甘肃省白银市多校2024-2025学年高一下学期7月期末检测数学试题

高一期末检测 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 中 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知复数a,b∈R,ai(1十2i)=b+3i,则a十b= 蜘 A.3 B.-3 C.4 D.-4 2.(cos75°+sin75)2= 酃 如 毁 A是 R号 长 C 2 D.2 ? 3.对于随机事件M,N,若P(MnN)= 6,PM0= 2,P(N)=3,则PMUN= 都 A号 R号 C.6 D 56 杯 4已知A店=(-6,3)，AC=(3,9,者B助-号C,则A市- A.(5,-3) B.(6,-2) C.(-3,5) D.（-2,6) 5.已知向量a=(2,-1),b=(-2t,3),且a(a一2b),则t= A.-2 B.2 C.-3 D.3 8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为ab,c若n(A+C)=im2B,oA- 3b=6, 则a= A号 B号 c n 7.已知向量a为单位向量，b=(2,3),且|a一b|=3,则b在a方向上的投影为 A号 B号 群 c需 D.-5/13 26 【高一数学第1页（共4页）】 8.现有甲、乙两个盒子，甲盒装有2个白球、3个黑球，乙盒装有3个白球、4个黑球，从甲、乙两 盒各拿出1个球，则这2个球颜色不同的概率为 A若 R号 as D号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9已知a∈(0，，sm号-号，则 A.co g=22 23 B.cosa=一 C.a是锐角 Dsm(号+)-4 6 10.某人抛掷一颗均匀的骰子两次，事件M表示“第一次掷出的点数是3”，事件N表示“第二次 掷出的点数是4”，事件Q表示“两次掷出的点数之和是9”，事件S表示“两次掷出的点数之 和是7”，则 A.事件M与N相互独立 B.事件M与S相互独立 C.事件N与Q相互独立 D.事件N与S相互独立 11.在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD,∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=120°，PC= 42,AB=10,AD=8,则 A.四边形ABCD外接圆的半径为2√7 B.四边形ABCD外接圆的半径为8√2 C.四棱锥P-ABCD外接球的体积为288π D.四棱锥P-ABCD外接球的体积为144π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知a(。-)=-号，则ama=】 13.已知复数z=3十2i,则 6+81 2-3 14.如图，在△ABC中，∠BAC= 写，点E,F分别在边AB,AC上，线段AE和AF的长均不超过 9,点P在线段EF上，且AP平分∠EAF,AP=3,则EF长度的取值范围是1 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,c=2,B为锐角，△ABC的面 积为2√2. (1)求sinB; (2)求△ABC的周长. 16.(15分) 已知mM+B》-血A-B)=9eoA+B)+oesA-B)-3 5 (1)求tanB的值； (2)求sin2B的值. 17.(15分) 在梯形ABCD中，已知A=2DC,A范=2(A店+AC),AE与BD交于点F. (1)用AB,AD表示AE,A京； (2)若AB=4,BC=2,BA·BC=4,求AE与BD所成角的余弦值. 【高一数学第3页（共4页）】 18.(17分) 如图，在棱长为2的正四面体PBCD中，O是△BCD的重心，E是PB的中点.延长BD到 A,使得DA=BD. (1)证明：OE平面PAC. (2)证明：AC=AP (3)求直线AP与平面ABC所成角的正弦值， 努 19.(17分) 甲、乙两支篮球队进人某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛 学 均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠 军.现假定甲队在主场获胜的概率为p,平局的概率为号，其中0<<1，甲队在客场获胜和 蕊 平局的概率均为号；加时赛甲队获胜的概率为p.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主 & 场后客场 aE知p=号 幅 (1)求甲队通过加时赛获得冠军的概率； (ⅱ)求甲队获得冠军的概率 够 (2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获 得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为p2,平 贺 局的概率为号，加时赛甲队获胜的概率为力.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 【高一数学第4页（共4页）】高一期末检测 数学参考答案 .B因为ui1+2D=6+3i=-2a+ai,所以a=3, b=-2a, b=-6, “解得 则a十b=-3. a=3, 2.A(cos75+sn75y-1+sin150-2 &B PCMUN)=PM+PN)-PMnN)-+号言号 4C由B币=号C得A币-A=AC-A),解得A币=AC+号A=(-3,5. 5.D因为a=(2,-1),b=(-21,3),所以a-2b=(2+4t,-7),由a∥(a-2b),得-2-41= 一14，解得1=3. 6.C因为sin(A十C)=sin2B,所以sinB=sin2B=2 sin Bcos B.因为B∈(0，π)，所以sinB ≠0，可得0sB-号解得B=0.因为osA-号，A∈0，，所以血A=远不- 3由 6 sin60,得a-4 3 3 7.A由1a-b1=3,得a-2a·b+b1=9,结合a=1,b=(2,3,得ab=号，所以b 在0方向上的投影为州。号 &D从甲，乙两盒各拿出1个球属于相互独立事件，所以这2个球颜色不同的概率P-号× +×号-品 8AGD因为号eo》m号-司所以es号-n号- 3,A正确 cosa=2os号-1-gB错误，C正确， m(号+)-号号+2)- 6 ,D正确。 10.ABD 易知PM)=合，P(N)=行，抛掷一颗均匀的骰子两次，事件Q表示“两次掷出的点 数之和是9”，包含(3,6)，(6,3).(4,5).(5,4)，共4种情况：事件S表示“两次掷出的点数之 和是7”，包含(1,6)，(6,1)，(2,5).(5,2)，(3,4)，(4,3)，共6种情况 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 P(M=名，P(N)=名，PMN)=元则PM)PN)=PMN).所以事件M与N相互 独立，A正确。 P0=名P(S)名名，PMS)高则PMP(S)=PMS).所以事件M与S相 互独立，B正确。 PN)-言，P(Q)-高日，PNQ》-高：则P(N)P(Q≠PQ).所以事件N与Q不 相互独立，C错误. PN)y-言，PS)一希-名PNS)-病则P(N)P(S)-PNS.质以事件N与S相互 独立，D正确. 11.AC连接AC,BD,设AC的中点为O1,过O1作直线I⊥平面AB CD,因为∠ABC=∠ADC=90°，所以AC是△ABC和△ADC的公 共斜边，即O1是四边形ABCD的外接圆圆心，所以直线1上的点到 点A,B,C,D的距离相等，故球心O一定在直线1上，即OO1⊥平 0 面ABCD,现在只要保证OP=OC即可，即球心O也在PC的垂直平分线上.设PC的中点 为M,连接OM,则OM⊥PC. 因为∠BCD=120°，所以∠BAD=60°，所以BD=√J102+8-2×10X8cos60°=2/2I, 侧n6O=47=2r=AC(r为四边形ABCD外接圆的半径)，即r=27.A正确，B 因为PC⊥平面ABCD,OO1⊥平面ABCD,所以OO1∥PC.又OM⊥PC,所以四边形 OO,CM为矩形，OO1=CM=2√2，所以该四棱锥外接球的半径R=√O,C2+OO= √2s+8=6,故四棱锥P-ABCD外接球的体积VA=号R=28x,C正确，D错误。 12号 因为m(。一》-骨。-吉所以an。 185因为：-3=2红所以生-8-43i所以 +8i -3 =5. [65.] 设AE=m,AF=n,EF=x,由题意可得∠EAP=∠FAP=60°，且AP=3, 因为SAg=Sam+Saam,所以号msin120°- 2msin60°+ 2nsin 60, 0<n≤9， 可得mn=3(m十n),m= -3因为0<m≤9,0<n≤9，所以 31 <3m≤9 解得号<9 n-3 所以mm= 33-8m二27+2-3m+9+273-3m-30+ 27 n-3 n-3 n-3 -3+18 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 令1=n-3∈[号，6]，因为函数y=3++18在(3)上单调递减，在(3,6)上单调递 增，所以当∈[号6]时y=3++18∈[36，】则36≤m 81 由余弦定理可得x2=m2十n2一2ncos120°=m2+n2+mn=(m十n)2-m= 9(mm)2 mm-号》-号∈[108，]，放65<x<9号，即EF长度的取值范围是[6厅， 15.解：)由2 acsin B-=2E.得号×3X2sinB=2反， ………3分 解得sinB=2 …4分 (②因为mB2怎，B为锐角，所以四B=子 3 …6分 又a=3,c=2,所以62=a2+e2-2 accos B=9+4-2×3×2×3=9, …9分 解得b=3,…11分 所以△ABC的周长为8.…13分 16.解：(1)因为sin(A十B)=sin Acos B十c0 s Asin B,…1分 sin(A一B)=sin Acos B-cos Asin B,…2分 所以inA+B》）-snA-B)=2o0 Asin B=1.0…3分 因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B,… …5分 所以c0s(A+B)+cos(A-B)=20 s Acos B=32 .② ……6分 ①式除以②式，得tanB= …8分 (2)由1知amB=号 因为sin2B-2 sin Bcos B- 2sin Bcos B 2tan B sin2B+cos"B tan2B+1 …13分 2× 所以sin2B= 3_24 1 25 …15分 9+1 17.解：1)A正= 号(+Ad)=号A店+A+D心)=Ai+号A.…2分 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 由A2,得A=mA它=名mAB+2mAd. 3分 由B,F,D共线，得F=入AB十(1-入)AD,…4分 3 m=入， 4 m= 所以 得 所以A-A店+号AD. …6分 2m=1-A, 入一5 (2)因为AE=号BC-BA,BD=BC+)BA,又AB=4,BC=2,BA·BC=4, 所以A应.BD=(号BC-B)·(BC+2B)=BC-BC.B-号B=-9.… …9分 A花=√C--√C-成.i+酥=，… …11分 励=√《B+B)-√Bc+C,贰+=25. …13分 设A正与BD所成的角为0，则cos0= A正.B前 339 AEBD 26 …15分 18.(1)证明：连接DO并延长交BC于点F,连接DE,EF, 则OEC平面DEF,且F是BC的中点. 因为D,F分别是BA,BC的中点，所以DF∥AC.…1分 因为DF丈平面PAC,ACC平面PAC,所以DF∥平面 PAC.… …2分 又因为E,F分别是BP,BC的中点，所以EFPC.…3分A D 因为EF中平面PAC,PCC平面PAC,所以EF平面PAC.…4分 又因为EFC平面DEF,DFC平面DEF,DF∩EF=F,所以平面DEF平面PAC 又因为OEC平面DEF,所以OE平面PAC 6分 (2)证明：在正四面体PBCD中，∠PDB=∠CDB=60°，PD=CD=2,…8分 所以∠PDA=∠CDA=120°.…9分 又因为AD=AD,所以△PDA2△CDA,…10分 所以AC=AP.(也可利用余弦定理证明AC=AP)… …11分 (3)解：连接PO,AO,因为O是正三角形BCD的重心，所以根据正四面体的性质可知PO ⊥平面BCD, 所以直线AP与平面ABC所成的角为∠PAO. 12分 因为正四面体PBCD的每条棱长为2，所以DO=2× 号-2，所以P0 21 3 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 00+400004000+0000400004400400000000000400004444000000000004000000000400000” 3 14分 因为AD=CD=2,∠CDA=120°，所以AC=2cos30°×2=25. 由(2)知AP=AC=25。… 15分 在△PAO中，PO⊥OA,所以sim∠PAO= 品-号.即直线AP与平面ABC所成角的正弦 随多号 17分 19.解：(1)(1)设甲队通过加时赛获得冠军为事件A,则事件A包含甲队主胜客负，主负客胜， 主平客平，然后加时赛获胜，…2分 所以甲队通过加时赛获得冠军的既率P(A)-[21-p)+(1-碧)号+碧·号]p 3p2(1-p) 2 因为p一号所以PA)-号×若×号-品 …5分 (ⅱ)设甲队获得冠军为事件B,则事件B包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客 胜，… …7分 则PB)=PA)+:号+p·号+号，号-1g 2 6 2 因为p=号，所以P(B)-×3×8-134 2 6人252人125375 …10分 (2)在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件C, 则事件C包含甲队胜，甲队平且加时赛胜，…11分 则P(C=+2p·b- 2 …12分 因为0<p十号<1，所以0<p<号此时0<p+号一器符合题意…1分 3 P(B)-P(C=17p-3D-3p-4p-3g-8-9p,…16分 6 223 因为0<p<。,0,8一9p>0,所以P(B)一P(C)>0,即"主客场比赛制”比第三方场 地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠. …17分 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】