2026年高考第一次模拟考试（新高考I卷地区适用）数学试题

2026年高考第一次模拟考试（新高考Ⅰ卷地区适用） 数　学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 已知，则 A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，，则 A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数为 A. B. C. D. 5. 函数是 A．偶函数，且在区间单调递增 B．偶函数，且在区间单调递减 C．奇函数，且在区间单调递增 D．奇函数，且在区间单调递减 6. 若圆锥的母线长为，则该圆锥体积的最大值为 A. B. C. D. 绝密★启用前 数学试题第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 7. 设函数，若曲线在点处的切线方程为，则在区间的零点个数是 A. B. C. D. 8. 已知，，满足，，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 将6个相同的小球分别标上数字2，3，4，6，7，8，从中随机地取两个小球. 记事件为“取出的两个小球上的数字均为偶数”，事件为“取出的两个小球中至少有一个小球上的数字能被3整除”，则 A. B. C. D. 10. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，母线长为，高为，，为底面圆周上的两点，则下列结论正确的有 A. 面积的最大值为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若，，，均在同一球面上，则该球表面积的最小值为 D. 直线与平面所成角的余弦值最小为 11. 已知函数的定义域为，，当时，，则 A. 当时， B. 当时， C. D. 数学试题第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共3小题，每小题5 分，共15分。 12. 设，分别为圆和上的两点，则的最大值为 . 13. 设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于 ，两点，且为的上顶点，若，则的离心率为 . 14. 写出与曲线和都相切的一条直线的方程 . 四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 记为数列的前项和，已知，，是公比为的等比数列. （1）求； （2）求数列的前项和. 16.（15分） 如图，在直三棱柱中，为的中点， 记四棱锥的体积为，三棱锥的体 积为. （1）证明：； （2）已知，，，， 求二面角的余弦值. 17.（15分） 在中，已知. （1）证明：为锐角； （2）求的最小值. 数学试题第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 18.（17分） 已知函数. （1）若，讨论的单调性； （2）若，当时，判断是否存在零点，并说明理由； （3）当时，，求的取值范围. 19.（17分） 已知双曲线的右焦点为，且到的渐近线的距离为，过点作两条相互垂直的直线和，交于，两点，交于， 两点，，分别是，的中点，直线过点；再过定点作 两条相互垂直的直线和，交于，两点，交于，两点，， 分别是，的中点，直线过定点，以此方式构造下去，可得到一列定点，，，. （1）求的方程； （2）求的坐标； （3）已知点，，记的面积为，证明： . 数学试题第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 2026年高考第一次模拟卷（新高考一卷地区适用）答案解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D C B C B A C A ACD BD ABD 12. 13. 14. 或 15 （1） 由累加法得 两边平方得 当时，也满足上式 所以 （2） 经检验，当时，也满足上式 所以 利用错位相减法求前项和，将其设为 两式相减得 16 （1）设该三棱柱的底面积为,高为， 直线与平面平行，即棱上的任意两点到平面的距离相等， 连接，易得， ， 由体积分割的思想得 数学试题答案 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 所以， 所以，证毕 （2）由（1）知，则 ， 以点为原点建立空间直角坐标系 ，， ， 平面的法向量 同理得平面的法向量 设二面角为 17.（1）易得， 即原等式为 两边展开得 =， 移项得， ， 在三角形中，， ，即， 由进一步得，所以是锐角 （2）易得，即， 由（1）得 即 因为是锐角， 当且仅当时等号成立 所以原式最小值为4 18. （1）由题意得，其定义域为. ，设， 则 因为，所以，所以在区间单调递增 又因为，所以当时，，在区间 单调递减；当时，，在区间单调递增， （2）由题意得，， ， 当时，， 所以 在区间单调递减 又，当时，， 所以当时，不存在零点 （3）由题意得 化简得 设 当时，， 在区间单调递增 又，所以 在区间单调递增 当时，当时，， 所以在区间单调递减 在区间上，即单调递减 在区间上，，不合题意，舍去. 当时，在区间上恒成立， 同理可得在区间上恒成立， 不符合题意，舍去. 综上， 19.（1）由题意得解得， 的方程为 （2）当轴时，必然与轴重合，由曲线对称性知中点在 轴上，的中点也在轴上，故经过的定点也在轴上. 设为，直线方程为，设, ,联立，得， 由韦达定理可得：， 故中点， 同理得直线的方程为，的中点 ，即 由三点共线可得，即 解得，. （3） 由（2）知，时，定点， 同理可知，也一定在轴上， 考虑一般情况，假设点时，设， 并设直线方程为，，， 联立，得： 由韦达定理得， 故中点 同理，直线方程为，中点， 解得，即点时，， 故当点时，可得，，……，， 由题意知，的面积为， 故， 所以 证毕. $$