精品解析：广东省汕头市澄海区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期末质量监测 八年级数学 【说明】本卷满分120分，考试时长120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的化简，几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 将各选项化简为最简二次根式后，比较被开方数是否与相同即可． 【详解】解：A、与被开方数不一样，不是同类二次根式，不符合题意； B、，与被开方数不一样，不是同类二次根式，不符合题意； C、与被开方数不一样，不是同类二次根式，不符合题意； D、与被开方数一样，是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 如图，在中，，点是的中点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质．先根据勾股定理求出，再由直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，减法，乘法，除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 依次利用二次根式的加法，减法，乘法，除法的运算法则化简计算即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意， 故选：D． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查平方及算术平方根的非负性，求代数式的值，熟练掌握这些基础知识点是解题关键. 根据非负数的性质，平方项和算术平方根均为非负数，它们的和为零时，每个部分都为零，由此可解出a和b的值，再计算. 【详解】解：， ∵， ， ∴且， ∴，， ∴， 故选：B. 5. 某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表： 鞋码 平均每天销售量/双 如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查统计的有关知识，了解平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键；平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故老板最关注的销售数据的统计量是众数． 故选：C． 6. 若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据函数解析式得到y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵一次函数的图象经过点，，， ∴， 故选：B． 7. 如图，在矩形中，、、、分别为边、、、的中点．若对角线，则四边形的周长为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，菱形的判定和性质，连接，三角形的中位线定理推出四边形为菱形，且边长为2，再进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵在矩形中，、、、分别为边、、、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形，且边长为， ∴四边形的周长为； 故选C 8. 如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（ ）海里/小时 A. B. C. 40 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，掌握直角三角形的性质，等角对等边是解题的关键． 过点A作于点D，则，根据海里，得，在中，根据勾股定理得海里，根据，得，根据海里，得海里，可得海里，即可得行驶速度． 【详解】解：如图所示，过点A作交于点D， ∴， ∵海里， ∴在中，海里， （海里）， ∵，， ∴， ∵， ∴海里， ∴海里， 则该船行驶的速度为：（海里/小时）． 故选：B 9. 如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线的性质可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴O是中点， 又∵E是中点， ∴OE是的中位线， ∴，， ∵的周长为12，， ∴， ∴的周长为． 故选：B. 10. 已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： （1）体育场离该同学家2.5千米； （2）该同学在体育场锻炼了15分钟； （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75； 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确的读懂图像给出的信息是解题的关键．利用图象信息解决问题即可． 【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确； 该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确； 该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误； 若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 已知正比例函数的图象经过点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数值的计算，把点代入计算即可求解． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ∴， 故答案为： ． 13. 实数在数轴上的位置如图，化简_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴判断正负，化简二次根式． 根据数轴可知，得到，化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ 故答案为：． 14. 一副直角三角板如图放置，，．点在的延长线上，，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了30度角的性质，勾股定理，平行线的性质，等角对等边． 过点B作于点M，根据30度角的性质及勾股定理求出，由得到，根据30度角的性质求出，再由勾股定理求出，根据等角对等边得到，即可求出的长． 【详解】解：过点B作于点M， 在中，，，， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为：. 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的坐标是，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，函数值或自变量值的计算，两点之间的距离及勾股定理的运用，掌握菱形的性质，一次函数值的计算是关键． 根据一次函数值的计算得到，根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：顶点在直线上，若点的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点的横坐标为，，点的纵坐标线相同， ∴点的横坐标为， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质化简，二次根式的加减混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 17. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过两点． （1）求该函数的解析式； （2）求图象与轴的交点坐标，并写出当时，的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法，求直线与坐标轴的交点坐标，一次函数与不等式等内容，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）利用交点坐标特征进行求解，根据直线的性质求出不等式的解集． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴该函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令得， ， 解得：， 图象与轴的交点坐标为， ∵一次函数解析式中，随的增大而增大， ∴当时，的取值范围． 18. 如图，菱形中，点E，F分别是边上的点，，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是关键．根据菱形的性质得到条件证明，则，即可得到结论． 【详解】略 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 在数学课外实践活动中，某小组测量一栋竖直楼房的高度（如图），他们在处仰望楼顶，测得，再往楼的方向前进60米至处，测得，点、在同一直线上．求这栋楼的高度（人的身高忽略不计）． 【答案】这栋楼的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了等角对等边，30度角的性质，勾股定理． 先由等角对等边得到米，由30度角的性质得到米，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：， ， ， 米， ， ， 米， 在中， （米）． 答：这栋楼的高度为米． 20. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题， （1） ，图2中的 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 和 ． （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数为多少？ 【答案】（1）50；34；8；8 （2） （3）估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人）， ， ， 在这组数据中，8出现了17次，次数最多， 众数是8， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：， 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 解：在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生600人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，每周参加科学教育的时间是的学生占， 则（人）． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为人． 21. 某公司生产了、两款新能源电动汽车．如图，、分别表示款、款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系． （1）根据图象信息，分别求出、的函数解析式； （2）求当行驶路程都是时，款电动汽车电池的剩余电量比款电动汽车电池的剩余电量多多少？ 【答案】（1）的函数关系式为，的函数关系式为； （2）款电动汽车电池的剩余电量比款电动汽车电池的剩余电量多 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）设，根据经过点和求出的函数解析式，设，根据经过点和求出的函数解析式即可； （2）分别求出当时、的值，再相减即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意可知经过点和， ， 解得：， ， 设， 由题意可知经过点和， ， 解得：， 图象的函数关系式为，图象的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时， ，，， 答：当行驶路程都是250km时，款电动汽车电池的剩余电量比款电动汽车电池的剩余电量多． 五、解答题（三）（本大题共2小题，22小题13分，23小题14分，共27分） 22. 如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接． （1）求证：； （2）若，，求菱形的面积； （3）若，求的最小值． 【答案】（1） 证明：如图1：连接， 四边形是菱形， ． ， ， . 是的垂直平分线， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】对于（1），先连接，根据菱形的性质得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据线段垂直平分线的性质得出答案； 对于（2），作，结合（1）说明，再根据菱形的性质和直角三角形的性质得，接下来根据勾股定理求出，即可求出，接下来，根据直角三角形的性质和勾股定理求出，最后根据得出答案； 对于（3），如图：连接，可得，进而得，可知当点A、、三点共线时,即时，取得最小值，求出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1：过点作于点， ， ， 即． ， ． ∵四边形是菱形，， ． ， ， ， ， 过点A作于点， 在中，， ∴ 根据勾股定理，得， ； 【小问3详解】 解：如图：连接， ， ， ， 当点A、、三点共线时（如图）， 即时，取得最小值， 在中，由（2）得：， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，作出辅助线是解题的关键． 23. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末质量监测 八年级数学 【说明】本卷满分120分，考试时长120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，点是的中点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表： 鞋码 平均每天销售量/双 如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，、、、分别为边、、、的中点．若对角线，则四边形的周长为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 8. 如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（ ）海里/小时 A. B. C. 40 D. 20 9. 如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： （1）体育场离该同学家2.5千米； （2）该同学在体育场锻炼了15分钟； （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75； 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________. 12. 已知正比例函数的图象经过点，则的值为_____． 13. 实数在数轴上的位置如图，化简_____． 14. 一副直角三角板如图放置，，．点在的延长线上，，若，则的长为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的坐标是，则点的坐标为_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过两点． （1）求该函数的解析式； （2）求图象与轴的交点坐标，并写出当时，的取值范围． 18. 如图，菱形中，点E，F分别是边上的点，，求证：． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 在数学课外实践活动中，某小组测量一栋竖直楼房的高度（如图），他们在处仰望楼顶，测得，再往楼的方向前进60米至处，测得，点、在同一直线上．求这栋楼的高度（人的身高忽略不计）． 20. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题， （1） ，图2中的 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 和 ． （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数为多少？ 21. 某公司生产了、两款新能源电动汽车．如图，、分别表示款、款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系． （1）根据图象信息，分别求出、的函数解析式； （2）求当行驶路程都是时，款电动汽车电池的剩余电量比款电动汽车电池的剩余电量多多少？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，22小题13分，23小题14分，共27分） 22. 如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接． （1）求证：； （2）若，，求菱形的面积； （3）若，求的最小值． 23. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $