精品解析：天津市西青区2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分.答题时间100分钟，满分120分. 第I卷 一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 函数 则等于（ ） A. B. C. D. 3. 如果随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.7，此运动员两次均击中9环的概率为0.56，则在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率，（ ） A. 0.392 B. 0.56 C. 0.8 D. 0.9 5. 的展开式中的系数是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 10 6. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ） A B. C. D. 7. 设函数可导，的图象如图所示，则导函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 若随机变量服从二项分布，且，则（ ） A. 39 B. 65 C. 50 D. 63 9. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的合格率为0.85，第二车间的合格率为0.88，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.85 C. 0.868 D. 0.88 10. 已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷80分 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案写在答题纸相应的横线上. 11. 若 展开式二项式系数之和为64，n=____________；展开式中x²项的系数为______________ 12. 已知随机变量X的分布列如下图，若，则____________. x 2 3 5 P a b 13. 据典籍《周礼·春官》记载， “宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为____________种.(用数字作答) 14. 袋中有3个白球，2个黑球.从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，设取到黑球的个数为X，若不放回抽样时，则___________；若放回抽样时，则___________；(用数字作答) 15. 已知具有线性相关关系的变量设其样本点为 经验回归方程为，若_______ 16. 已知函数且，给出下列结论： ① ② ③ ④当时， 以上四个结论中不正确的序号为_________________ 三.解答题：本大题共4个小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程. 17. 社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人(35岁以下)喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者(35岁以上)更喜欢阅读纸质书、现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年轻人 年长者 总计 喜欢阅读电子书 6 30 喜欢阅读纸质书 18 总计 60 （1）请将上面列联表填写完整； （2）依据小概率值的独立性检验，分析上表中的抽样数据，能否据此推断喜欢阅读电子书与年龄有关联； （3）现从年长者中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽选2人，求抽到至少1人为喜欢阅读纸质书年长者的概率. 下表是x²独立性检验中几个常用小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式： ，其中. 18. 已知函数 （1）求当时，函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）已知函数在上的最大值为13，求a的值. 19. 2025年蛇年春晚舞台上，由中国某科技企业制造人形机器人 Umitrer Al 扭秧歌表演《秧BOT》成为一大亮点，引发世界热议，这一节目完美的展示了中国的科技进步与文化自信，更为人形机器人的创新发展注入新的动力，而谐波减速器作为人形机器人的核心部件，其重要性不言而喻.某企业为了测试某型号谐波减速器运行情况必须对其中三项不同运行指标甲、乙、丙进行通过量化检测：假设该谐波减速器运行情况的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为 指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响. （1）求该型号谐波减速器运行情况量化得分不低于8分的概率； （2）记该型号谐波减速器运行情况的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望. 20. 已知函数 的极值为 （1）求实数b的值； （2）当 时，讨论函数的单调性； （3）当 时，若 在 有两个零点，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分.答题时间100分钟，满分120分. 第I卷 一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（ ） A 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知每人均有3种菜品可供选择，结合分步乘法计数原理即可得结果. 【详解】由题意可知：每人均有3种菜品可供选择， 所以选法的可能方式共有种. 故选：B. 2. 函数 则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由基本函数导数计算公式可得答案. 【详解】因，则. 故选：A 3. 如果随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，所以， 所以. 故选：. 4. 经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.7，此运动员两次均击中9环的概率为0.56，则在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率，（ ） A 0.392 B. 0.56 C. 0.8 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率计算公式可得答案. 【详解】设第一次击中9环为事件A，第2次击中9环为事件B， 由题可得， 则在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为. 故选：C 5. 的展开式中的系数是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式展开式通项公式即可求解. 【详解】由的展开式中的项是：， 所以的展开式中的系数是， 故选：B. 6. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由散点图结合相关系数关系结合选项可得答案. 【详解】由散点图，可得，又由图可得图1，图2相关性强于图3，图4， 则，，结合选项，可得满足题意. 故选：D 7. 设函数可导，的图象如图所示，则导函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象的单调性与导函数的符号之间的关系逐项分析判断. 【详解】由图象知，，的图象为增函数，则， 故排除B，D. 当时，的图象先增，后减，再增， 所以的图象先正，后负，再正，所以A正确，C错误. 故选：A 8. 若随机变量服从二项分布，且，则（ ） A. 39 B. 65 C. 50 D. 63 【答案】D 【解析】 【分析】先利用二项分布的概率公式求出的值，再利用排列数公式和组合数公式求解. 【详解】随机变量服从二项分布，且， ， ， ， . 故选：D 9. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的合格率为0.85，第二车间的合格率为0.88，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.85 C. 0.868 D. 0.88 【答案】C 【解析】 【分析】设从成品仓库中随机提一台产品是合格品，则提出的一台是第车间生产的产品，根据全概率公式即可求出答案． 【详解】设从成品仓库中随机提一台产品是合格品， 则提出的一台是第车间生产的产品， 则， 由题意可得，， ，， 由全概率公式可得, 故选：C 10. 已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得在上恒成立，据此可得答案. 【详解】，由题，恒成立， 即在上恒成立， 则. 对于函数， 其在上单调递减，在上单调递增，所以， 则. 故选：B 第Ⅱ卷80分 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案写在答题纸相应的横线上. 11. 若 展开式的二项式系数之和为64，n=____________；展开式中x²项的系数为______________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，由二项式系数之和为64可得；第二空，由第一空分析可得展开式通项，据此可得答案. 【详解】第一空，因展开式二项式系数之和为64，则. 第二空，由第一空可得展开式通项为，令， 则展开式中x²项的系数为. 故答案为：；. 12. 已知随机变量X的分布列如下图，若，则____________. x 2 3 5 P a b 【答案】 【解析】 【分析】利用离散型随机变量的期望计算公式以及分布列中概率之和为1建立方程组，可解得的值. 【详解】因为，可得，解得. 故答案为：. 13. 据典籍《周礼·春官》记载， “宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为____________种.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】由插空法，捆绑法结合分步计数原理可得答案. 【详解】先从剩下3个音符中选一个插入“徵”和“羽”之间，有种情况. 再将这3个音符作为整体与剩下2个音符排成1列，有种情况. 故答案为： 14. 袋中有3个白球，2个黑球.从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，设取到黑球的个数为X，若不放回抽样时，则___________；若放回抽样时，则___________；(用数字作答) 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】若不放回抽样，结合独立事件概率乘法公式运算求解；若放回抽样时，则每次抽到黑球的概率均为，结合次独立重复性实验概率公式运算求解. 【详解】若不放回抽样，所以； 若放回抽样时，则每次抽到黑球的概率均为， 所以. 故答案为：；. 15. 已知具有线性相关关系的变量设其样本点为 经验回归方程为，若_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用经验回归方程必过样本中心点，则即可求解参数. 【详解】由可得 则根据经验回归方程为经过样本中心点， 所以有， 故答案为： 16. 已知函数且，给出下列结论： ① ② ③ ④当时， 以上四个结论中不正确的序号为_________________ 【答案】②③ 【解析】 【分析】对于①：构建，结合单调性分析判断；对于②：构建，利用导数判断其单调性，结合单调性分析判断；对于③④：利用导数判断的单调性，结合单调性分析判断． 【详解】对于①，令，则在上单调递增， 由，可得，即， 所以，故①正确； 对于②，令，， 由可得；由可得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，即，故②错误； 对于③，因为， 在上，，单调递减； 故当时，， 所以，故③错误； 对于④，因为时，，所以单调递增， 由①可知，， 即，故④正确． 故答案为：②③. 三.解答题：本大题共4个小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程. 17. 社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人(35岁以下)喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者(35岁以上)更喜欢阅读纸质书、现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年轻人 年长者 总计 喜欢阅读电子书 6 30 喜欢阅读纸质书 18 总计 60 （1）请将上面列联表填写完整； （2）依据小概率值的独立性检验，分析上表中的抽样数据，能否据此推断喜欢阅读电子书与年龄有关联； （3）现从年长者中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽选2人，求抽到至少1人为喜欢阅读纸质书年长者的概率. 下表是x²独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式： ，其中. 【答案】（1）列联表见详解 （2）喜欢阅读电子书与年龄有关联 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合表中数据完善列联表； （2）零假设：喜欢阅读电子书与年龄无关，求，并与临界值比较大小，结合独立性检验思想分析判断； （3）根据分层抽样求各层人数，结合对立事件概率公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可得列联表如下表所示： 年轻人 年长者 总计 喜欢阅读电子书 24 6 30 喜欢阅读纸质书 18 12 30 总计 42 18 60 【小问2详解】零假设：喜欢阅读电子书与年龄无关， 因为， 依据小概率值的独立性检验可知零假设不成立， 所以可以推断喜欢阅读电子书与年龄有关联，且犯错的概率不超过. 【小问3详解】 因为抽取的喜欢阅读电子书人数为；抽取的喜欢阅读纸质书人数为； 记“抽到至少1人为喜欢阅读纸质书年长者”为事件A， 所以. 18. 已知函数 （1）求当时，函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）已知函数在上的最大值为13，求a的值. 【答案】（1） （2）答案见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，求，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导，判断的符号，进而可得函数的单调区间； （3）根据（2）可得函数在内的单调性，可知函数在上的最大值为，代入求解即可. 【小问1详解】 若，则，且， 可得，且，即切点坐标为，切线斜率， 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 因为函数的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 因，由（1）可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数在上的最大值为，解得. 19. 2025年蛇年春晚舞台上，由中国某科技企业制造的人形机器人 Umitrer Al 扭秧歌表演《秧BOT》成为一大亮点，引发世界热议，这一节目完美的展示了中国的科技进步与文化自信，更为人形机器人的创新发展注入新的动力，而谐波减速器作为人形机器人的核心部件，其重要性不言而喻.某企业为了测试某型号谐波减速器运行情况必须对其中三项不同运行指标甲、乙、丙进行通过量化检测：假设该谐波减速器运行情况的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为 指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响. （1）求该型号谐波减速器运行情况量化得分不低于8分的概率； （2）记该型号谐波减速器运行情况的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，数学期望为. 【解析】 【分析】（1）设甲通过量化检测为事件A，乙通过量化检测为事件B，丙通过量化检测为事件C，得分不低于8分为事件D，由题可得，据此可得答案； （2）由题可得随机变量ξ的可能值为：，据此可得分布列及期望. 【小问1详解】 设甲通过量化检测为事件A，乙通过量化检测为事件B， 丙通过量化检测为事件C，得分不低于8分为事件D， 由已知，，， 由题，； 【小问2详解】 由题可得随机变量ξ的可能值为：. 则； ； ； . 则分布列为： 0 1 2 3 则. 20. 已知函数 的极值为 （1）求实数b的值； （2）当 时，讨论函数的单调性； （3）当 时，若 在 有两个零点，求m的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题可得在处取得极大值，据此可得答案. （2）由题可得，然后分，，三种情况解不等式可得单调区间； （3）将问题转化为函数与直线在上有2个交点，然后通过导数研究函数，可得大致图像，据此可得答案. 小问1详解】 由，得， 由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减. 则在处取得极大值，得； 【小问2详解】 由，得， 若，则，由，得或，由，得， 则此时，在上单调递增，在上单调递减； 若，，则此时在上单调递增； 若，则，由，得或，由，得， 则此时在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 由（1），结合，可得，. 因在有两个零点，则在上有2个零点. 令，得1不是其零点， 令， 则原题等价于函数与直线在上有2个交点. 令， 则， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 从而， 当，，当. 则可得大致图象如下：则时，满足题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$