湖南省永州市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

永州市一中2025年上期高二期末考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 2. 若全集，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 5. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知双曲线a的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 已知，则满足的实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 是增函数 10. 已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 是周期为2的函数 C. D. 11. 定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 当时， D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为奇函数，则实数a的值是__________． 13. 已知数列满足，则数列前100项和为____________． 14. 若，为正实数，函数在上单调递增，则的最大值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，，，，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若，求最大正整数． 16. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，． （1）证明：； （2）若，为的中点，求与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为． ①若直线的倾斜角为，求线段的长度； ②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由． 19. 《最强大脑》“脑王争霸”是节目中最激烈的高智商对抗环节，通常由往届擂主与多名挑战者进行多轮脑力对决．现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙． （1）擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为．求该擂主连胜三局的概率． （2）若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． （i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：． 永州市一中2025年上期高二期末考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）证明：，， 可得，又， 数列为等比数列，首项为，公比为． （2）99 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 证明：连接，作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）①；②有， 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i） 2 4 5 最大值为． （ii）设事件A,B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”． 由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数， 由题设可知前两局比赛结果可能是AA,BB,AB,BA，其中事件AA表示“甲赢得比赛”， 事件BB表示“乙赢得比赛”，事件AB,BA表示“甲、乙各得1分”， 当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以 , 因此，得， 而，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $