同步微点进阶讲义6 “圆”来如此多娇-2025-2026学年高二数学上学期人教A版(2019)选择性必修第一册

专题二 直线与圆的方程 微点9  “圆”来如此多娇 通过求解圆方程，体会圆的标准方程和圆的一般方程在不同问题情境中的应用，通过圆的参数方程，掌握圆上动点的一种设法，能借助三角函数求解圆上一点坐标满足的目标函数.阿波罗尼斯圆给出了圆的另一种形式，借助“阿圆”可以解决一些最值问题.在解决这些具体问题的过程中，渗透数形结合、转化与化归的数学思想，提升直观想象及数学运算素养. 下面我们从以下几种常见的问题进入探究： 1、圆的方程有关问题 2、圆有关的对称问题 3、“阿氏圆”问题 类型一　圆的方程有关问题 【典例1】（1）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，求圆的方程； （2）已知一圆过，两点，且在轴上截得的线段长为，求圆的方程. 【思路引导】（1）根据垂径定理——弦的垂直平分线必过圆心，确定圆心的位置，再求半径，写出圆的标准方程.（2）设出圆的一般方程，利用待定系数法求相应的三个参数值. 【详细解析】（1）由题意，圆心在的垂直平分线上，即在上，联立得圆心. 半径，故圆的方程为. （2）方法1：设圆的方程为  ①，将，的坐标分别代入①，得 令，由①得  ④，由已知，有，其中，是方程④的两根，得  ⑤. 解②③⑤联立成的方程组，得或故所求方程为或. 方法2：求得的垂直平分线方程为  ①.因为所求圆的圆心在的垂直平分线上，所以设其坐标为，又圆的半径  ②. 由已知圆截轴所得的线段长为，而圆心到轴的距离为，得，将②代入，得，解得，. 代入②，得，，圆心坐标，.故所求圆的方程为或. 【题后反思】给出圆上两点，可求连接这两点的线段的垂直平分线，而圆心必在弦的垂直平分线上.若根据其他条件能确定圆心和半径，则一般选择圆的标准方程；若几何特征不明显，则可以利用待定系数法求圆的一般方程. 【举一反三】 1．已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点坐标公式算出的中点坐标为，且，从而得到所求圆的圆心和半径，可得圆的标准方程. 【详解】因为， 线段的中点为，， 所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 所以线段为直径的圆的方程为. 故选：D. 【典例2】（1）已知，方程表示圆，则圆心坐标是______，半径是______. （2）方程表示何种曲线？ 【思路引导】（1）圆的方程中，，系数相等，同时注意验证.（2）对方程左边因式分解. 【详细解析】（1）由题意，知，或. 当时，方程为，即， 圆心为，半径为5； 当时，方程为，即，不表示圆. 故第一空填，第二空填5. （2）， 则或， 所以表示两条直线. 【题后反思】二次曲线表示圆的充要条件：圆的方程中没有项，，前面的系数相等且不为0， 且满足. 当圆的方程中含有参数时，一定要用检验所求参数是否符合题意. 【举一反三】 2．已知方程：（）表示的图形是圆. (1)求t的取值范围； (2)求圆心的轨迹方程； (3)求其中面积最大的圆的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将圆的一般方程进行配方整理成圆的标准方程，由可得t的取值范围； （2）设圆心坐标为，则，进行坐标替换即可得所满足的等式关系，即可得圆心的轨迹方程； （3）根据，结合二次函数的性质即可得的最大值，从而得符合的圆的方程. 【详解】（1）原方程可整理为. 则，解得. （2）设圆心坐标为，则，由得. 消去t可得，此即为圆心的轨迹方程， （3）求圆面积最大即求圆半径最大，即半径的平方最大， 则，. 所以当时，的最大值为，此时圆的方程为. 类型二　圆有关的对称问题 【典例3】已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A.    B. C.    D. 【思路引导】先求得圆的圆心坐标和半径，再求得关于的对称点，得到圆的圆心坐标，进而求得圆的方程. 【详细解析】由题意知，圆的圆心与关于直线对称，且两圆半径相等， 因为圆，即， 所以圆心，半径为， 设圆关于直线对称点为， 则，解得，即， 所以圆的方程为，即. 故选：A. 【题后反思】将与圆有关的对称转化为点、线间的对称，有时需注意圆自身的对称性来处理问题. 【举一反三】 3．圆关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得圆关于直线对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为3 设点关于直线的对称点为， 则 ，解之得 则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为 则该圆的方程为， 故选：D． 【典例4】在平面直角坐标系上，矩形ABCD，顶点A（6，2），若点B，D是圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝12上两动点，点C是圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝14上动点，则这样的ABCD有多少个（    ） A.0个    B.2个    C.4个    D.无数个 【思路引导】以为直径画圆，交圆于，两点，可推出过圆心，所以四边形是矩形，又由的任意性可知，这样的有无数个. 【详细解析】如图所示，任取圆上一点，以为直径画圆， 交圆于，两点， 因为点在圆上，所以， 所以过圆心，为圆的一条直径， 所以四边形是矩形， 又由的任意性可知，这样的有无数个， 故选：D. 【题后反思】根据圆的对称性性质结合数形结合思想解决问题即可. 【举一反三】 4．已知的外接圆圆心为，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点O作，，利用圆的性质知为,中点，设，，利用向量的数量积结合已知条件得到，求出，利用基本不等式求最值即可. 【详解】如图，过点O作， ，，和是等腰三角形， 为中点，为中点， 设，，则 ， ，即 ，即 联立解得：， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的性质，平面向量的数量积以及基本不等式求最值，利用圆的性质结合平面向量的数量积得到关于x，y的方程，进而求出是解题的关键，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于难题. 类型三　“阿氏圆”问题 【典例5】（1）已知点与两定点，的距离之比为，求点的轨迹方程. （2）若，，则的最大值是______. 【思路引导】（1）设出动点坐标，列出动点满足的几何条件，代入坐标，化简求解.（2），视为两个定点，由，得点的轨迹方程，再由点的轨迹，得的边上的高的最大值. 【详细解析】（1）由.得. 由题意列出方程，代入点坐标. 化简得，即点的轨迹方程轨迹是. （2）如图以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则，，设，由，得，化简得， 从而的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点）. 故.即的最大值为. 【题后反思】阿波罗尼斯圆：平面内到两定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是一个圆.圆的这种定义由阿波罗尼斯提出，故也称阿波罗尼斯圆.推导：如图建系，不妨设定点，，动点，其中为正数，则由，代入坐标，得，则，两边平方后化简可得. 若，则，此时为一条直线，表示线段的垂直平分线；若，则，配方得，可得轨迹方程是以为圆心，为半径的圆. 由阿波罗尼斯圆的定义及上述分析，可以得到一些性质，比如：①阿波罗尼斯圆上的任意一点，满足（且）；②阿波罗尼斯圆的圆心在直线上，半径为. 【举一反三】 5．在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（    ） A． B．2 C．4 D．16 【答案】C 【分析】由题意求出点P的轨迹方程，则可以看成圆上动点与定直线上动点的距离，求得其最小值，即可求得答案. 【详解】因为，，动点满足， 则，整理得， 可以看成圆上动点与定直线上动点的距离， 其最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2，即， 因此，的最小值是， 故选：C. 【典例6】已知圆：和点，若定点和常数满足：对圆上任意一点，都有.则______，______. 【思路引导】将已知条件“对圆上任意一点，都有”转化为“满足条件的动点的轨迹是圆：”，即根据轨迹方程确定另外一个定点坐标，将轨迹方程化简后与已知的圆：对比系数即可. 【详细解析】设，由条件得， 整理得. 由圆的圆心为，半径，点在圆上得其中且， 解得，. 【题后反思】求解阿波罗尼斯圆的反演点问题的步骤：根据“已知点、反演点、圆心三点共线”，先设出所求反演点坐标，再根据距离的比值为定值得到轨迹方程，并化简方程，与所给的圆方程对比系数，求出反演点坐标. 【举一反三】 6．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取点，推理证明得，把问题转化为求点M到定点B，N距离和的最小值作答. 【详解】如图，点M在圆上，取点，连接，有， 当点不共线时，，又，因此∽， 则有，当点共线时，有，则， 因此，当且仅当点M是线段BN与圆O的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 【点睛】方法点睛：圆及圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 7．圆心坐标为，并经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设圆的标准方程，代入点坐标即可得到结果. 【详解】由题意可设圆的标准方程为：， ，圆的标准方程为：. 故选：D. 8．已知动点的轨迹方程为，定点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取，连接，，确定，变换得到，计算得到答案. 【详解】如图所示：取，连接，，则，    故，故， ， 当三点共线且在线段上时等号成立， 故选：C 9．已知关于x，y的二元二次方程，当t为 时，方程表示的圆的半径最大． 【答案】 【分析】变换得到，得到，，得到答案. 【详解】 即， ，解得， 设圆的半径为r，则， 所以当时，，所以． 故答案为：． 10．已知圆关于轴对称，经过点，且被轴分成两段弧,弧长之比为，则圆的方程为： ． 【答案】 【分析】设圆心，由题意可得圆被轴截得的弦所对的圆心角为，故有，解得，可得半径的值，从而求得圆的方程． 【详解】设圆心，圆经过点，则半径为，根据圆被轴分成两段弧长之比为， 可得圆被轴截得的弦对的圆心角为，故有，解得， 半径，故圆的方程为. 故答案为． 【点睛】本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆相交的性质，关键是求圆心坐标，属于基础题． 11．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程． 【答案】x2＋y2－6x－2y＋1＝0. 【解析】确定出交点的坐标，然后结合交点坐标，得到圆心坐标和圆的半径，进而求出圆的方程 【详解】根据题意令，可知， 同时令，得到函数与轴的交点坐标为， 那么利用圆的性质可知，与轴的两个根的中点坐标即为圆心的横坐标为3， 设圆心为：，则，解得 因此可知圆的方程为，写成一般式得， x2＋y2－6x－2y＋1＝0 故答案为：x2＋y2－6x－2y＋1＝0 【点睛】本试题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，属于基础题． 12．已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，求的最小值. 【答案】8 【分析】根据题意，将问题转化为求的最小值，求出关于直线的对称点的坐标，即可得到当三点共线时，取得最小值. 【详解】如图所示， 圆的圆心为，半径为4， 圆的圆心为，半径为1， 可知， 所以， 故求的最小值，转化为求的最小值， 设关于直线的对称点为，设坐标为， 则 ，解得，故， 因为，可得， 当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题二 直线与圆的方程 微点9  “圆”来如此多娇 通过求解圆方程，体会圆的标准方程和圆的一般方程在不同问题情境中的应用，通过圆的参数方程，掌握圆上动点的一种设法，能借助三角函数求解圆上一点坐标满足的目标函数.阿波罗尼斯圆给出了圆的另一种形式，借助“阿圆”可以解决一些最值问题.在解决这些具体问题的过程中，渗透数形结合、转化与化归的数学思想，提升直观想象及数学运算素养. 下面我们从以下几种常见的问题进入探究： 1、圆的方程有关问题 2、圆有关的对称问题 3、“阿氏圆”问题 类型一　圆的方程有关问题 【典例1】（1）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，求圆的方程； （2）已知一圆过，两点，且在轴上截得的线段长为，求圆的方程. 【思路引导】（1）根据垂径定理——弦的垂直平分线必过圆心，确定圆心的位置，再求半径，写出圆的标准方程.（2）设出圆的一般方程，利用待定系数法求相应的三个参数值. 【详细解析】（1）由题意，圆心在的垂直平分线上，即在上，联立得圆心. 半径，故圆的方程为. （2）方法1：设圆的方程为  ①，将，的坐标分别代入①，得 令，由①得  ④，由已知，有，其中，是方程④的两根，得  ⑤. 解②③⑤联立成的方程组，得或故所求方程为或. 方法2：求得的垂直平分线方程为  ①.因为所求圆的圆心在的垂直平分线上，所以设其坐标为，又圆的半径  ②. 由已知圆截轴所得的线段长为，而圆心到轴的距离为，得，将②代入，得，解得，. 代入②，得，，圆心坐标，.故所求圆的方程为或. 【题后反思】给出圆上两点，可求连接这两点的线段的垂直平分线，而圆心必在弦的垂直平分线上.若根据其他条件能确定圆心和半径，则一般选择圆的标准方程；若几何特征不明显，则可以利用待定系数法求圆的一般方程. 【举一反三】 1．已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（1）已知，方程表示圆，则圆心坐标是______，半径是______. （2）方程表示何种曲线？ 【思路引导】（1）圆的方程中，，系数相等，同时注意验证.（2）对方程左边因式分解. 【详细解析】（1）由题意，知，或. 当时，方程为，即， 圆心为，半径为5； 当时，方程为，即，不表示圆. 故第一空填，第二空填5. （2）， 则或， 所以表示两条直线. 【题后反思】二次曲线表示圆的充要条件：圆的方程中没有项，，前面的系数相等且不为0， 且满足. 当圆的方程中含有参数时，一定要用检验所求参数是否符合题意. 【举一反三】 2．已知方程：（）表示的图形是圆. (1)求t的取值范围； (2)求圆心的轨迹方程； (3)求其中面积最大的圆的方程. 类型二　圆有关的对称问题 【典例3】已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A.    B. C.    D. 【思路引导】先求得圆的圆心坐标和半径，再求得关于的对称点，得到圆的圆心坐标，进而求得圆的方程. 【详细解析】由题意知，圆的圆心与关于直线对称，且两圆半径相等， 因为圆，即， 所以圆心，半径为， 设圆关于直线对称点为， 则，解得，即， 所以圆的方程为，即. 故选：A. 【题后反思】将与圆有关的对称转化为点、线间的对称，有时需注意圆自身的对称性来处理问题. 【举一反三】 3．圆关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【典例4】在平面直角坐标系上，矩形ABCD，顶点A（6，2），若点B，D是圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝12上两动点，点C是圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝14上动点，则这样的ABCD有多少个（    ） A.0个    B.2个    C.4个    D.无数个 【思路引导】以为直径画圆，交圆于，两点，可推出过圆心，所以四边形是矩形，又由的任意性可知，这样的有无数个. 【详细解析】如图所示，任取圆上一点，以为直径画圆， 交圆于，两点， 因为点在圆上，所以， 所以过圆心，为圆的一条直径， 所以四边形是矩形， 又由的任意性可知，这样的有无数个， 故选：D. 【题后反思】根据圆的对称性性质结合数形结合思想解决问题即可. 【举一反三】 4．已知的外接圆圆心为，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 类型三　“阿氏圆”问题 【典例5】（1）已知点与两定点，的距离之比为，求点的轨迹方程. （2）若，，则的最大值是______. 【思路引导】（1）设出动点坐标，列出动点满足的几何条件，代入坐标，化简求解.（2），视为两个定点，由，得点的轨迹方程，再由点的轨迹，得的边上的高的最大值. 【详细解析】（1）由.得. 由题意列出方程，代入点坐标. 化简得，即点的轨迹方程轨迹是. （2）如图以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则，，设，由，得，化简得， 从而的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点）. 故.即的最大值为. 【题后反思】阿波罗尼斯圆：平面内到两定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是一个圆.圆的这种定义由阿波罗尼斯提出，故也称阿波罗尼斯圆.推导：如图建系，不妨设定点，，动点，其中为正数，则由，代入坐标，得，则，两边平方后化简可得. 若，则，此时为一条直线，表示线段的垂直平分线；若，则，配方得，可得轨迹方程是以为圆心，为半径的圆. 由阿波罗尼斯圆的定义及上述分析，可以得到一些性质，比如：①阿波罗尼斯圆上的任意一点，满足（且）；②阿波罗尼斯圆的圆心在直线上，半径为. 【举一反三】 5．在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（    ） A． B．2 C．4 D．16 【典例6】已知圆：和点，若定点和常数满足：对圆上任意一点，都有.则______，______. 【思路引导】将已知条件“对圆上任意一点，都有”转化为“满足条件的动点的轨迹是圆：”，即根据轨迹方程确定另外一个定点坐标，将轨迹方程化简后与已知的圆：对比系数即可. 【详细解析】设，由条件得， 整理得. 由圆的圆心为，半径，点在圆上得其中且， 解得，. 【题后反思】求解阿波罗尼斯圆的反演点问题的步骤：根据“已知点、反演点、圆心三点共线”，先设出所求反演点坐标，再根据距离的比值为定值得到轨迹方程，并化简方程，与所给的圆方程对比系数，求出反演点坐标. 【举一反三】 6．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．圆心坐标为，并经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知动点的轨迹方程为，定点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．已知关于x，y的二元二次方程，当t为 时，方程表示的圆的半径最大． 10．已知圆关于轴对称，经过点，且被轴分成两段弧,弧长之比为，则圆的方程为： ． 11．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程． 12．已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$