黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

2024级高一学年下学期期末考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A因为13-1=后牛一D=而，所以=}=端2严+.其在复平面内对 2-i(2-i)(2+i) 5 应的点为(2严，）位于第一象限故选A 2.B由a⊥B,得m⊥n,即-x+2-1=0,解得x=1.故选B. 3D由正弦定理AB=2R,得ab=4 sin Asin B=号R=3,解得R=厄.放选D b 4C由题意得A花=A心+C市=A心+2Ci=A心+号(AM-AC)=号AC+Ai=号C+号×号A= 子AB+AC.故选C 5.B由于PA=PB=2,PC=2√3，PA,PB,PC两两垂直，将该三棱锥放人长方体中，如图 所示：故该三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，故该三棱锥外接球的半径R= PA+PB干PC=5,其表面积为4R=20x.故选B 2 AB·n=5x+y-2x=0, 6.D设平面ABCD的一个法向量为n=(x,y,),则 取=2，得x=1,y=一1，所以 AC.n=2y+*=0, ”=1，一1,2)，则点P到平面ABCD的距离为立，nl=是=后 m后=故选D 7.A因为Os∠ACF=是，0<∠ACF<x,所以sm∠ACF=3源在△APC中，∠AFC-=180°-60°=120，由 AF AC 正弦定理，得sn乙ACF-sin AFC,解得AF=9,则CE=9.由余弦定理，得AC=AF+CF-2AF· CF·cOs∠AFC,即212=9+(9+EF)2-2X9·(9+EF)·(-号)，解得EF=6(负值舍去).故选A &D由余弦定理知，osC=aCAOC RAR-子，由题知AC的中点为Cm,Gm也为线段CCs,线段 2AC·BC C,C24,…,线段CeC4的中点，因为BA+BC=BC+BC=BC+BC2A=BC+BC2=… 2BC,所以a十b+c=BA+BC+BC+BC+…+BC4+BC2+B=2027BC,而BC= 2(B+BO=C-C3+B)=号(C-2C),平方得BC=(C-41CA1ClsC+ 4C书)=2，即|BC1=√2，故|a+b+c=2027|BC|=2027,√E.故选D 9.BC若m∥a,a∥B,则m∥B或mC3,A错误：若a∥B,m⊥a,则m⊥3，又C3,故mn,B正确；若m∥n,nC 【高一下学期期末考试·数学参考答案第1页（共6页）】 25084A a,m过a,则m∥a,C正确；若m⊥a,mCB,根据面面垂直的判定定理可得a⊥B,D错误.故选BC. 10.BCD由a>b,知A>B,又x>A>B>0,所以cosA<cosB,A错误：由正弦定理及acos B=bcos A,得 sin Acos B=sin Bcos A,即tanA=tanB,所以A=B,△ABC为等腰三角形，B正确：由C=x一A一B=π 3>0,得0<B<号由正弦定理得号-品合知背-2asA又号<osB<1,所以号的取值范固为 （1,2),C正确：因为sinA=4×号=25，且三角形有两解，所以23<a<4,D正确.故选BCD. 2 11.ABD因为D,E分别为AC,AB的中点，所以DE∥BC.因为M是BC上一点，所以点M到直线DE的距 离为定值，所以△DEM的面积为定值.又A到平面ABC的距离为AA1也是定值，所以三棱锥M-ADE 的体积V,E=VAv=专S△·AA,为定值，A正确：如图1，取AC,AB的中点F,H,连接CF, FH,HB,由CD∥AF且CD=AF,得四边形CDAF为平行四边形，所以AD∥FC,又F,H分别为 A,C,A1B的中点，所以FH∥BC,又BC∥BC,所以FH∥BC,又DE∥BC,所以DE∥FH.因为DEC 平面ADE,FH吐平面ADE,所以FH∥平面ADE.同理可证CF∥平面ADE.因为FH∩CF=F,FH, CFC平面BCFH,所以平面ADE∥平面BCFH.易知四边形BCFH为梯形，FH=号BC=1,CF=5, BH=7,所以点M的轨迹长度为FH十CF+BH=1十√5+7，B正确： B B H 图1 图2 图3 如图2，以CB1,CC为y,之轴，过点C作BC的垂线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0, 0,0A5-1,0,B0,2.0,A,-1,2,B02,2.C0.02,D(,-2）M(9,-0）, E(,2),B应=(，-号，0)Ai=(-号2)，D成=(01,0.设平面ADE的-个法向量为 mAd-号x++2=0 m=(x,y,),则 取x=23,则=三，所以m=(23,0,是)，所以 m.D元=y=0, cos(m,Bi1=m·BM 。=2零，即：M与平面ADE所成角的正孩值为2震， 3 m·BM√厚 C错误：如图3，展开底面ABC使之与侧面AA,BB在同一平面内，则A,M十CM的最小值为AC,易知 【高一下学期期末考试·数学参考答案第2页（共6页）】 25084A △AA:C中，AC=AA1=2,∠A1AC=120°，所以AC=23,即A:M+CM的最小值为23，D正确.故 选ABD】 12.0节+7+P+=i-i+i-i=0. 13.2由3a+b=a-3b,得9a+6a·b+b=a-6a·b+9b,所以8a+12a·b-8b=0,又a·b= 4a,b=4,所以a2+6a-16=0,解得|a=2(负值舍去). 14.2压因为O为三棱锥P-ABC外接球的球心，所以OB=OA=OP,所以ABL 5 PB.同理AC⊥PC.又AC⊥BC,BCO PC-=C,BC,PCC平面PBC,所以AC⊥平面 PBC.因为PBC平面PBC,所以PB⊥AC.又AC∩AB=A,AC,ABC平面ABC,xB 所以PB⊥平面ABC.因为AC=√2BC=2,AC⊥BC,所以AB=√6.由球O的表面 积为12π，知4πR=12x,解得R=3,所以PA=23,所以PB=√.以点C为坐标原点，直线CB,CA分别 为x,y轴，过点C且与BP平行的直线为：轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(0,2,0), B√2,0,0)，P(2,0,6),则Ap=(W2,-2,6),BC=(-2,0,0),=(0,06).设与A2,E都垂直的 Ap·m=2x-2y十6x=0, 向量为n=(x,y,),则 令x=√6，则n=(0,3,√6)，所以线段EF长度的最小 BC.n=一2x=0, 值为匝：nl=6=2正 n√15 5 15.(1)证明：连接AC1,交AC于O点，连接OM,则O为AC1的中点， 又M为AB的中点，所以OM∥CB.……2分A 因为OMC平面A,CM,C1BE平面A1CM,所以CB∥平面A,CM …5分 (2)解：由(1)知OM∥BC,所以∠AMO是异面直线AM与BC1所成的角或其补角. 7分 由题知，A,M=而.OM=BC=至A0号AC=厘 2 …9分 在△AM0中由余弦定理，得os∠A,MO=AM+OF二AO=I30 2A1M·OM 13 即异面直线AM与BC,所成角的余弦值为， 13 13分 16.解：(1)A7=AB+BM=a-2b+a+b=(a+1)a-b, 2分 因为A,M,C三点共线，所以存在：∈R使得AM=MC 4分 即（入十1）a一b=以(-a十3b)=一0十3影b,…5分 λ+1=一 因为a,b是平面内两个不共线向量，所以 解得=一 2 3 ……7分 -1=34 【高一下学期期末考试·数学参考答案第3页（共6页）】 25084A (2)当a=(3,3).b=(2.3)时，=Bi+M心=(A-1)a+4b=-号a+4b=(3,7),…9分 设A(x,y),则AD=(2-x,-1-y）, 10分 因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形， 2-x=3, x=-1, 所以AD=B武，即 解得 14分 -1-y=7, y=-8, 所以A(一1，-8). 15分 17.(1)证明：由题知BC⊥平面CDM,又DMC平面CDM,所以DM⊥BC.…1分 因为M是底面圆周上一点，所以DM LCM.…2分 又BC∩CM=C,BC,MCC平面BCM,所以DML平面BCM.…4分 因为DMC平面BDM,所以平面BCM⊥平面BDM. 6分 (2)解：因为DM⊥CM,CD=AB=5,CM=1,所以DM=√CD-CF=2.…7分 以点M为坐标原点，MC,MD所在直线分别为x轴，y轴，过点M垂直于底面DCM的直线为x轴，建立空 间直角坐标系，如图所示， 则P(号，0,2），D0,2.0),A(0,2,3),Di=(0,0,3),D=(号，-2,2），…10分 设点A到直线DP的距离为d, DA·DP 则d DA 30,放点A到直线DP的距离为3画 D 19 19 15分 18.解：(1)由题意可得：a4≥a1十a2十a一a4,…2分 a1=(1,x-1),a2=(2,x-2),a3=(3,x-3),a4=(4,x-4), 则+(x-4)≥22+(2x-2,解得：-2/2≤x≤22.…4分 (2)存在“一1向量”，且“一1向量”为a4,a5,a,理由如下： 由题意可得|a=√os经+sim乐=1， …5分 若存在“-1向量a,”,只需使|S,十a|≤1. 因为a=(号，号）a=(0.1,a=(-号，号）a=(-10,a=(-号，-号)a=0,-1)= (9,-号）a=10.a=(停号） …6分 所以s=a+a+…+a=(停号）， 544……44…4447分 【高一下学期期末考试·数学参考答案第4页（共6页）】 25084A 故只需使1s十a:=(停+cos冬）广+（侵+血冬）<1、 整理得2sin(任+)≤-1，即sin(经+至）≤-2u1,23,…,9), 当1=4或5或6时，符合要求，故存在“一1向量”，且“一1向量”为a4,a5,a6.…10分 (3)由题意，得|a1|≥|a2十ag|,|a112≥|a2十a|2,即a12≥(a2十a)2,即a2≥a22+a32+2a2·a, 同理a2≥a12+a32+2a1·a, a2>a12+a22+2a1·a2,… 12分 三式相加并化简，得：0>a12十a22十a2+2a1·a2+2a1·a十2ag·a3, 即(a1十a2十a4)≤0，|a1十a2十ag|≤0，所以a1十a2十a3=0,…13分 所以a=-a1-a=(W5,-1),a·a=sinA-cosA=2sin(A-吾)=1，得sm(A-吾）=2 14分 因为0<A<,所以A=子， 在△ABM中，由正弦定理可得AM=BY 1 sinB=BAV所以BMAMsin元snB, 同理△ACM中，smC.则成+sinB十sinC, 又A=，B+C-经， 所以simB+simC=sinB叶sim(5-B）=Bsim(B+答)） …16分 因为BE(o,),所以B+吾∈（倍，晋）m(B+吾)∈（合1]所以+f(号5].…17分 19.(1)证明：如图，连接OD 因为PO⊥底面ABCD,ABC平面ABCD,所以PO⊥AB. 1分 因为四边形ABCD是边长为2√3的菱形，∠BAD=号，所以△ABD为等边三角形。 因为O是△ABD的重心，所以AB⊥OD.…2分 又OD∩OP=O,OD,OPC平面OPD,所以AB⊥平面OPD. 因为PDC平面OPD,所以AB⊥PD.…4分 (2)解：连接AC交BD于点N. ①因为O为△ABD的重心，所以AO=2,ON=1,OC=3,NB=ND=5. 因为PO⊥底面ABCD,所以∠PAO为直线AP与平面ABCD所成角，…6分 【高一下学期期末考试·数学参考答案第5页（共6页）】 25084A 故sim∠PAO-照= PO PA√PO+A了 =3，解得0-37分 所以四棱锥P-ABCD的体积VrD= 号Sm·P0-子×2X9×(25)X3=6.…8分 ②以NB,NC所在直线为x,y轴，过N作平行于OP的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,-3,0),C(0,3,0),B(3,0,0),D-√5,0,0)，P(0,-1,3). 设CM=mCp(0<m<1),则M0,3-4m,3m).…9分 设平面ABM的一个法向量为a=(x,y,),AB=(5,3,0),AM=(0,6-4m, 3m), Ai.a=√5x+3y=0, 则 取y=-31,则a=(35m,-31,6-4m), AM.a=(6-4m)y+3mx=0, ……11分 设平面BCM的法向量为n=(xo,),C克=(W5,-3,0).CM=(0,-4m,3m), C3·n=3x-3%=0, 则 取=5，则n=(5,1,号）， …13分 C7.n=(-4m)%+3m20=0, 设平面ABM与平面BCM的夹角为0， 则osg=loma,m=i 8+号 14分 √号V52m-48m+36 /52 4/13/13m-12m+9 3 令8+号m=.1(8,9).则m=号-8)，os0 15分 60/3 613 251900 故cos0 5严，当且仅当=号，即m=2时取等号， 26 60√/13-251900 6413 60√/13√252×36 故平面ABM与平面BCM夹角的余弦值的最大值为5， 26 17分 【高一下学期期末考试·数学参考答案第6页（共6页）】 25084A2024级高一学年下学期期末考试 数 学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上) 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的月 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：必修第二册第六、七、八章，选择性必修第一册第一章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 架 题目要求的， 1.复数= 3一在复平面内对应的点位于 2-1 A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 灯 2.已知平面。的一个法向量为m=(一1,2，号)，平面9的一个法向量为m=(x,1,一2)， 若a⊥B,则x= A.-1 B.1 C.2 D.4 3.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,bc,若sin Asin B=是，b=3,则△ABC的外 接圆的半径为 A.4 B.2√2 C.2 D.2 4,已知M为△ABC所在平面内的一点，3AB=2AM,C范=EM,则AE A号+2A心 B号A+号AC CA+号AG D.A+号Ad 5.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=2,PC=2√3，PA,PB,PC两两垂直，则该三棱锥外接球的 表面积为 A.18π B.20π C.24π D.28π 【高一下学期期末考试·数学第1页（共4页）】 25084A 6.已知四棱锥P-ABCD中，AB=(5,1,-2),AC=(0,2,1),A市=(2,1，-2)，则该四棱锥的 高为 A25 B号 c合 D 7.某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的边长为21的等边三角形 ABC,已知cos∠ACF=是，则EF= A.6 B.8 C.10 D.12 8.已知△ABC中，AC=BC=2,AB=√2，若点C,C2,…,C2,C22s依次将线段AC平均分成 2026份，设BA=a,BC=b,BC+BC+BC十…+BC+BC2=c,则|a+b十c= A.1013√2 B20272 2 C.20262 D.20272 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知m,n是两条不同的直线，a,3是两个不同的平面，则下列说法正确的是 A若m∥a,a∥p,则m∥B B.若a∥B,m⊥a,nCB,则m⊥n C.若m∥n,nCa,m中a,则m∥a D.若m⊥a,mCB,则a∥月 10.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若a>b,则cosA>cosB B.若acos B=bcos A,则△ABC为等腰三角形 C.若A=2B,则号的取值范围为(1,2) D,若6=4，A=苓，且三角形有两解，则α的取值范围为(23,4) 1.如图，在直三棱柱ABC-A,BG中，AC=BC=AA1=2,∠ACB=,D,E分别为AC,AB 的中点，点M是直三棱柱ABC-A1B,C表面上的动点，则下列说法正确的是 A.若M是线段BC上一点，则三棱锥M-A1DE的体积为定值 0 B.若平面BCM∥平面A,DE,则点M的轨迹长度为1十√5十√7 C.若M是A,C的中点，则BM与平面A:DE所成角的正弦值 为32 D.若点M是线段AB上一点，则AM+CM的最小值为2√3 【高一下学期期末考试·数学第2页（共4页）】 25084A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知i是虚数单位，则泸+7+十"= 13.已知向量a,b满足a·b=4al,13a+b|=|a-3b|,lb1=4,则|a= 14.已知三棱锥P-ABC的各个顶点都在表面积为12π的球O的球面上，且球心O为AP的中 点，AC=√2BC=2,AC⊥BC,若E,F分别为直线BC,PA上的动点，则线段EF长度的最小 值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=3,M为AB的中点. (1)求证：CB∥平面A,CM; (2)求异面直线A,M与BC1所成角的余弦值， 16.(15分) 已知a,b是平面内两个不共线向量，AB=a-2b,BM=a十b,M心=一a十3b,且A,M,C三 点共线， (1)求实数入的值； (2)已知D(2,一1)，若a=(3,3),b=(2,3),且A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边 形，求点A的坐标 17.(15分) 如图，已知长方形ABCD是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点M在底面圆周上（异于 C,D两点)，AB=√5，BC=3,CM=1,点P是BM上靠近点B的三等分点， (1)求证：平面BCM⊥平面BDM; (2)求点A到直线DP的距离. 【高一下学期期末考试·数学第3页（共4页）】 25084A 18.(17分) 对于一个向量组a1,a2,a3,…,an(n∈N且n≥3)，令Sn=a1十a2十ag十…十an,如果存在 a,(t∈(1,2,3，…，n}),使得a|≥|Sn一a,|,k∈Z,则称a是该向量组的“k向量” (1)设an=(n,x一n),n∈N,若a4是向量组a1,a2,a3,a4的“2向量”，求实数x的取值 范围； (2)若a=(cosT,sin）,n∈N,向量组a1,a4,a,…,a,是否存在“-1向量a,”?若存 在，求出正整数t的值；若不存在，请说明理由； (3)已知a1,a2,ag均是向量组a1,a2,a:的“1向量”，若a1=(sinA,cosA),a2=(一sinA √5，一cosA十1)，a3·a1=1,其中A是△ABC的内角，设△ABC的内角A,B,C的对边 分别为a,6c,若∠BAC的平分线AM交BC于M,AM=2,求赢+的取值范围 19.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为23的菱形，∠BAD=苓，点P在底面 的投影O恰为△ABD的重心 (1)求证：AB⊥PD; (2)若直线AP与平面ABCD所成角的正弦值为3压，点M为棱CP上的动点（不包括 13 端点)。 ①求四棱锥P-ABCD的体积； ②求平面ABM与平面BCM夹角的余弦值的最大值. 【高一下学期期末考试·数学第4页（共4页）】 25084A