精品解析：湖南省永州市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

永州市一中2025年上期高二期末考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 2. 若全集，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数的性质求得集合,进而进行集合的运算求得集合的补集，然后判定相关集合的包含关系是否成立. 【详解】集合 ，集合. 因为全集 （所有实数）,所以 . 选项 A: 取（因为 )，但 （因为  仅包含正实数），因此，，选项 A 错误； 选项 B: 取（当  时，)，但 （因为 )，因此，，选项 B 错误； 选项 C: ，，对于任意 ，有 ，所以 ，因此，，选项 C 正确； 选项 D: ，，取 ，但 ，所以 ，因此，，选项 D 错误. 故选： C. 3. 若向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的定义计算即可得出结果. 【详解】∵，. ∴，，，∴， 且，则， 故选：B. 4. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可. 【详解】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 5. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得， 因为，所以， 则，故， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为． 6. 已知双曲线a的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知双曲线a的一个焦点为，可知焦点位于x轴上，半焦距.设双曲线方程为：，渐近线方程为.根据圆的方程可知圆心为焦点，半径为. 圆心到渐近线的距离d等于半径r，根据点到直线距离公式得到b，根据得到a，从而计算出离心率. 【详解】已知双曲线a的一个焦点为，故焦点位于x轴上，半焦距.设双曲线方程为：，渐近线方程为. 已知圆得方程：，圆心即为焦点，半径为. 圆心到渐近线的距离d等于半径r，由点到直线的距离公式可得： ，代入得：. 由. 所以离心率. 故选：C. 7. 已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设底面边长为，则高，体积，设，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极大值点，从而求出. 【详解】设底面边长为，则高， 由，所以， 所以体积 ， 设，，则， 所以当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以当时取得极大值，即为最大值，此时该棱锥的体积最大， 此时. 故选：D． 8. 已知，则满足的实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、对勾函数以及复合函数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案. 【详解】由，易知其定义域为， 由 ，则函数为偶函数， ， 由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 由，则，即， 整理可得，化简可得， 解得. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 是增函数 【答案】CD 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质可得的性质，故可得正确的选项. 【详解】因为，故，故A错误； 而，故不是偶函数，故B错误； 而， 故，故的图象关于点中心对称，故C正确； 设，则即， 故是上的增函数，故D正确； 故选：CD. 10. 已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 是周期为2的函数 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用抽象函数的对称性、奇偶性、周期性一一判定选项即可. 【详解】对于A，因为是R上的奇函数，其图象关于原点对称， 又可看成是函数向左平移1个单位得到，所以的图象关于点中心对称，故A正确； 对于B，由是R上的奇函数，可得，即 ， 又，则，所以，故是周期为4的函数，故B错误； 对于 C，由，令，得，则， ，故C正确； 对于D，由，则，又，是周期为4的函数， 则， 而的值无法确定，故D错误. 故选：AC. 11. 定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 当时， D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角形等面积法及余弦定理可判断A，再由基本不等式得出范围即可得出面积最大值判断B，再由题目条件得出三角形为等腰直角三角形，即可求出最大值判断C，由C中结论及基本不等式判断D. 【详解】设角所对的边长为 由三角形的面积公式可得， 所以，由余弦定理，可得，所以，故A正确； 由，又，所以， 所以，所以，且仅当时取等，B正确； 设边上的中点分别为，在上取一点M，在上取一点， 由两点间线段最短可得，当且仅当 四点共线时取等，所以，又， 所以，解得，所以，，所以，故C错误； 由前可知，，当且仅当时取等，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为奇函数，则实数a的值是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由奇函数的定义域关于原点对称得出，再检验即可求解． 【详解】由题意知，得， 令，解得或， 又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 所以，解得，即， 令，其定义域为， ，满足题意， 故答案为：4． 13. 已知数列满足，则数列前100项和为____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先用已知等式求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出前100项和即可. 【详解】由题意得， ①， 当时，， 当时， ②， 用①减去②，得，化简得， 当时，也满足， ，即， 则， 设数列前项和为， ， 数列前100项和， 故答案为：. 14. 若，为正实数，函数在上单调递增，则的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】对原函数求导得，根据已知，为正实数，函数在上单调递增，得出.分析导数非负条件，得到临界点，从而得到a，b关系：，构造函数，求导并令得到，根据导数单调性判断为最大值. 【详解】求导得：.已知，为正实数，函数在上单调递增，故对所有恒成立. 当时，，此时需要； 当时，，此时需要； 当时，，此时等式成立. 特别地，当时，，此时必须满足，即. 综合可得为临界点，此时： 求最大值：将b代入，得. 设，求导：. 令：，. 故 当时，，函数递增； 当时，，函数递减; 所以时，取得最大值：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，，，，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若，求最大正整数． 【答案】（1）证明：，， 可得，又， 数列为等比数列，首项为，公比为． （2）99 【解析】 【分析】（1）根据题设可得，进而求证即可； （2）由（1）得，再利用分组求和法求出，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， ， 由，则， 在定义域内单调递增， 且时，，时，， 所以． 16. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，由计算可得； （2）依题意可得恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，依题意，解得； 【小问2详解】 因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，． （1）证明：； （2）若，为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接，作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定线线垂直即可. （2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，用向量求法解决即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知，，两两垂直，以A为坐标原点，以，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，，， 所以． 由（1）知，平面，所以为平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为． ①若直线的倾斜角为，求线段的长度； ②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由． 【答案】（1） （2）①；②有， 【解析】 【分析】（1）根据条件，建立方程组，即可求解； （2）①由题知直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消得到，再利用弦长公式，即可求解；②设直线，联立椭圆方程，消得到，设直线的斜率分别为，进而可得，又，即可求解. 【小问1详解】 由题知，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设， ①当直线的倾斜角为时，直线的方程为， 由，消得到， 所以， 所以. ②由（1）知，易知， 设直线，由，消得到， 所以， 设直线的斜率分别为，且， 所以， 得到，又， 当且仅当，即时，的最大值为， 又，所以的最大值为. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）问中的②，设直线，联立椭圆方程，消得到，由韦达定理知，设直线的斜率分别为，从而得出，又，即可求解. 19. 《最强大脑》“脑王争霸”是节目中最激烈的高智商对抗环节，通常由往届擂主与多名挑战者进行多轮脑力对决．现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙． （1）擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为．求该擂主连胜三局的概率． （2）若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． （i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：． 【答案】（1） （2）（i） 2 4 5 最大值为． （ii）设事件A,B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”． 由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数， 由题设可知前两局比赛结果可能是AA,BB,AB,BA，其中事件AA表示“甲赢得比赛”， 事件BB表示“乙赢得比赛”，事件AB,BA表示“甲、乙各得1分”， 当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以 , 因此，得， 而，所以. 【解析】 【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率公式计算即可． （2）（i）求出所有可能值，利用相互独立事件与互斥事件概率运算求得相应的概率，列出分布列并求得期望，再利用基本不等式并结合二次函数性质即可求得期望的最大值； （ii）设事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，则，利用相互独立事件概率运算即可求解． 【小问1详解】 设该擂主连胜三局为事件，该擂主与甲、乙、丙比赛获胜分别为事件B,C,D，则， 由题知，事件A,B,C相互独立， 所以， 所以该擂主连胜三局的概率为． 【小问2详解】 （i）因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则， 由题意得的所有可能取值为：2,4,5， , ， 所以的分布列为： 2 4 5 所以的期望为： ， 由，得，当且仅当时取等号，则， 因此， 所以的最大值为． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州市一中2025年上期高二期末考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 2. 若全集，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 5. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知双曲线a的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 已知，则满足的实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 是增函数 10. 已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 是周期为2的函数 C. D. 11. 定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 当时， D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为奇函数，则实数a的值是__________． 13. 已知数列满足，则数列前100项和为____________． 14. 若，为正实数，函数在上单调递增，则的最大值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，，，，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若，求最大正整数． 16. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，． （1）证明：； （2）若，为的中点，求与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为． ①若直线的倾斜角为，求线段的长度； ②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由． 19. 《最强大脑》“脑王争霸”是节目中最激烈的高智商对抗环节，通常由往届擂主与多名挑战者进行多轮脑力对决．现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙． （1）擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为．求该擂主连胜三局的概率． （2）若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． （i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $