精品解析：黑龙江省大庆市2024-2025学年高二下学期期末数学试题

黑龙江省大庆市2024-2025学年高二（下）期末数学练习卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为 A. 35 B. 50 C. 70 D. 100 4. 定义符号函数，设，，若,, 若有两个解，则的取值范围是 A. B. C. D. 5. 函数的定义域为，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数是（ ） A. B. C. D. 多于 7. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数在区间上有最小值，是下面关系式一定成立的是 A. 或 B. C. 或 D. 或 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 当时， 10. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. （多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（ ） A. 当时，的方向与的方向一定相反 B. 当时，的方向具有任意性 C. D. 当时，的方向与的方向一定相同 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 全期望公式是条件数学期望的一个非常重要的性质。全期望公式具有广泛的应用.例如，小明按照如下规则扔一个骰子：如果扔到1点，就再扔一次并规则不变，如果扔到其他点数则停止.设为小明停止扔骰子后扔骰子的总次数，则根据全期望公式可得，解得，其中表示小明投一次1点后，再投骰子停止后次数期望仍为，加上之前投的一次总次数为.参考以上方法完成下列问题：一只小白鼠陷入一个有三扇门的迷宫中，它每次都是等可能得选择其中一扇门，如选择第一扇门，小白鼠2分钟后到达安全区；如选择第二扇门，小白鼠3分钟后回到迷宫起点；如选择第三扇门，小白鼠5分钟后回到迷宫起点.设小白鼠达到安全区所需的时间为，则__________分钟. 13. 设是等比数列，且，则__________. 14. 已知偶函数满足，当时，，方程有10个根，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为． （1）若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望； （2）若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率． 16. 记数列的前项和为，已知且． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和 17. 已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）若函数有两个不同的极值点，求证：． 18. 短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人. （1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关联：单位：人 游客 短视频 合计 收看 未看 南方游客 北方游客 合计 （2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出. （i）求经过次传递后球回到甲的概率； （ii）记前次传递中球传到乙的次数为，求的数学期望. 参考公式：，其中； 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数在处的切线斜率为2. （1）求的值； （2）求证：； （3）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值集合，若不存在说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省大庆市2024-2025学年高二（下）期末数学练习卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据条件判断函数在上为增函数，在保证每一段函数单调递增的情况下，注意分界点处的值的大小关系，列不等式组求解即可． 【详解】根据题意，函数对任意的，且，都有， 所以在上为增函数， 又， 所以有， 即，解得， 故选：D． 2. 在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合长方体性质，利用线面角的定义，从而得到角与边之间的关系，然后利用棱锥的体积公式即可求得结果． 【详解】 在长方体中， 利用长方体的性质可知，平面， 则与平面所成的角为，从而， 因为平面，平面，所以， 在直角中，根据，，可得， 再由勾股定理，可以确定， 利用长方体的性质可知， 平面， 所以该四棱锥的体积为， 故选：B． 3. 6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为 A. 35 B. 50 C. 70 D. 100 【答案】B 【解析】 【详解】分析：排列组合题目，先分配：（42，33），再选排，最后根据加法原理求结果. 详解：若两辆汽车人数分别为4人与2人，则排列数为 若两辆汽车人数分别为3人与3人，则排列数为 因此不同的乘车方法数为选B. 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 4. 定义符号函数，设，，若,, 若有两个解，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数新定义结合单调性可得. 【详解】根据题中所给的条件，可知， 从而有函数在上单调减，在上单调增， 且，所以所求的结果为. 故选：D． 5. 函数的定义域为，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，解不等式即可得出答案. 【详解】构造函数，满足，， 则由可得，解得：. 故选：B. 6. 若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数是（ ） A. B. C. D. 多于 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的图象与函数的图象，由图象可得交点个数． 【详解】，故为一个周期为2的周期函数，且时，， 且为偶函数， 由题意，同一坐标系内作出函数的图象与函数的图象， 则由图象可得，有个交点， 故选：A． 7. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数解析式分两段得到不等式，分别解两个不等式取并集即可. 【详解】根据题意，由于函数， 那么可知当，则，解得； 当，则，即，解得或， 综上，不等式的解集是. 故选：A. 8. 已知二次函数在区间上有最小值，是下面关系式一定成立的是 A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由于当时，函数值为，所以由二次函数的性质可知对称轴应位于中间，从而可得结果. 【详解】因为二次函数的对称轴，当时，函数值为， 所以要使函数在区间上有最小值，对称轴应位于中间， 所以或. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案. 【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于， 则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则， 故，C错误； D选项，当时，，则， 所以，D正确． 故选：AD． 10. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 当时，，函数在上单调递增，故B正确； 当时，，，所以在上单调递增，故D正确； 当时，当时，；当时，； 故A正确；C错误. 故选：ABD. 11. （多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（ ） A. 当时，的方向与的方向一定相反 B. 当时，的方向具有任意性 C. D. 当时，的方向与的方向一定相同 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的数乘运算概念判断ABD,再根据向量的模长性质判断C. 【详解】根据实数与向量的积的方向的规定，A正确； 对于B，当时，，零向量的方向具有任意性，故B正确； 对于D，由可得，同为正或同为负， 所以和或者都是与同向，或者都是与反向，所以与是同向的，故D正确； 对于C，，故C错误． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 全期望公式是条件数学期望的一个非常重要的性质。全期望公式具有广泛的应用.例如，小明按照如下规则扔一个骰子：如果扔到1点，就再扔一次并规则不变，如果扔到其他点数则停止.设为小明停止扔骰子后扔骰子的总次数，则根据全期望公式可得，解得，其中表示小明投一次1点后，再投骰子停止后次数期望仍为，加上之前投的一次总次数为.参考以上方法完成下列问题：一只小白鼠陷入一个有三扇门的迷宫中，它每次都是等可能得选择其中一扇门，如选择第一扇门，小白鼠2分钟后到达安全区；如选择第二扇门，小白鼠3分钟后回到迷宫起点；如选择第三扇门，小白鼠5分钟后回到迷宫起点.设小白鼠达到安全区所需的时间为，则__________分钟. 【答案】10 【解析】 【分析】根据全期望公式及离散型随机变量的期望的性质即可求解. 【详解】由全期望公式可知，，解得分钟. 故答案为：. 13. 设是等比数列，且，则__________. 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意可求得等比数列的公比，再根据，求得，即可求得答案. 【详解】设的公比为，则， 由，得，解得， 所以. 故答案为：32 14. 已知偶函数满足，当时，，方程有10个根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先给出，故2为函数的周期，因为函数为偶函数，所以方程在上有5个根，结合图象求解． 【详解】解：由题意知偶函数满足， 即，故2为函数的周期； 因为函数为偶函数，所以方程在上有5个根， 作出函数在上的图象，如图： 结合图象可知需满足，即实数a的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为． （1）若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望； （2）若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率． 【答案】（1）X的分布列为 X 0 10 20 30 P （2） 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解， （2）根据相互独立事件的概率，即可求解. 【小问1详解】 ，， ， 所以X的分布为 X 0 10 20 30 P 所以 【小问2详解】 记“该同学仅答对1道题”为事件M. 这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为. 16. 记数列的前项和为，已知且． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系式可得数列的递推公式，利用累乘法可求通项公式； （2）由（1）知，所以，利用分组求和法求. 【小问1详解】 根据题意，，，则， 两式相减得， 即， 所以， 故的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 故， . 17. 已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）若函数有两个不同的极值点，求证：． 【答案】（1） （2） 由（1）可知：，且，令，可得， 由函数有两个不同的极值点，等价于有2个实根， 则，解得：， 由韦达定理可得：，则， 由， 因，则，，故． 【解析】 【分析】（1）由函数在上单调递增，借助于导函数推得在上恒成立.利用参变分离法即可求得参数范围； （2）由函数有两个极值点，可推得有2个实根，利用韦达定理可将化简为，由判别式大于0即可证明. 【小问1详解】 在上连续不断，且， 由在上单调递增，因，则在上恒成立， 即在恒成立， 因在上单调递增，则， 故，即； 【小问2详解】 略 18. 短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人. （1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关联：单位：人 游客 短视频 合计 收看 未看 南方游客 北方游客 合计 （2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出. （i）求经过次传递后球回到甲的概率； （ii）记前次传递中球传到乙的次数为，求的数学期望. 参考公式：，其中； 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表： 游客 短视频 合计 收看 未看 南方游客 200 100 300 北方游客 80 120 200 合计 280 220 500 无关 （2）（i）； （ii） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，完成列联表，利用独立性检验公式求解判断即可； （2）（i）设经过次传递后回到甲的概率为，求出关系式，得到通项公式；（ii）方法一：设第次传递时甲接到球的次数为，则服从两点分布，，设前次传递中球传到甲的次数为，利用公式求期望即可.方法二：设第次传递时，乙接到球的概率和次数分别为与，则服从两点分布，，利用公式求期望即可. 【小问1详解】 将所给数据进行整理，得到如下列联表： 游客 短视频 合计 收看 未看 南方游客 200 100 300 北方游客 80 120 200 合计 280 220 500 零假设：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联． 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【小问2详解】 （i）设经过次传递后回到甲的概率为， ，， 又， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. （ii）（方法一） 设第次传递时甲接到球的次数为，则服从两点分布，， 设前次传递中球传到甲的次数为， ， 因为，所以. （方法二） 设第次传递时，乙接到球的概率和次数分别为与，则服从两点分布， ，由题可知，， 又，所以，所以是首项为，公比为的等比数列， ，， ， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第2问（ii）的解决关键是，根据题意得到的关系，利用构造法分析出是首项为，公比为的等比数列，由此得解. 19. 已知函数在处的切线斜率为2. （1）求的值； （2）求证：； （3）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值集合，若不存在说明理由. 【答案】（1）2 （2）证明：设，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 则在R上的最小值为，所以； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解； （2）设，利用导数求出在R上的最小值为，再根据三角函数的最值可得证； （3）设，利用导数分类讨论函数是否恒大于0. 【小问1详解】 根据题意，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 则， 设， 则，设 则，设， ，， ①时，，， 由（2）可知，， 所以在R上递增，又， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以在R上上的最小值为，即成立； ②时，， 当时，，在上单调递增， 若，则当时，， 在单调递增， 当时，，在单调递减。 当时，，在单调递增， 所以，不成立； 若，因为在上单调递增且， 则存在，使得， 所以当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以，不成立； ③时，， 时，在上单调递增， 若，则当时，， 在单调递减， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递减， 所以，不成立； 若，因为在上单调递增且， 则存在，使得， 所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递减， 所以，不成立， 综上所述，的取值集合为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $