精品解析：江苏省徐州市沛县2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

2024-2025学年第二学期第二次学情调研八年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案前的字母填涂在答题卡上相应位置） 1. 下列交通标志牌中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，表示是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各点中，不在反比例函数 的图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的9倍 8. 甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息： 信息一：甲单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时； 信息二：甲4小时完成的工作量与乙3小时完成的工作量相等； 信息三：丙的工作效率是甲的工作效率的2倍． 如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．不需要写出解答过程，请把答案直接写在答题卡上相应位置上） 9. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 10. 若反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是______． 11. 在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和15个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则a的值约为______． 12. 若分式的值为正数，则满足______ 13. 若点、在函数的图象上，且，则_____（填“”或“”）． 14. 已知甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等，且乙比甲每小时多做9个零件，问：甲、乙两个人每小时各做多少个零件？若设甲每小时做个零件则可列方程为_______． 15. 已知与y=x-3相交于点，则的值为__________． 16. 如图，正方形ABCD的边长为10,点A的坐标为,点B在y轴上.若反比例函数的图像经过点C,则k的值为_____. 三、解答题（本大题有9小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：其中 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 21. （1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 22. 小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本．已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？ 23. 如图，正方形的一个顶点在反比例函数的图像上，请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画四边形，使、、都在双曲线上． （1）在图1中，画一个平行四边形，并说明画法； （2）当点的坐标为时，在图2中画一个矩形，并证明四边形为矩形． 24. 观察下列算式： 、、 （1）由此可推断：_______； （2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； （3）仿照以上方法可推断：_______； （4）仿照以上方法解方程：． 25. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______的图像平移得到； ③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______； A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图像经过点； ④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期第二次学情调研八年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案前的字母填涂在答题卡上相应位置） 1. 下列交通标志牌中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．熟练掌握根据中心对称图形的定义进行判断是解题的关键． 根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义逐项判断即可，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是整式，不符合题意； 、是分式，符合题意； 、是整式，不符合题意； 、是整式，不符合题意． 故选：． 3. 下列函数中，表示是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A． 表示是的正比例函数； B． 表示是的反比例函数； C． 表示是的正比例函数； D．表示是的一次函数． 故选B． 4. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的性质，依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非零的数或式子，分式的值不变，判定即可，熟练掌握分式的性质是解决此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 5. 下列各点中，不在反比例函数 的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点， 将点的坐标代入关系式求出结果，再判断即可． 【详解】解：当时，，所以点在反比例函数图象上，则A不符合题意； 当时，，所以点不在反比例函数图象上，则B不符合题意； 当时，，所以点在反比例函数图象上，则C不符合题意； 当时，，所以点在反比例函数图象上，则D不符合题意． 故选：B． 6. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式”，逐个进行判断即可．本题考查了最简分式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A、，选项不是最简分式，故不符合题意； B、是最简分式，故符合题意； C、，选项不是最简分式，故不符合题意； D、，选项不是最简分式，故不符合题意． 故选：B． 7. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的9倍 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式变形的判断，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的3倍， 则，即分式的值扩大为原来的3倍， 故选：C． 8. 甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息： 信息一：甲单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时； 信息二：甲4小时完成的工作量与乙3小时完成的工作量相等； 信息三：丙的工作效率是甲的工作效率的2倍． 如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】C 【解析】 【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x−5）小时；根据信息二提供的信息列出方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间． 【详解】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x−5）小时，则． 解得x＝20 经检验x＝20是原方程的根，且符合题意． 则丙的工作效率是． 所以一轮的工作量为：＋＋＝． 所以4轮后剩余的工作量为：1−4×＝． 所以还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：--＝． 所以丙还需要工作÷=小时． 故一共需要的时间是：3×4＋2＋＝14小时． 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．不需要写出解答过程，请把答案直接写在答题卡上相应位置上） 9. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零，进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 10. 若反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其比例系数之间的关系，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限， ∴， 故答案为：． 11. 在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和15个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则a的值约为______． 【答案】35 【解析】 【分析】根据题意易得摸到红球的概率为0.3，然后可得盒子中白球与红球的总数为50个，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：摸到红球的概率为0.3，则有， 盒子中球的总数为：15÷0.3=50（个）； ∴a=50-15=35（个）； 故答案为35． 【点睛】本题主要考查频率与概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键． 12. 若分式的值为正数，则满足______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式，解不等式，要使得分数为正数，则分子、分母必须同号，据此作答即可． 【详解】根据题意有：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若点、在函数的图象上，且，则_____（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小．根据反比例函数解析式得到该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再由，可得． 【详解】解：∵反比例函数中的， ∴该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 14. 已知甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等，且乙比甲每小时多做9个零件，问：甲、乙两个人每小时各做多少个零件？若设甲每小时做个零件则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．设甲每小时做x个零件，则乙每小时做个零件，然后根据“甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等”列出方程即可． 【详解】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做个零件， 根据题意得，， 故答案为：． 15. 已知与y=x-3相交于点，则的值为__________． 【答案】-3 【解析】 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出，，进而可得出，，再将其代入中即可求出结论． 【详解】∵与相交于点， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及分式的加减法，利用反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，找出，是解题的关键． 16. 如图，正方形ABCD的边长为10,点A的坐标为,点B在y轴上.若反比例函数的图像经过点C,则k的值为_____. 【答案】12 【解析】 【分析】过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，， ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象过点， ， 故答案为12． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键． 三、解答题（本大题有9小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查分式的混合运算，熟练掌握运算性质是解题的关键： （1）根据异分母分式加减法法则计算即可； （2）先计算小括号，再计算除法即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答本题的关键． （1）根据解分式方程的方法解答即可； （2）根据解分式方程的方法解答即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，当时，， 则是原方程的根； 【小问2详解】 解：， 方程两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， 当时，， 是原方程的增根，原方程无解． 19. 先化简，再求值：其中 【答案】， 【解析】 【分析】先去括号，再把除法统一为乘法把分式化简，再把数代入． 【详解】解：原式 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的混合运算，通分、分解因式、约分是关键． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】（1）； （2）当或时，一次函数的值大于反比例函数的值 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先用待定系数法求解反比例函数解析式，从而得出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据图象，即可进行解答． 【小问1详解】 解：∵反比例的图象过点，即， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 又∵点在函数的图象上， ∴，， ∴ 又∵一次函数过、两点， 即， 解之得． ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 由图像可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 21. （1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 【答案】（1）；（2）7 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据可推出，据此代值计算即可； （2）根据完全平方公式得到，则． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 22. 小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本．已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？ 【答案】不能买到相同的两种笔记本． 【解析】 【分析】假设能买到相同数量的软面本和硬面本，设软面本每本x元，则硬面本（x+1.2）元，根据题意可得方程：，解分式方程后可以算出答案， 【详解】假设能买到相同数量的软面本和硬面本， 设软面本每本x元，则硬面本（x+1.2）元， 根据题意可得方程：， 解得：x=1.6， 经检验：x=1.6是原分式方程的解， 12÷1.6=7.5， ∵7.5不是整数． ∴不能买到相同的两种笔记本． 【点睛】本题考查分式方程的应用．注意细节：分式方程要验根、解为整数是解题的关键． 23. 如图，正方形的一个顶点在反比例函数的图像上，请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画四边形，使、、都在双曲线上． （1）在图1中，画一个平行四边形，并说明画法； （2）当点的坐标为时，在图2中画一个矩形，并证明四边形为矩形． 【答案】（1） 如图所示，四边形即为所求； 作法：在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则、，所以四边形为平行四边形 （2） 如图所示，四边形即为所求； 作法：在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则、，所以四边形为平行四边形； 根据勾股定理得，， ∴， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∴， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的判定，矩形的判定，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则四边形为平行四边形； （2）同（1）作出平行四边形，再由两点距离计算公式可证明，进而得到，据此可证明四边形为矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 观察下列算式： 、、 （1）由此可推断：_______； （2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； （3）仿照以上方法可推断：_______； （4）仿照以上方法解方程：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查数字找规律问题．，以及解分式方程，解题关键是根据已知分析发现蕴含的规律． （1）根据题意将42分解为得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律得出答案； （3）本题的分子是2，可以考虑把分母写成相差为2的两个数相差，然后仿照算式规律写成即可． （4）本题的分子是3，分母两个数的差是3，故同样可以用算式规律，需要注意，比大，放在前面． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 根据题意可得： 【小问3详解】 【小问4详解】 即， 即， 去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 25. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______的图像平移得到； ③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______； A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图像经过点； ④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是，4； （2）①18；②； （3）①（）； ②画出图如图所示： ； ③AB； ④是为定值，定值为 【解析】 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）①根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案；②先由①得出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，当时，求出点的坐标，最后根据进行计算即可； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案；②描点连线即可得到图象，由图象观察可知，该图像可由平移得到；③先画出草图，再根据图象逐一判断即可得到答案；④将代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）①是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； ②在双曲线上， ， ， 设直线的解析式为：， ， 解得， 直线的解析式为：， 令直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ， ； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②画出草图如图所示： 该图像可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； ③由图象可得： A.图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B.由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C.随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D.当时，，所以图像经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④， ， 对于图像上任意一点，代数式是为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $