倾斜角与斜率讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

专题二 直线和圆的方程 微点7 本是同根生：倾斜角与斜率 直线的倾斜角和斜率是解析几何的起始课．直线的倾斜角是刻画直线倾斜程度和确定直线位置的基本要素之一． 首先，直线的倾斜角和斜率可以确定一条直线的方向，通过直线方向这一几何对象代数化的过程，我们可以初步体会用坐标法解决几何图形的过程； 第二，由直线的倾斜角与斜率可以确定两直线的位置关系，判定线线平行及垂直，从而提升我们数学抽象、直观想象、数学运算等数学核心素养； 最后根据斜率（倾斜角）范围确定倾斜角（斜率）范围的问题，既考察直线图形特征，也考察函数思想；一些基本平面图形的判断（如直角三角形、平行四边形、菱形）可以利用相应边上点的坐标转化为直线斜率，从而利用代数式进行判断，这打破了原来只能依据几何图形特征判断的局限． 探究一　一倾倾角定方向 围绕倾斜角和斜率定义，探究直线倾斜角与斜率之间的关系，并利用“斜率图”解决由角定斜率和由斜率定角两类问题． 【典例1】（1）设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（    ） A．                 B． C．               D．当时，为；当时，为 （2）直线的过和两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为______． 【思路引导】从直线的倾斜角和斜率的概念出发，理解两者的关系．理解倾斜角的范围和直线斜率的求法，体会数形结合的应用． 【详细解析】（1）由于倾斜角的范围是，显然选项A，B，C未分类讨论，均不全面，不符题意．对于选项D，依据题意可以画出图如下： 所以，当时，直线的倾斜角为；当时，直线的倾斜角为． 故选：D． （2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 因为直线过两点和，所以直线的斜率． 于是直线的斜率． 【题后反思】解答直线的倾斜角与斜率概念类问题，关键要抓住：①倾斜角的定义（特别注意旋转方向）；②倾斜角的范围（）；③斜率计算公式：或；④数形结合分析问题． 【举一反三】 1．已知直线l过点，，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围． 【典例2】已知两点，，直线l与线段AB有公共点， （1）若直线l过点，则直线l的斜率k的取值范围是______； （2）若直线l过点，则直线l的斜率k的取值范围是______． 【思路引导】作出相应点、线段，根据两点斜率公式及倾斜角与斜率的关系计算即可． 【详细解析】（1）由题意可知，， 如图所示， 要使l与线段AB有公共点，则需或， 所以直线l的斜率k的取值范围是或． （2）由题意可知，， 如图所示， 要使l与线段AB有公共点，则需， 即直线l的斜率k的取值范围是． 【题后反思】直线l的斜率是“在中间”还是“在两边”？取决于过点P且垂直于x轴的直线与线段AB是否有交点．若有交点，则斜率“在两边”，即或．若没有交点，则斜率“在中间”，即． 【举一反三】 2．已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 探究二　二倾倾线定位置 两直线的平行与垂直是两直线位置关系判断的基本问题，可以从直线倾斜角、直线斜率、直线的方向向量多角度思考，但平行时需要排除两直线重合的情形，同时都需要考虑斜率不存在的情形． 【典例3】已知点，，，，若直线与平行，求实数． 【思路引导】利用斜率判断两直线平行时，首先需要考虑两直线斜率是否存在，其次斜率相等时需排除两直线重合的情形．另外，依据两点确定一条直线，直线的方向也可以由直线上两点确定的向量来求得，因此，两直线平行的判定可以利用他们方向向量互相平行求解． 【详细解析】方法1：因为，． 因为，所以，且直线与直线不重合．得， 解得或． 当时，，， 此时，点，，共线，不满足； 当时，，满足条件．故所求实数． 方法2（向量法）：由条件可得，，，因为，所以，即，解得或． 当时，，此时，，，三点共线，这与矛盾；当时，满足题意．故所求实数． 【题后反思】1．利用斜率判断两直线平行的步骤如下： 3.利用直线的方向向量判断两直线平行的步骤如下： ①确定两直线，的方向向量分别为，； ②判断是否成立（含参数问题解方程求出参数值）； ③当时，验证直线与是否重合； ④给出结论． 【举一反三】 3．（多选）满足下列条件的直线与一定平行的是（    ） A．直线的倾斜角为，直线经过点， B．直线的方向向量为，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【典例4】设，，，问：是否存在正实数，使为直角三角形？ 【思路引导】利用斜率判断两直线垂直时，首先需要考虑两直线斜率是否存在，当两直线斜率都存在时，斜率乘积等于－1；若其中一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线也垂直． 【详细解析】要使为直角三角形，则角，，中需有一个为直角． 由题意知，直线，，的斜率都存在． 当为直角时，则，所以，即，解得，舍去；当为直角时，，解得；当为直角时，， 解得或（舍去）． 综上所述，存在正实数或，使为直角三角形． 【题后反思】利用直线斜率判定两直线垂直的步骤： 【举一反三】 4．在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    探究三　平行垂直综合用 利用斜率解决平行与垂直的综合类问题，可以分别构建平行和垂直两个角度的斜率关系式来解决问题． 【典例5】已知在中，，，． （1）求点的坐标； （2）试判断是不是菱形． 【思路引导】依据平行四边形的图形特征——对边平行，利用平行直线的斜率相等确定第4个顶点坐标；依据菱形的图形特征——对角线互相垂直，利用垂直直线的斜率关系验证即可． 【详细解析】（1）设点的坐标为，因为四边形为平行四边形， 所以，且，所以解得所以． （2）因为，，所以， 所以，所以为菱形． 【题后反思】含有平行或垂直关系的平面图形的判断或证明问题，可以利用直线的斜率来求解，一般可以运用数形结合方法，先画出图形作出猜测，再利用斜率关系求解．对于含参数的问题，需要就斜率存在与不存在两种情况分类讨论求解． 【举一反三】 5．已知，点满足，且，试求点的坐标. 【典例8】在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 【思路引导】根据给定条件，利用斜率坐标公式计算判断即可． 【详细解析】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率，直线的斜率， 显然，，在四边形中，，， 因此四边形为平行四边形，又，则， 所以四边形为矩形． 【题后反思】判定图形形状，由斜率关系判定平行与垂直与否，并借助特殊图形的性质计算即可． 【举一反三】 6．已知，，，求点的坐标，使四边形为直角梯形（按逆时针方向排列）. 7．直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 9．已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 10．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 ． 11．已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 12．判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题二 直线和圆的方程 微点7 本是同根生：倾斜角与斜率 直线的倾斜角和斜率是解析几何的起始课．直线的倾斜角是刻画直线倾斜程度和确定直线位置的基本要素之一． 首先，直线的倾斜角和斜率可以确定一条直线的方向，通过直线方向这一几何对象代数化的过程，我们可以初步体会用坐标法解决几何图形的过程； 第二，由直线的倾斜角与斜率可以确定两直线的位置关系，判定线线平行及垂直，从而提升我们数学抽象、直观想象、数学运算等数学核心素养； 最后根据斜率（倾斜角）范围确定倾斜角（斜率）范围的问题，既考察直线图形特征，也考察函数思想；一些基本平面图形的判断（如直角三角形、平行四边形、菱形）可以利用相应边上点的坐标转化为直线斜率，从而利用代数式进行判断，这打破了原来只能依据几何图形特征判断的局限． 探究一　一倾倾角定方向 围绕倾斜角和斜率定义，探究直线倾斜角与斜率之间的关系，并利用“斜率图”解决由角定斜率和由斜率定角两类问题． 【典例1】（1）设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（    ） A．                 B． C．               D．当时，为；当时，为 （2）直线的过和两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为______． 【思路引导】从直线的倾斜角和斜率的概念出发，理解两者的关系．理解倾斜角的范围和直线斜率的求法，体会数形结合的应用． 【详细解析】（1）由于倾斜角的范围是，显然选项A，B，C未分类讨论，均不全面，不符题意．对于选项D，依据题意可以画出图如下： 所以，当时，直线的倾斜角为；当时，直线的倾斜角为． 故选：D． （2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 因为直线过两点和，所以直线的斜率． 于是直线的斜率． 【题后反思】解答直线的倾斜角与斜率概念类问题，关键要抓住：①倾斜角的定义（特别注意旋转方向）；②倾斜角的范围（）；③斜率计算公式：或；④数形结合分析问题． 【举一反三】 1．已知直线l过点，，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围． 【答案】直线l的倾斜角的取值范围是，斜率的取值范围是． 【分析】根据斜率公式即可结合的取值求解. 【详解】设l的斜率为k，倾斜角为，当时，斜率k不存在，， 当时，，此时为锐角，， 当时，，此时为钝角， 所以直线l的倾斜角的取值范围是，斜率的取值范围是． 【典例2】已知两点，，直线l与线段AB有公共点， （1）若直线l过点，则直线l的斜率k的取值范围是______； （2）若直线l过点，则直线l的斜率k的取值范围是______． 【思路引导】作出相应点、线段，根据两点斜率公式及倾斜角与斜率的关系计算即可． 【详细解析】（1）由题意可知，， 如图所示， 要使l与线段AB有公共点，则需或， 所以直线l的斜率k的取值范围是或． （2）由题意可知，， 如图所示， 要使l与线段AB有公共点，则需， 即直线l的斜率k的取值范围是． 【题后反思】直线l的斜率是“在中间”还是“在两边”？取决于过点P且垂直于x轴的直线与线段AB是否有交点．若有交点，则斜率“在两边”，即或．若没有交点，则斜率“在中间”，即． 【举一反三】 2．已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围； （2）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】（1） 如图，由于点满足关系式，且， 所以点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 由于的几何意义是直线的斜率，且，， 所以的取值范围是． （2） 因为的几何意义是过，两点的直线的斜率， 由题意可知点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 则，，所以． 所以的取值范围为． 探究二　二倾倾线定位置 两直线的平行与垂直是两直线位置关系判断的基本问题，可以从直线倾斜角、直线斜率、直线的方向向量多角度思考，但平行时需要排除两直线重合的情形，同时都需要考虑斜率不存在的情形． 【典例3】已知点，，，，若直线与平行，求实数． 【思路引导】利用斜率判断两直线平行时，首先需要考虑两直线斜率是否存在，其次斜率相等时需排除两直线重合的情形．另外，依据两点确定一条直线，直线的方向也可以由直线上两点确定的向量来求得，因此，两直线平行的判定可以利用他们方向向量互相平行求解． 【详细解析】方法1：因为，． 因为，所以，且直线与直线不重合．得， 解得或． 当时，，， 此时，点，，共线，不满足； 当时，，满足条件．故所求实数． 方法2（向量法）：由条件可得，，，因为，所以，即，解得或． 当时，，此时，，，三点共线，这与矛盾；当时，满足题意．故所求实数． 【题后反思】1．利用斜率判断两直线平行的步骤如下： 3.利用直线的方向向量判断两直线平行的步骤如下： ①确定两直线，的方向向量分别为，； ②判断是否成立（含参数问题解方程求出参数值）； ③当时，验证直线与是否重合； ④给出结论． 【举一反三】 3．（多选）满足下列条件的直线与一定平行的是（    ） A．直线的倾斜角为，直线经过点， B．直线的方向向量为，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【答案】CD 【分析】求出设直线的斜率为，直线的斜率为．根据斜率是否相等，即可判断直线的位置关系； 【详解】对于选项A，因为直线经过点，， 所以直线的斜率， 又直线的倾斜角为，所以直线的斜率，故直线与直线平行或重合，故A错误； 对于选项B，直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线与不平行，故B错误； 对于选项C，，，则有，故C正确； 又，则，，不共线，故． 对于选项D，由已知点的坐标，得与均与轴垂直且不重合，故有，故D正确． 故选：CD． 【典例4】设，，，问：是否存在正实数，使为直角三角形？ 【思路引导】利用斜率判断两直线垂直时，首先需要考虑两直线斜率是否存在，当两直线斜率都存在时，斜率乘积等于－1；若其中一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线也垂直． 【详细解析】要使为直角三角形，则角，，中需有一个为直角． 由题意知，直线，，的斜率都存在． 当为直角时，则，所以，即，解得，舍去；当为直角时，，解得；当为直角时，， 解得或（舍去）． 综上所述，存在正实数或，使为直角三角形． 【题后反思】利用直线斜率判定两直线垂直的步骤： 【举一反三】 4．在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 探究三　平行垂直综合用 利用斜率解决平行与垂直的综合类问题，可以分别构建平行和垂直两个角度的斜率关系式来解决问题． 【典例5】已知在中，，，． （1）求点的坐标； （2）试判断是不是菱形． 【思路引导】依据平行四边形的图形特征——对边平行，利用平行直线的斜率相等确定第4个顶点坐标；依据菱形的图形特征——对角线互相垂直，利用垂直直线的斜率关系验证即可． 【详细解析】（1）设点的坐标为，因为四边形为平行四边形， 所以，且，所以解得所以． （2）因为，，所以， 所以，所以为菱形． 【题后反思】含有平行或垂直关系的平面图形的判断或证明问题，可以利用直线的斜率来求解，一般可以运用数形结合方法，先画出图形作出猜测，再利用斜率关系求解．对于含参数的问题，需要就斜率存在与不存在两种情况分类讨论求解． 【举一反三】 5．已知，点满足，且，试求点的坐标. 【答案】 【分析】设，由题意可得，再根据斜率公式即可得解. 【详解】由，得，， 设，由题意可知，且， 则，， 因为，且， 所以， 所以，解得， 即. 【典例8】在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 【思路引导】根据给定条件，利用斜率坐标公式计算判断即可． 【详细解析】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率，直线的斜率， 显然，，在四边形中，，， 因此四边形为平行四边形，又，则， 所以四边形为矩形． 【题后反思】判定图形形状，由斜率关系判定平行与垂直与否，并借助特殊图形的性质计算即可． 【举一反三】 6．已知，，，求点的坐标，使四边形为直角梯形（按逆时针方向排列）. 【答案】和 【详解】试题分析：设所求点的坐标为，根据是直角梯形的直角边和是直角梯形的直角边，两类情况分类讨论，利用直线斜率相等和垂直，即可确定点的坐标. 试题解析：设所求点的坐标为，由于，， ∴， 即与不垂直， 故、都不可作为直角梯形的直角边. （1）若是直角梯形的直角边， 则，. ∵，∴的斜率不存在，从而有. 又，∴，即. 此时与不平行. 故所求点的坐标为. （2）若是直角梯形的直角边，则，. ∵，， 又由于，∴. 又，∴.解上述两式可得. 此时与不平行. 综上可知，使为直角梯形的点的坐标可以为和. 考点：两条直线的位置关系的判定与应用. 【方法点晴】本题主要考查了两条直线的位置关系的判定与应用、直线的斜率公式，解答中涉及到分类讨论思想、数形结合的解题思想的应用，同时着重考查了学生的推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中分别根据是直角梯形的直角边和是直角梯形的直角边，两类情况分类讨论，利用直线斜率相等和垂直，列出方程，即可求解. 7．直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程求出直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值求解，即可得出结果. 【详解】整理直线方程，可得直线斜率, 设直线的倾斜角为, 则, 得, 故选：B 【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 8．下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【答案】A 【详解】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A对； 对于B，因为，所以直线不平行，故B错； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行，故D错. 故选：A. 9．已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据三角形为等腰直角三角形列方程组，即可求解. 【详解】设，由题意可得 ，可化为， 解得:或，即或． 故选：AC 10．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式求解斜率，即可结合图形求解. 【详解】因为直线的斜率，直线的斜率， 如图：所以要使直线与线段有公共点，的取值范围为． 故答案为： 11．已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得. （2）倾斜角为钝角时，斜率小于，再利用斜率公式可得. 【详解】（1）由题意得，得. （2）由题意得，得， 故实数的取值范围为 12．判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【答案】(1)垂直 (2)不垂直 (3)垂直 (4)当或时，直线，当且时，与不垂直． 【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可； （4）分的斜率是否存在进行分类讨论，当两条两条直线垂直，可以是一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0， 也可以是两条直线斜率均存在时，斜率之积为，从而确定直线与垂直时的值. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为，所以． （2）由题意知，直线的斜率为，直线的斜率为， 而，所以与不垂直． （3）记的斜率为，因为，所以， 解得或， 又因为为锐角，所以． 因为的斜率为，且，所以． （4）由题意，直线的斜率一定存在，直线的斜率可能存在或不存在． ①当直线的斜率不存在时，，即，此时，满足． ②当直线的斜率存在时，，由斜率公式，得，． 若，则，即，解得． 综上所述，当或时，直线，当且时，与不垂直． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$