精品解析：陕西省渭南市渭南中学2024-2025学年高一下学期期末质量调研数学试题

渭南中学2027届高一下学期期末质量调研 数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量减法的坐标表示计算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 故选：C 2. 已知半径为2的扇形面积为5，则扇形的圆心角为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式可求出扇形的圆心角. 【详解】设圆心角为，半径为, 扇形面积为，所以. 故选：B. 3. 直线与平面相交，则下列结论成立的是（ ） A. 内的所有直线与都相交 B. 内不存在与平行的直线 C. 内的所有直线与都是异面直线 D. 内存在唯一一条直线与平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面相交关系，结合平面的基本性质及各项的描述，即可得. 【详解】由题设，平面内的直线与直线只有相交或异面两种位置情况，不可能有平行的情况，A、C、D错、B对； 故选：B 4. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，边长，，然后即可求三角形的周长． 【详解】 根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，， 底边长，高， 所以， 直角三角形的周长为． 故选：A． 5. 已知球O内切于一个边长为6的正方体，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何关系确定正方体内切球的半径，再根据球的表面积公式，即可求解. 【详解】正方体的棱长为6，所以其内切球的半径为3， 所以球的表面积为. 故选：C 6. 已知函数在上单调递减，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为整体，结合余弦函数性质分析求解. 【详解】因为，则， 由题意可得，解得，即实数的最大值为. 故选：C. 7. 已知四边形中，，，，则四边形一定是（ ） A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知向量关系得四边形是平行四边形，为等边三角形，即可确定四边形形状. 【详解】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形， 所以四边形是菱形. 故选：D 8. 给白炽灯加上一个不透光材料做的灯罩，可以降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角满足.若图中，且，则（ ） A. 21 B. 33 C. 42 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式，弦化切得到，代入式子得到，解得答案. 【详解】， 所以，则，因为，所以， 所以， 解得， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 与可以作为一组基底 D. 向量在向量上的投影数量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由单位向量的定义判断A；由向量模长的坐标运算判断B；根据基底的性质判断C；由投影数量的求法判断D. 【详解】由，是与同向的单位向量，则，A错； 由，则，B错； 由，则不共线，故可作为一组基底，C对； 向量在向量上的投影数量，D错. 故选：ABD 10. 在中，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为钝角三角形，则 C. 若边的中点为，则 D. 若，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用正弦边角关系判断A；由于中钝角不一定是角即可判断B；应用向量加减法几何意义及数量积的运算律化简整理判断C；由余弦定理列方程求边长判断D. 【详解】A：由，且，则，根据大边对大角有，对； B：若为钝角三角形，不一定有，因为钝角不一定是角，错； C：由题设，则， 所以， 又，则，即， 所以，即，对； D：由余弦定理知，即， 所以，可得（负值舍），对. 故选：ACD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，点为线段上的动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与互为异面直线 C. 从点处沿该正方体表面到达点处的最短距离为 D. 当为线段中点时，平面截正方体所得截面图形为梯形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据在正方体的几何特点，逐项判断即可. 【详解】因为在棱长为2的正方体中，点是线段的中点， 所以， 因为平面，点为线段上的动点， 所以到平面的距离为2， 所以，所以A正确； 因为直线与不同在任何一个平面内， 所以直线与互为异面直线，所以B正确； 正方体的侧面展开图如下： 则点处沿该正方体表面到达点处的最短距离为，所以C错误； 如图，取的中点，当为线段中点时，有， 所以平面截正方体所得截面图形为平面，又， 所以平面为梯形，所以D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域用整体代入的方法即可求出函数的定义域. 【详解】由得， 所以函数的定义域为； 故答案为：. 13. 已知复数满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据虚数单位的性质，复数的运算法则求复数，再利用模的公式求结论. 【详解】因为，所以，， 所以，可化为， 所以， 所以， 故答案为：. 14. 根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 所以， 则， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（，为虚数单位）. （1）若是纯虚数，求； （2）若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数定义求参数，进而求复数的模长； （2）由第一象限得，即可求范围. 【小问1详解】 复数是纯虚数， ，解得，则，故. 【小问2详解】 若在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得，则的取值范围为. 16. 已知. （1）若是第二象限角，求的值； （2）求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的正切可求出的正弦和余弦，然后利用和差的余弦函数计算即可. （2）利用正弦函数的二倍角公式和商数关系将式子化简成只含有正切的形式，继而可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，是第二象限角， 所以. 所以. 【小问2详解】 . 17. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）. （1）求函数的解析式； （2）当时，求点到轴的距离的最大值. 【答案】（1）； （2）6. 【解析】 【分析】（1）根据已知有、、求解析式中的参数，即可得； （2）根据正弦型函数性质求值域范围，即可得点到轴的距离的最大值. 【小问1详解】 由题意，，则， 由题意，即，又，则. . 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， ，故， 点到轴的距离的最大值为6. 18. 在中，角的对边分别为.已知向量，，且. （1）求角的大小； （2）若是的中点，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量平行的坐标表示可得，再根据正弦定理边化角化简求解即可； （2）由是的中点可得，再利用向量数量积的运算律可得，结合基本不等式和三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，，且， 所以， 由正弦定理得， 因为在中，，所以，， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为是的中点，所以， ， 因为，所以，化简得， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最大值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角为. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在四棱锥中，由平面，平面，得， 由四边形是正方形，得，而平面， 因此平面，又平面, 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定推理得证. （2）利用（1）的信息确定二面角的平面角，再作出线面角，利用几何法求出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面，而，则平面，又平面， 于是，为二面角的平面角，则， 令正方形的棱长为4，而，则， 取中点，连接，则，由（1）知平面平面， 又平面平面，平面，则平面， 是直线与平面所成的角，而， ，所以直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭南中学2027届高一下学期期末质量调研 数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知半径为2的扇形面积为5，则扇形的圆心角为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 3. 直线与平面相交，则下列结论成立的是（ ） A. 内的所有直线与都相交 B. 内不存在与平行的直线 C. 内的所有直线与都是异面直线 D. 内存在唯一一条直线与平行 4. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知球O内切于一个边长为6的正方体，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知四边形中，，，，则四边形一定是（ ） A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形 8. 给白炽灯加上一个不透光材料做的灯罩，可以降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角满足.若图中，且，则（ ） A. 21 B. 33 C. 42 D. 55 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 与可以作为一组基底 D. 向量在向量上的投影数量是 10. 在中，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为钝角三角形，则 C. 若边的中点为，则 D. 若，，，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，点为线段上的动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与互为异面直线 C. 从点处沿该正方体表面到达点处的最短距离为 D. 当为线段中点时，平面截正方体所得截面图形为梯形 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 13. 已知复数满足，则______. 14. 根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（，为虚数单位）. （1）若是纯虚数，求； （2）若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 16. 已知. （1）若是第二象限角，求的值； （2）求的值 17. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）. （1）求函数的解析式； （2）当时，求点到轴的距离的最大值. 18. 在中，角的对边分别为.已知向量，，且. （1）求角的大小； （2）若是的中点，，求面积的最大值. 19. 如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角为. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $