精品解析：湖南省永州市宁远县第二中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

宁远二中2025年7月高二期末考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 6.5 3. 在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于（ ） A. B. C. D. 4. 有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法． A. 72 B. 144 C. 108 D. 96 5. 已知，则（ ） A. 3 B. C. D. 2 6. 最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是的重心，是空间中的一点，满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知复数是关于的方程的两根，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 若函数，则（ ） A. 的最小正周期为π B. 的图像关于直线对称 C. 的最小值为-1 D. 的单调递减区间为 11. （多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递减 D. 将函数图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，则______. 13. 已知的展开式中的系数为240，则实数______． 14. 若函数在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 16. 如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，.点在底面的射影点在线段上. （1）在图中过作平面的垂线段，为垂足，并给出严谨的作图过程； （2）若.求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 17. 已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若直线BD的斜率为0，求t的值． 18. 某校机器人社团为了解市民对历年"数博会"科技成果的关注情况，在市内随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且. （1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数； （2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从市内随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 19. 设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁远二中2025年7月高二期末考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，进而得到焦点坐标. 【详解】由可得抛物线标准方程为：，其焦点坐标为. 故选：D. 2. 有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 6.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据极差为最大值与最小值的差值，求出极值，从而求出平均数，进而得出，即可求出中位数. 【详解】依题意可得极差为， 平均数为， 所以，解得， 所以中位数为. 故选：B. 3. 在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出、的值，可利用公式求出的值，再利用等比数列的通项公式可求得的值. 【详解】由已知条件可得，解得或. 设等比数列的公比为. ①当，时，由，解得， ，解得； ②当，时，由，解得， ，解得. 综上所述，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：已知、、求等比数列的基本量，利用公式计算较为方便，但需要注意分和两种情况讨论. 4. 有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法． A. 72 B. 144 C. 108 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】对特殊车辆货车甲的停放方法分类讨论，再停入乙车，最后停入其它车即可得. 【详解】先停入货车甲，若货车甲不靠边，共有种停法，则乙车有种停法， 除甲、乙外的其它三辆车共有种停法； 若货车甲靠边，共有种停法，则乙车有种停法， 除甲、乙外的其它三辆车的排法共有种， 故共有种停放方法. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式结合同角关系式结合条件可得，然后利用诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以，故. 故选：A 6. 最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据梯形中位线定理，结合圆台体积公式进行求解即可. 【详解】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为， 所以平地降雪厚度的近似值为. 故选：C 7. 已知是的重心，是空间中的一点，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是的重心可得，然后再结合题意即可求出. 【详解】由题意知是的重心，则，即 所以， 又因为， 所以. 故选：C. 8. 已知正数满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设且，构造、，利用导数、零点存在性定理判断在上的函数值符号，即可得答案. 【详解】由题设，则，且，则， 令且，故， 令，则在上递增，故， 所以在上递增，故， 所以在上递增，故， 即在上恒成立，故，A错，B对； 对于的大小关系，令且，而，， 显然在上函数符号有正有负，故的大小在上不确定， 即的大小在上不确定，所以C、D错. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知复数是关于的方程的两根，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意求出两根为：，再依次判断选项． 【详解】，则， 不妨设， 则，故A项正确； ，故C项正确； 而， 则， 当时，，故B项错误； 当时，， ，，，同理，故D项正确， 故选：ACD 10. 若函数，则（ ） A. 的最小正周期为π B. 的图像关于直线对称 C. 的最小值为-1 D. 的单调递减区间为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出的定义域，再对四个选项一一验证：对于A：利用定义法判断出的最小正周期；对于B：由，即可判断；对于C：设，得到利用导数求出，即可判断；对于D：利用复合函数单调性法则直接判断. 【详解】由得的定义域为. 对于A：当时，不在定义域内，故不成立，易知的最小正周期为，故选项错误； 对于B：又，所以的图像关于直线对称，所以选项正确； 对于C：因为，设，所以函数转化为， 由得，.得.所以在上单调递减，在上单调递增，故，即，故选项正确； 对于D：因为在上单调递减，在上单调递增，由，令得，又的定义域为，解得， 因为在上单调递增，所以的单调递减区间为， 同理函数的递增区间为，所以选项D正确. 故选：BCD. 11. （多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递减 D. 将函数图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数的部分图象求出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】由函数的部分图象知，， ，所以， 又因为， 所以； 解得 又因为，所以， 所以； 所以，选项A正确； 时， ， 所以的图象不关于对称，选项B错误； 时，函数单调递减，选项C正确； 函数图象向左平移个单位，得，所得图象不关于y轴对称，选项D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据根式函数的定义域求出集合A，解分式不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由得，所以， 由得，解得，所以， 所以. 故答案为： 13. 已知的展开式中的系数为240，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】首先原式展开为，再利用二项式定理转化为求项的系数，即可求解. 【详解】， 二项式的通项公式为， 其中的展开式中无含项，含的项为， ∴中含的项为，则．解得． 故答案为： 14. 若函数在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】先求得函数的零点，再利用题给条件列出关于正数ω的不等式，解之即可求得正数ω的取值范围. 【详解】由，可得，即， 令，则 又在区间内没有零点， 则区间内不存在整数， 又，则正数ω满足， 则，则，解之得， 则正数ω的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . 【小问2详解】 由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 16. 如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，.点在底面的射影点在线段上. （1）在图中过作平面的垂线段，为垂足，并给出严谨的作图过程； （2）若.求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得，结合勾股定理即可得到，再由面面垂直的判定定理可证平面平面，再由面面垂直的性质定理即可证得平面； （2）根据题意，以为原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及面面角的公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 连接，有平面，所以. 在中，. 同理，在中，有. 又因为，所以， 所以，，故，即. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 过作垂直于点，因为平面平面，平面平面， 且平面，有平面. 【小问2详解】 依题意，，故为C，的交点，且. 所以，. 过作直线的平行线，则，，，两两垂直， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则：，，，， 所以，，， . 设平面的法向量为， 则取. 设平面的法向量为， 则，取， 所以，             故所求锐二面角余弦值为. 17. 已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若直线BD的斜率为0，求t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，进一步得，由此即可得解； （2）设，，联立椭圆方程，由韦达定理有，而，令，即可得解. 【小问1详解】 由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； 【小问2详解】 直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 18. 某校机器人社团为了解市民对历年"数博会"科技成果的关注情况，在市内随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且. （1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数； （2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从市内随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）200人； （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为【解析】 【分析】（1）利用正态分布的性质求出，进而求出对应的人数. （2）根据给定条件，利用二项分布求出分布列及期望. 【小问1详解】 由问卷调查的成绩近似服从正态分布，且， 则，于是， 所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为200人. 【小问2详解】 由（1）知，对“数博会”的关注度较高事件的概率为， 的可能取值为，， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望为. 19. 设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 【答案】（1）； （2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知，，其定义域为． 要证，即证，即证． （ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以． （ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以． 综合（ⅰ）（ⅱ）有． [方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 由（1）得，，且， 当 时，要证，， ，即证，化简得； 同理，当时，要证，， ，即证，化简得； 令，再令，则，， 令，， 当时，，单减，故； 当时，，单增，故； 综上所述，在恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以． （ⅰ）当时，，所以，即，所以． （ⅱ）当时，，同理可证得． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即． 【解析】 【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数； （2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解 【详解】（1）由，， 又是函数的极值点，所以，解得； （2）略 【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $