1.1定义与命题课件2025-2026学年青岛版数学八年级上册

第 1 章 推理与证明 数学概念是学习数学的基础,本节我们就对此进行系统的学习。 1、了解“定义”、“命题”的有关概念，能分析命题的条件和结论。 2、在了解命题结构的基础上，能判断命题的真假。 我国古人在科学探索方面作出了突出贡献。战国时期的《墨经》中记载 “圆,一中同长也”,即到一个中心距离相同的所有点组成的图形叫作圆。 这是我国古代描述数学概念的例证。你还能举出一些描述数学概念的例子吗? 同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线; 三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形; 求几个相同因数的积的运算叫作乘方。 下列描述概念的语句有什么特点? 特点： 1、结构统一，使用“叫作”连接描述和名称。 2、精确且无歧义，突出本质属性。 像这样,能够说明一个概念含义的语句叫作这个概念的定义(definition)。 定义能够帮助人们认识和理解这个概念区别于其他概念的本质特征。例如, 平行线的定义既揭示了平行线 “没有公共点”的本质属性,又指出了平行线与相交线的区别。 定义既可以作为性质使用,又可以提供判定的依据。 对比维度 概念 定义 性质 更偏向“感性认知”“整体印象” 更偏向 “理性规定”“精确规则” 表达方式 可能是一堆零散的特征（不一定是一句话） 必须是准确、完整的句子（有严格逻辑） 作用 帮我们“认出”这个事物 帮我们 “严格判断” 一个事物是否属于它 例子 (三角形)知道是“三条边三个角的图形” 由三条线段首尾相连组成的封闭平面图形 概念和定义的区别 概念和定义的联系 1、概念是定义的基础：先有对事物的初步概念（比如 “圆” 是 “圆圆的东西”），人们才会去总结它的本质特征，给出定义（“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形”）。 2、定义让概念更清晰：没有定义时，不同人对同一个概念的理解可能不一样（比如有人觉得 “菱形” 是 “倾斜的正方形”，有人觉得是 “四条边相等的平行四边形”）；有了定义后，大家就有了统一的标准。 1、下列语句不属于定义的是( ) A.连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离 B.只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程是一元一次方程 C.两直线平行，内错角相等 D.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线 2、下列语句中，是定义的是( ) A.两点确定一条直线 B.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 C.三角形的角平分线是一条线段 D.同角的余角相等 C B (1)下列表达数学结论的语句有什么特点? ① 如果两个角的和是180°,那么这两个角互补; ② 同一平面内,如果两条直线相交所成的角是直角,那么这两条直线垂直; ③ 如果一个整数的个位上的数字是0或5,那么这个数能被5整除。 像这样,对某件事情作出判断的语句叫作命题 特点： 1、都是陈述句。 2、都能够判断真假。 下列语句是命题的是: 1、北京是中国的首都。（ ） 2、请把门关上！（ ） 3、明天下雨吗？（ ） 4、1+1=3。（ ） 5、三角形的内角和是180°（ ） 6、这是一棵大树。（ ） 7、如果a>b，那么b<a。（ ） 8、如果两个角相等，那么它们是对顶角。（ ） 9、如果a⊥b，c⊥b，那么a⊥c.（ ） 是 否 是 是 是 是 是 否 否 命题通常由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项,结论是由已知事 项推断出的事项。 命题的一般叙述形式是 “如果……,那么……”；若……，则……。 条件 结论 分别指出上面三个命题的条件和结论,并判断它们是否正确。 当条件成立时,结论一定成立的命题叫作真命题。 当条件成立时,结论不一定成立的命题叫作假命题。 满足命题条件,而结论却与命题结论不同的例子叫作命题的反例。只要能举出一个反例,就可以说明这个命题是假命题。 如何说明一个命题是假命题？ 例：写出下列命题的条件和结论,并判断真假。如果是假命题,请举出反例。 (1)如果ab=0,那么a=0或b=0; (2)两条直线被第三条直线所截,如果两个角是同位角,那么这两个角相等; (3)对顶角相等; (4)如果a是有理数,那么a2>a。 解:(1)条件:ab=0;结论:a=0或b=0。真命题。 (2)条件:两条直线被第三条直线所截,两个角是同位角;结论:这两个角相等。假命题。 反例:如图,直线a,b被直线c所截,其中两个同位角∠1≠∠2。 (3)先把这个命题改成 “如果……,那么……”的形式:如果两个角是对顶角,那么这两个角相等。 条件:两个角是对顶角;结论:这两个角相等。真命题。 (4)条件:a是有理数;结论:a2>a。假命题。 反例:当a=1时,a是有理数,不满足a2>a。 1、指出下列命题的条件和结论,并判断真假。如果是假命题,请举出反例。 (1)如果|a|=|b|,那么a=b; (2)如果a是负整数,那么a就小于或等于它的倒数。 2、将下列命题改成 “如果……,那么……”的形式,并指出命题的条件和结论。 (1)平行于同一条直线的两条直线平行; (2)两个有理数相乘,同号得正。 说一下这节课你的收获 1、下列语句中,哪些是命题? (1)过点A 作一条射线。 (2)线段AB 的长是5cm吗? (3)如果ab>0,那么a+b>0。 2、下列命题中，是假命题的是（   ） A．等角的补角相等 B．两锐角的和是钝角 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 B 3、下列命题中真命题是（   ） A．若两个角的和为180°，则这两个角互为邻补角 B．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数 C．互为相反数的两个数和为0 D．同位角相等 C 4、下列命题是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．如果C是线段AB的中点，那么AB=2BC C．若x2=4，则x=2 D．如果AC=BC，那么点C是AB的中点 B 5、下列命题中是真命题的有（　　）个 ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④三角形的三条中线、三条角平分线及三条高都分别交于一点； ⑤三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 B 6、能说明命题“若a2>4b2，则a>2b”是假命题的一组实数a，b的值为a= ，b= ．（答案不唯一） -3 1 7、把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式。 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 作业： 习题1.1 第一题，第二题 再 见 $$