精品解析：福建省福州市星纪园高级中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024-2025年福州市星纪园高级中学高二下学期期末考试 数学试卷 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数（为常数）的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列中，，，则等于　　 A. 18 B. 54 C. 36 D. 72 5. 某同学在研究变量之间的相关关系时，得到以下一组数据： 1 5 7 13 19 其经验线性回归方程为，则（ ） A. 135 B. 90 C. 67 D. 63 6. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 从标有的六张卡片中，依次不放回的抽出两张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列问题属于排列问题的是（ ） A. 从10人中选取5人组成一个卫生队 B. 从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C. 从10人中选取5人参加某兴趣小组 D. 从10人中选取5人分别去五个地区支教 11. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知定义在上的奇函数，当时，，__________ 13. 2023年冬天我国多地爆发流感，已知在三个地区分别有的人患了流感，这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取1人，则这个人患流感的概率为__________. 14. 已知函数，且，则_________ 四、解答题（共5小题，满分60分） 15. 已知函数. （1）若，求函数的图像在上的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知等比数列中，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设是数列的前项的和，已知.求数列的前项和. 17. 某卫视2024年春节联欢晚会为广大观众献上了一场精彩纷呈的文化盛宴.某中学寒假社会劳动与实践活动小组对该市居民发放3000份问卷，调查居民对该卫视春节联欢晚会的满意度情况，从收回的问卷中随机抽取300份进行分析，其中女性与男性的人数之比为1:1，统计结果如下表所示： 女性 男性 合计 满意 120 不满意 60 合计 用样本估计总体，以频率估计概率. （1）完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该市居民对该卫视春节联欢晚会的满意度情况与性别有关系； （2）分别估计该市女性居民与男性居民对该卫视春节联欢晚会满意的概率； 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 18. 已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同． （1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望． （2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球． （ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率； （ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率． 19. 已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为． （1）求椭圆C的方程； （2）过B作x轴的垂线交椭圆于点D． ①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． ②求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年福州市星纪园高级中学高二下学期期末考试 数学试卷 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求得集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为或，又， 则， 故选：B. 2. 函数（为常数）的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数的对称轴为，开口向下， 由二次函数的性质知，函数（为常数）的单调递减区间是， 故选：A. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将分式不等式进行转换即可求解. 【详解】且，解得. 故选：C 4. 已知数列中，，，则等于　　 A. 18 B. 54 C. 36 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得：数列是等比数列，公比为，利用等比数列通项公式即可求解． 【详解】解：数列中，，， 数列是等比数列，公比． 则． 故选B． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5. 某同学在研究变量之间的相关关系时，得到以下一组数据： 1 5 7 13 19 其经验线性回归方程为，则（ ） A. 135 B. 90 C. 67 D. 63 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用线性回归方程过样本中心点，即可求解. 【详解】由题知，又经验线性回归方程为， 所以， 故选：D. 6. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用指数函数和的性质，即可求解. 【详解】因为是增函数，又，所以， 又是减函数，所以，则， 故选：C. 7. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用“”的妙用，即可求解. 【详解】因为正数满足，则， 当且仅当，即时取等号， 故选：B. 8. 从标有的六张卡片中，依次不放回的抽出两张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型求出第一次抽到奇数的概率、第一次抽到奇数且第二次抽到偶数的概率，再用条件概率公式计算作答. 【详解】事件“抽两张卡片，第一张为奇数”，“抽两张卡片，第二张为奇数”， 则有，所以. 故选：. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用全称量词命题和存在量词命题真假的判断方法，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，则有解， 所以，为真命题，故A正确， 对于B，因为有理数的四则运算（除数不为）结果仍为有理数， 所以，为真命题，故B正确， 对于C，取，满足，且有，所以，为真命题，故C正确， 对于D，当时，不小于，所以，为假命题，故D错误， 故选：ABC. 10. 下列问题属于排列问题的是（ ） A. 从10人中选取5人组成一个卫生队 B. 从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C. 从10人中选取5人参加某兴趣小组 D. 从10人中选取5人分别去五个地区支教 【答案】BD 【解析】 【分析】利用排列的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以A错误， 对于B，因为选取人后，4人排列有顺序要求，是排列问题，所以B正确， 对于C，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以C错误， 对于D，因为地区不一样，选取人后有顺序要求，是排列问题，所以D正确， 故选：BD. 11. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为正实数满足，则， 所以， 当且仅当时，取等号，所以A正确， 对于B，因为， 当且仅当时，取等号，得到，所以B错误， 对于C，因为，当且仅当时，取等号，得到，所以C正确， 对于D，因为， 当且仅当时，取等号，所以D正确， 故选：ACD. 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知定义在上的奇函数，当时，，__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用函数性质得，再代入，即可求解. 【详解】因为定义在上的奇函数，则， 又当时，，则，所以， 故答案为：. 13. 2023年冬天我国多地爆发流感，已知在三个地区分别有的人患了流感，这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取1人，则这个人患流感的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式和全概率公式结合题意求解即可. 【详解】设事件为“这个人患流感”，事件分别表示这个人选自三个地区， 则由已知得， ， 所以由全概率公式得 , 故答案为： 14. 已知函数，且，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，令，得到，再通过累加法，即可求解. 【详解】令，得到， 所以，，，，， 累加得到， 即， 故答案为：. 四、解答题（共5小题，满分60分） 15. 已知函数. （1）若，求函数的图像在上的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得，利用二次函数的性质，即可求解； （2）根据条件，得到，即，即可求解. 【小问1详解】 当时，，对称轴为，开口向上 当时，单调递减，所以， 即函数的图像在上的最小值为. 【小问2详解】 由题知恒成立，则， 解得，所以实数的取值范围为. 16. 已知等比数列中，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设是数列的前项的和，已知.求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题设条件求出，即可求解； （2）由（1）可得，再利用等差数列的前项和公式，即可求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，因为， 又，则，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以数列的前项和为. 17. 某卫视2024年春节联欢晚会为广大观众献上了一场精彩纷呈的文化盛宴.某中学寒假社会劳动与实践活动小组对该市居民发放3000份问卷，调查居民对该卫视春节联欢晚会的满意度情况，从收回的问卷中随机抽取300份进行分析，其中女性与男性的人数之比为1:1，统计结果如下表所示： 女性 男性 合计 满意 120 不满意 60 合计 用样本估计总体，以频率估计概率. （1）完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该市居民对该卫视春节联欢晚会的满意度情况与性别有关系； （2）分别估计该市女性居民与男性居民对该卫视春节联欢晚会满意的概率； 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 女性 男性 合计 满意 120 90 210 不满意 30 60 90 合计 150 150 300 ，有 （2），【解析】 【分析】（1）根据表中数据补全表格，再由公式计算的值，与临界值比较即可得出结果. （2）根据频率估计概率即可. 【小问1详解】 依题意补充完整的列联表如下： 女性 男性 合计 满意 120 90 210 不满意 30 60 90 合计 150 150 300 所以， 故有的把握认为该市居民对该卫视春节联欢晚会的满意度情况与性别有关系． 【小问2详解】 该市女性居民对该卫视春节联欢晚会满意的概率， 男性居民对该卫视春节联欢晚会满意的概率． 18. 已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同． （1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望． （2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球． （ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率； （ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率． 【答案】（1）分布列： 0 1 2 3 4 数学期望为2； （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）求出的可能值及各值对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）（ⅰ）利用古典概型及全概率公式计算即得；（ⅱ）利用条件概率公式计算得解. 【小问1详解】 依题意，的可能值为， ，， ， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. 【小问2详解】 （ⅰ）设事件“从甲盒中摸出2个白球”，事件“从甲盒中摸出1个白球和1个黑球”， 事件“从甲盒中摸出2个黑球”，事件“从乙盒中摸出1个黑球”， 显然，且两两互斥，， ， 则， 所以在乙盒中摸出的是黑球的概率是. （ⅱ）在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的事件是在事件发生的条件下，事件发生， 因此， 所以在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的概率为. 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 19. 已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为． （1）求椭圆C的方程； （2）过B作x轴的垂线交椭圆于点D． ①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． ②求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）①恒过定点；②. 【解析】 【分析】（1）根据已知焦点三角形周长，由椭圆定义及其离心率求椭圆参数即可得方程； （2）①设直线AD为且，，，，联立椭圆方程，应用韦达定理并结合A，B，共线有，整理化简求参数m，即可确定定点；②由直线AD所过定点，结合并将韦达公式代入化简，应用基本不等式求面积最大值，注意取值条件. 【小问1详解】 由题的周长，可得， 又，则，，故椭圆的方程为． 【小问2详解】 ①由题，设直线AD为且，，，， 联立方程可得：，化简可得： ， 所以，， 因为A，B，共线，则有，化简可得， 即，化简可得恒成立． ∴，即直线AD的方程为恒过定点． ②设直线AD恒过定点记为， 由上，可得， 所以，· ， 令，则， 当且仅当，即时，取等号． ∴面积的最大值为． 【点睛】关键点点睛：第二问，设直线AD为且，利用椭圆方程，应用韦达定理及已知条件求出参数m为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $