………………………………………………………………6分 （2）当 1m = − 时， 2 3iz = − + ，………………………………………………………………………………7分 代入关于 x的方程 2 0x px q+ + = ，得 ( ) ( ) 2 2 3i 2 3i 0p q− + + − + + = ， 整理得，( ) ( )5 2 3 12 i = 0p q p− − + + − ，………………………………………………………………………9分 因为 p，q为实数，所以 5 2 0, 3 12 0. p q p − − + =  − = ，…………………………………………………………………11分 解得 4p = ， 13q = ，故实数 p， q的值分别为 4，13．…………………………………………………13分 16．（15 分） 【解】 （1）由频率分布直方图可得， ( )10 0.01 0.015 0.015 0.025 0.005 1a + + + + + = ，………………………………………1分 解得， 0.030a = ．…………………………………………………………………………2分 又由频率分布直方图可得，  )40,50 ，  )50,60 ，  )60,70 ，  )70,80 ，  )80,90 ，  90,100 的频率依次 为： 0.1， 0.15， 0.15， 0.3， 0.25 ， 0.05 ，………………………………………………………………3分 高一数学参考答案及评分标准 第2页（共 5 页） 所以前 4组的频率为 0.1+0.15+0.15+0.3 0.7= ，………………………………………………………………4分 前 5 组的频率为 0.1+0.15+0.15+0.3+0.25 0.95= ，……………………………………………………………5分 故第80 百分位数在区间  )80,90 上，因此第80 百分位数为 0.8 0.780 84 0.025 − + = ．……………………7分 （2）采用比例分配的分层抽样从  )40,50 和  )50,60 抽取5 份测试卷，由于0.1: 0.15 2 : 3= ，…………8分 故成绩在  )40,50 的测试卷中抽取份数为 2 5 2 2 3  = + ，记作 a， b；……………………………………9分 成绩在  )50,60 的测试卷中抽取份数为 3 5 3 2 3  = + ，记作 A， B，C，…………………………………10分 则从抽取的5份测试卷中随机抽取2份测试卷的所有可能构成的样本空间为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C = ，共有10个样本点，…………13分 设事件D =“这 2份测试卷成绩都在  )50,60 ”，则 ( ) ( ) ( ) , , , , ,D A B A C B C= ，所以 ( ) 3n D = ，从而 ( ) ( ) ( ) 3 10 n D P D n = =  ．………………………………………………14分 因此，这 2 份测试卷成绩都在  )50,60 的概率是 3 10 ．…………………………………………………15分 17．（15 分） 【解】 设 iA表示“李明答对第 i道题目”，（ 1,2,3i = ）．………………………………………………1分 （1）设 B表示“李明第二次答题后结束面试”， ………………………………………………………2分 则 1 2 1 2B A A A A= ，且 1 2A A ， 1 2A A 互斥．……………………………………………………………………4分 因为每道题目是否答对是独立的，所以 1A与 2A 相互独立， 1A与 2A 相互独立，……………………………6分 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 3 1 2 14 5 5 5 5 25 P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A= = + = + =  +  = ．……9分 （2）设C表示“李明最终通过面试”， …………………………………………………………………10分 则 1 2 1 2 3 1 2 3C A A A A A A A A= 且 1 2A A ， 1 2 3A A A ， 1 2 3A A A 互斥，………………………………………………12分 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3P C P A A A A A A A A P A A P A A A P A A A= = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 1 2 3P A P A P A P A P A P A P A P A= + + 4 3 4 2 2 1 3 2 82 5 5 5 5 5 5 5 5 125 =  +   +   = ．………………………………………………………………14分 因此，李明最终通过面试的概率是 82 125 ．………………………………………………………………15分 18．（17 分）（评分说明：若本题第（2）、（3）小问利用空间坐标法求解，不给分．） 高一数学参考答案及评分标准 第3页（共 5 页） 【解】 （1）如图，取CD的中点 N，BC的中点 S ，连接MN ，MS ，NS ， 则截面MNS与平面 EDB平行．………………………………………4分 （评分说明：画出正确的截面图得 2 分，作图过程说明得 2 分，共 4 分．注 意虚实线是否作图正确，若有错误，扣 1 分．） （2）因为 PD ⊥平面 ABCD， BC 平面 ABCD， 所以 PD BC⊥ ．………………………………………………………………5分 在矩形 ABCD中， BC CD⊥ ， PD CD D= ， PD 平面 PDC ，DC 平面 PDC ， 故 BC ⊥平面 PDC．……………………………………………………………………………………………6分 又DE 平面 PDC，故DE BC⊥ ．…………………………………………………………………………7分 在 PDC△ 中， PD DC= ， E是 PC的中点，所以DE PC⊥ ，又 PC BC C= ， PC 平面 PBC ， BC 平面 PBC ，故DE ⊥平面 PBC ，……………………………………………………………………8分 而 PB平面 PBC ，于是 PB DE⊥ ．…………………………………………………………………………9分 因为 EF PB⊥ ， EF DE E= ， EF 平面 EFD，DE 平面 EFD， 所以 PB ⊥平面 EFD．………………………………………………………10分 （3）由（2）知 PB ⊥平面 EFD，于是 PB DF⊥ ，…………………11分 所以 EFD 即为二面角C PB D− − 的平面角．……………………………12分 在 PDB△ 中， PD BD⊥ ， 2PD = ， 5BD = ，故 3PB = ， 从而 2 5 3 DF = ．………………………………………………………………………………………………13分 在 PBC△ 中， BC PC⊥ ， EF PB⊥ ，故 EF BC PE PB = ，从而 2 3 EF = ．……………………………………14分 又在 EFD△ 中， 2DE = ，故由余弦定理得， 2 2 2 2 20 2 109 9cos 2 102 10 2 9 EF DF DE EFD EF DF + − + −  = = =   ，……………………………16分 所以二面角C PB D− − 的余弦值为 10 10 ．…………………………………………………………………17分 19．（17 分） 【解】 （1）因为点O是 ABC△ 的外心，所以点O在边 AB的中垂线上．如图设点M 为线段 AB的中点， 则 AM 为 向 量 AO 在 向 量 AB 上 的 投 影 向 量，………………………………………………………1分 设 AO与 AB的夹角为 ，所以 θ M O B C A S N M E P CD BA F E P CD A B F 高一数学参考答案及评分标准 第4页（共 5 页） cos 1 2 2AO AB AO AB AM AB= = =  = ．…………………………3分 （2）构造向量 ( ),m n=u ， ( ),p q=v ．因为 cos=u v u v （其中  为向量u， v的夹 角），…………………………………………………………………………………………4分 所以 2 2 2 2 cosmp nq m n p q + = + + ，………………………………………………………………5分 于是 ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cosmp nq m n p q m n p q+ = + +  + + ， 即 ( )( ) ( ) 22 2 2 2m n p q mp nq+ +  + ………………………………………7分 当且仅当 2cos 1 = ，即 cos 1 =  ， 0 = 或时，等号成立，此时u与 v共线，有 0mq np− = ，即 mq np= ，不等式得证．………………………………………………………………………………………8分 （3）如图，令 CAO  = ，由 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 2 AC AB AB AO AC AO AO AB AC + = ， 得 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 cos cos 2 b c c AO b AO AO c b  + = ，…………………………………9分 化简得 2 2 5 cos cos 2 b c AO c b  + = ．………………………………………………………………………10分 由点O是 ABC△ 的外心可知，O是三边中垂线的交点，故有 cos 2 c AO  = ， cos 2 b AO  = ，代入上 式得 2 2 5 22 2 b c c b AO c bAO AO + = ，………………………………………………………………………11分 所以 2 2 2 5b c AO+ = ．…………………………………………………………………………………12分 又 AO是 ABC△ 的外接圆的半径，故 sin 2 b B AO = ， sin 2 c C AO = ，于是有 3 3 sin 3sin 2 2 2 b c b c B C AO AO AO + + = + = ，……………………………13分 由（2）结论可知， ( )( ) ( )22 2 2 21 3 3b c b c+ +  + ，故 ( ) 22 3 50b c AO+  ，………………………15分 从而 3 5 2b c AO+  ，于是 5 23 5 2 22 2 AOb c AO AO +  = ，当且仅当3b c= 时，等号成立，………16分 因此 sin 3sinB C+ 的最大值为 5 2 2 ．…………………………………………………………………17分