第一单元 长方体和正方体（复习课件）数学苏教版六年级上册

单元复习课件 小学数学·六年级上册·苏教版 第一单元 长方体和正方体 单元知识框架 01 知识点梳理 02 重难点题型精讲 03 变式巩固练习 04 单元知识框架 长方体和正方体 1.长方体和正方体的认识 长方体和正方体的基本特征 长方体和正方体的展开图 3.体积和容积的认识及单位换算 计算表面积 体积、容积及其单位的认识 单位间的换算 2.长方体和正方体的表面积 组合体的表面积 运用表面积解决问题 4.长方体和正方体的体积 计算体积及组合体的体积 解决问题及等积变形问题 测量不规则图形的体积 单元知识框架 知识点1 长方体和正方体的认识 1 长方体和正方体的认识 长方体的认识 （1）从不同的角度观察同一个长方体。 把长方体放在桌面上，无论从哪个角度观察，最多只能同时观察到长方体的三个面。 （2）长方体的棱和顶点。 长方体两个面相交的线叫作长方体的棱，三条棱相交的点叫作长方体的顶点。 （3）长方体长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 （4）长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，它有6个面、12条棱和8个顶点。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 知识点梳理 1 长方体和正方体的认识 正方体的认识 （1）正方体也叫立方体。它是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等，有8个顶点。 （2）正方体的长、宽、高相等，都叫正方体的棱长。 （3）长方体和正方体的特征的异同。 知识点梳理 1 长方体和正方体的认识 正方体、长方体的展开图 （1）（1）把一个正方体沿一条棱剪开，如下图所示。 正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的，可以通过观察、折叠找到3组相对的面。 （2）沿长方体的棱把长方体剪开，展开图中有3组相对的面，相对的面完全相同，相对的面完全隔开。 知识点梳理 【例1】有一个长26厘米、宽18厘米、高0.6厘米的物体，它可能是（  ）。 A．数学书 B．橡皮 C．新华字典 D．黑板擦 题型1：长方体和正方体的认识 A．数学书是长方体形状的，长和宽（26厘米×18厘米）符合常见课本尺寸，高0.6厘米虽略薄，但可能是较薄教材或练习册的厚度，符合题意； B．橡皮各种形状都有，尺寸通常较小，如果是长方体形状，长宽高一般都得在5厘米以内，不符合题意； C．新华字典是长方体形状的，但是较厚，实际尺寸一般更小，长约15厘米左右，厚度约4~5厘米，与题目中的高0.6厘米矛盾，不符合题意； D．黑板擦的背面是长方体，其长大约十几厘米、宽5厘米左右，厚度1厘米左右，不符合题意。故答案为：A 重难点题型精讲 2×2×2=8（个） 所以至少需要8个小正方体。 故答案为：C 【练习1】用同样的小正方体拼成一个较大的正方体，至少需要（    ）个。 A．4 B．6 C．8 D．9 变式巩固练习 【例2】手工课上，小美用一根长（    ）的铁丝做成一个长7分米、宽6分米、高5分米的长方体框架后，还缺2分米。 A．70分米 B．72分米 C．74分米 D．212分米 （5＋6＋7）×4－2 =18×4－2 =70（分米） 则小美用一根长70分米的铁丝做成一个长7分米、宽6分米、高5分米的长方体框架后，还缺2分米。故答案为：A 题型2：长方体和正方体棱长的应用 重难点题型精讲 【练习1】口用沙布做一个棱长是8厘米的正方体沙包如下图，如果在接缝处都缝上花边，则花边的总长度是（    ）厘米。 A．96 B．64 C．192 8×12＝96（厘米） 花边的总长度是96厘米。 故答案为：A 变式巩固练习 【例3】下面是一个无盖的长方体纸盒的展开图。与②号面相对的是（    ）号面。 A．④ B．⑤ C．无法确定 ②号相对的是⑤号，③号面与①号面相对。 故答案为：B 题型3：长方体和正方体的展开图 重难点题型精讲 【练习1】一个正方体的六个面上分别写着红、橙、黄、绿、青、蓝，根据下面三种摆放位置可知，与红相对的面是（    ）。 A．橙 B．绿 C．黄 由图可知，青和红、蓝、绿、橙是相邻面，则青和黄是相对面，蓝和青、红、黄、橙是相邻面，则蓝和绿是相对面，所以红和橙是相对面。 故答案为：A 重难点题型精讲 1．如图，小华正在用一些同样长的小棒和橡皮泥团搭一个正方体框架，还需要( 2 )个橡皮泥团和( 5 )根小棒才能搭完。 2．用一根铁丝做一个长8分米、宽6分米、高4分米的长方体框架，如果用这根铁丝做一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是( 6 )分米。 3．如图是一个正方体的展开图，六个面上分别写有这六个数字，相对的两个面上数字的和最大是( 9 )，相对的两个面上数字的差最小是( 2 )。 【其他练习】 变式巩固练习 知识点2 长方体和正方体的表面积 2 长方体和正方体的表面积 长方体的表面积 （1）长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 （2）长方体的表面积=长×宽×2十长×高×2十宽×高×2=（长×宽十长×高十宽×高）×2。如果用S来表示长方体的表面积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的表面积的计算公式为S=（ab十ah十bh）×2。 （3）有2个面是正方形的长方体，如果正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a，a，h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。 知识点梳理 2 长方体和正方体的表面积 正方体的表面积 正方体的表面积=棱长×棱长×6。 如果用S表示正方体的表面积，用&表示棱长，那么正方体的表面积的计算公式为S=6a²。 知识点梳理 2 长方体和正方体的表面积 利用长方体、正方体表面积的计算方法解决实际问题 利用长方体和正方体表面积的计算方法解决生活中的实际问题时，关键是根据实际情况确定好是求几个面的面积。 知识点梳理 【例4】如图，一个有盖的近似长方体铁皮茶叶盒，长15厘米，宽8厘米，高6厘米。做这个茶叶盒至少要用铁皮（ ）平方厘米（重叠处忽略不计）。 题型4：长方体表面积的计算 （15×8＋15×6＋8×6）×2 ＝（120＋90＋48）×2 ＝258×2 ＝516（平方厘米） 则做这个茶叶盒至少要用铁皮516平方厘米。 重难点题型精讲 【练习1】一个长方体木箱，底面周长是3米，高5分米，表面积是258平方分米。这个木箱的底面积是（ ）平方分米。 3米＝30分米 （258－30×5）÷2 ＝（258－150）÷2 ＝108÷2 ＝54（平方分米） 故这个木箱的底面积是54平方分米。 变式巩固练习 【例5】一个棱长是2米的无盖正方体蓄水箱，它的占地面积是（ ）平方米，制作一个至少需要（ ）平方米铁皮。 题型5：正方体表面积的计算 2×2＝4（平方米） 2×2×5 ＝4×5 ＝20（平方米） 则它的占地面积是4平方米，制作一个至少需要20平方米铁皮。 重难点题型精讲 【练习1】把棱长为6dm的正方体木料横截成2个相同的长方体，表面积增加了（ ）dm2。 增加：6×6×2=72（dm2） 所以表面积增加了72dm2。 变式巩固练习 【例6】求下面图形的表面积。 题型6：组合体的表面积 （25×15＋25×4＋15×4）×2＋7×7×4 ＝（375＋100＋60）×2＋196 ＝535×2＋196 ＝1070＋196 ＝1266（cm2） 重难点题型精讲 【练习1】计算下图的表面积。（单位：分米） (10×6＋10×2＋6×2)×2 ＝(60＋20＋12)×2 ＝184（平方分米） 6×2×4=48(平方分米） 2×2×4=16（平方分米） 184＋48＋16=248（平方分米） 则图形的表面积是248平方分米。 变式巩固练习 【例7】用彩纸包装一个棱长为18厘米的正方体礼品盒，如果实际用纸是礼盒表面积的1.2倍，那么包装这个礼盒用纸至少是多少平方厘米？ 题型7：运用长方体和正方体的表面积解决问题 18×18×6 ＝324×6 ＝1944（平方厘米） 1944×1.2＝2332.8（平方厘米） 答：包装这个礼盒用纸至少是2332.8平方厘米。 重难点题型精讲 【练习1】张华要给希望小学的孩子们寄去4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，请你设计出最省纸的包装方法，并计算出需要牛皮纸的面积。（接头处忽略不计） 先把2本字典最大的面拼；再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起。 如图： 拼后的长方体的长是15厘米，宽是10×2＝20（厘米），高是6×2＝12（厘米）。 （15×20＋15×12＋20×12）×2 ＝（300＋180＋240）×2 ＝（480＋240）×2 ＝720×2＝1440（平方厘米）答：需要牛皮纸的面积是1440平方厘米。 变式巩固练习 【其他练习】1．12盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须是以全等的面积对接，最后得到的包装形状是一个长方体。已知磁带盒的长为11厘米，宽为7厘米，高为2厘米。按“规则方式”打包得到的长方体的表面积的最小值是( )平方厘米。 【答案】7＋7＝14（厘米） （14×11＋14×12＋11×12）×2 ＝（154＋168＋132）×2 ＝454×2 ＝908（平方厘米） 按“规则方式”打包得到的长方体的表面积的最小值是908平方厘米。 变式巩固练习 【其他练习】2．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长和宽都是5分米，高4分米，在里面倒入高3分米的水，与水接触的玻璃的面积是( )平方分米。 【答案】（5×3＋5×3）×2＋5×5 ＝（15＋15）×2＋5×5 ＝30×2＋5×5 ＝60＋25 ＝85（平方分米） 则与水接触的玻璃的面积是85平方分米。 变式巩固练习 知识点3 体积和容积的认识及其单位 3 体积和容积的认识及其单位 体积和容积的意义 （1）物体所占空间的大小叫作物体的体积。 不同物体所占空间的大小不一样，体积也不一样大；相同物体所占空间的大小一样，体积也一样大。 （2）能盛装其他的物体的物体都可以称为容器。容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 知识点梳理 2 长方体和正方体的表面积 体积单位和容积单位 （1）体积单位：计量物体的体积需要统一的标准，这个统一的标准就是体积单位。常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm33）、立方米（m3）。 （2）容积单位：计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，通常用升或毫升做单位。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。 知识点梳理 【例8】物体所占空间的大小叫作物体的（ ）。容器所能容纳物体的体积叫作容器的（ ）。 题型8：体积和容积的认识 体积和容积的概念虽然相似，但它们所描述的对象是不同的，体积描述的是物体本身的大小，而容积描述的是容器能够容纳物体的空间大小。 例如：一个立方体盒子的体积可能是100立方厘米。一个水杯的容量可能是300毫升，可以装满300毫升的液体。 根据体积和容积的意义可知：物体所占空间的大小叫作物体的体积，容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 重难点题型精讲 【练习1】口小明和小红买了同样两瓶可乐，各倒入两种大小不同的杯子里，小明正好倒满4杯，小红正好倒满3杯，（ ）用的杯子的容积大一些。 小红用的杯子的容积大一些。 变式巩固练习 【例9】在括号里填合适的单位。 一间教室的占地面积大约是60（ ），空间大约是180（ ）。 一个热水瓶的容积大约是2（ ）。一块橡皮的体积大约是6（ ）。 题型9：体积和容积单位的认识及选择 根据对面积、体积、容积单位的认识及数据的大小可知： 一间教室的占地面积大约是60平方米，空间大约是180立方米。 一个热水瓶的容积大约是2升。 一块橡皮的体积大约是6立方厘米。 重难点题型精讲 【练习1】边阅读边思考，在括号填入合适的单位名称。 大同，山西省第二大城市，古称云中、平城、云州，中国重要的综合能源基地。总面积14176（ ），常住人口310.02万人。地处温带大陆性季风气候区，干旱多风，温差较大，年平均气温6.4（ ），年降水量大约400～500（ ）。大同市城墙略呈方形，城墙内芯为三合土夯筑，外包每块重达8.5（ ）的青砖。御河上建造的七座桥犹如七朵金花，既满足了现代城市交通的需要，也成为一道靓丽的风景线，其中南环桥全长1320（ ），在上面行驶的车辆限速70（ ）。 变式巩固练习 【答案】大同，山西省第二大城市，古称云中、平城、云州，中国重要的综合能源基地。总面积14176（平方千米），常住人口310.02万人。地处温带大陆性季风气候区，干旱多风，温差较大，年平均气温6.4（摄氏度），年降水量大约400～500（毫升）。大同市城墙略呈方形，城墙内芯为三合土夯筑，外包每块重达8.5（千克）的青砖。御河上建造的七座桥犹如七朵金花，既满足了现代城市交通的需要，也成为一道靓丽的风景线，其中南环桥全长1320（米），在上面行驶的车辆限速70（千米/时）。 变式巩固练习 【其他练习】1．智能手机的表面积大约是200( )。             一瓶矿泉水的容量是500( )。 一个行李箱高度大约是80( )，它的容积大约是0.08( )。 【答案】智能手机的表面积大约是200平方厘米； 一瓶矿泉水的容量是500毫升； 一个行李箱高度大约是80厘米，它的容积大约是0.08立方米。 变式巩固练习 知识点4 长方体和正方体的体积 4 长方体和正方体的体积 长方体和正方体的体积 （1）长方体的体积=长×宽×高。长方体体积公式用字母表示为V=abh，a，b，h分别表示长方体的长、宽、高，V表示长方体的体积。 （2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母公式表示为V=a3。长方体（正方体）的体积=底面积*高，用字母表示为V=sh（s表示底面积，h表示高）。 长方体和正方体提及的统一公示，不仅在长方体和正方体中可以运用，还在相应的规则立体图形中也适用。 知识点梳理 2 长方体和正方体的表面积 解决问题 （1）运用体积公式解决实际问题。 已知长方体（正方体）物体的长、宽、高（棱长）时，可直接利用公式计算物体的体积。 （2）体积和容积的区别与联系。 物体容积的计算方法与体积的计算方法相同，知道长、宽、高或棱长，即可求出物体的容积。 知识点梳理 【例10】用一根长96厘米的铁丝焊接成一个长方体框架（焊接处忽略不计），已知框架的长是10厘米，宽是8厘米，这个框架的体积是（ ）立方厘米。 题型10：长方体的体积计算 96÷4－10－8 ＝24－10－8 ＝6（厘米） 10×8×6＝480（立方厘米） 所以，这个框架的体积是480立方厘米。 重难点题型精讲 【练习1】一根长方体木料长2米，横截面是边长0.2米的正方形，这根木料的体积是（ ）立方米。 0.2×0.2×2＝0.08（立方米） 这根木料的体积是0.08立方米。 变式巩固练习 【例11】用一根36厘米长的铁丝做成一个正方体框架，再在外面糊一层纸，纸的面积至少是（ ）平方厘米，这个正方体的体积是（ ）立方厘米。 题型11：正方体的体积计算 36÷12=3（厘米） 3×3×6=54（平方厘米） 3×3×3=27（立方厘米） 纸的面积至少是54平方厘米，这个正方体的体积是27立方厘米。 重难点题型精讲 【练习1】从一个长5分米、宽4分米、高3分米的长方体木块儿中截下一个最大的正方体，这个正方体的体积是（ ）立方分米，剩下的木块的体积是（ ）立方分米。 5＞4＞3 最大的正方体的棱长是3分米， 3×3×3＝27（立方分米） 这个正方体的体积是27立方分米。 5×4×3＝60（立方分米） 60－27＝33（立方分米） 剩下的木块的体积是33立方分米。 变式巩固练习 【例12】求如图图形的表面积和体积。 题型12：组合体的体积 表面积：6×6×6=216（m2） 体积：6×6×6－3×3×3 ＝216－27 ＝189（m3） 图形的表面是216m2，体积是189m3。 重难点题型精讲 【练习1】如图，一个底面是正方形的长方体被截去一段，已知底面正方形的边长是5厘米，求这个图形的体积。 体积：5×5×10＋5×5×（14－10）÷2 ＝25×10＋25×4÷2 ＝250＋100÷2 ＝250＋50 ＝300（立方厘米） 这个图形的体积300立方厘米。 变式巩固练习 【例13】一个装满水的正方体容器，棱长是4分米。把它里面的水倒入长8分米、宽6分米的长方体鱼缸内（水未溢出），水面有多高？ 题型13：体积的等积变形 （4×4×4）÷8÷6 ＝64÷8÷6 ＝ （分米） 答：水面有 分米高。 重难点题型精讲 【练习1】一个长方体石块，长5厘米，宽4厘米，投入到一个棱长为10厘米装满水的正方体水箱里，具体情况如图所示，求这个长方体石块的高。 10－9＝1（厘米） 10×10×1＝100（立方厘米） 100÷（5×4） ＝100÷20 ＝5（厘米） 答：这个长方体石块的高是5厘米。 变式巩固练习 【例14】一个长方体长8分米，高7分米。如果把它沿着水平方向切两次，切成三个小长方体，表面积就增加160平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 题型14：立体图形的切拼问题 160÷4×7＝280（立方分米） 答：原来长方体的体积是280立方分米。 重难点题型精讲 【练习1】食品工人要将长，宽各为30cm、高为15cm的长方体月饼盒装入棱长为45cm的正方体纸盒，最多能装几盒？ 45÷30＝1（盒）……15（cm） 45÷15＝3（盒）           15÷15＝1（盒） 3＋1＋1＝5（盒） 答：最多能装5盒。 变式巩固练习 【其他练习】1．如图，在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器按图倾斜放置在桌面上，流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器，图中线段AB的长度是多少厘米？ 【答案】10×10×10＝1000（立方厘米） 1000×2＝2000（立方厘米） 2000÷（20×20） ＝2000÷400 ＝5（厘米） 20－5＝15（厘米） 答：图中线段AB的长度是15厘米。 变式巩固练习 【其他练习】2．在一个长3分米，宽24厘米，高22厘米的玻璃缸中，水深18厘米，水接触玻璃的面积有多大？将一个棱长15厘米的正方体铁块放入水中后，缸中的水会溢出来吗？（通过计算来说明） 变式巩固练习 【答案】3分米＝30厘米 24×30＋24×18×2＋30×18×2 ＝720＋864＋1080 ＝2664（平方厘米） 玻璃缸的体积：30×24×22＝15840（立方厘米） 水的体积：30×24×18＝12960（立方厘米） 铁块体积：15×15×15＝3375（立方厘米） 12960＋3375＝16335（立方厘米） 16335＞12960 答：水接触玻璃的面积是2664平方厘米；水会溢出来。 变式巩固练习 知识点5 体积单位间的进率 5 体积单位间的进率 体积单位间的进率 （1）每相邻两个体积单位间的进率是1000。1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 由“1立方分米=1升”及学过的“1立方米=1000立方分米”，可以得出“1立方米=1000升”；由“1立方厘米=1毫升”及学过的“1立方分米=1000立方厘米”，可以得出“1立方分米=1000毫升”。 知识点梳理 2 体积单位间的进率 体积单位间的进率 （2）高级体积单位和低级体积单位之间的换算。 单位换算的一般规律：高级单位换算成低级单位要乘它们之间的进率，低级单位换算成高级单位要除以它们之间的进率。 （3）体积单位换算的简便方法。 相邻的两个体积单位间的进率是1000，高级单位化成低级单位时，只要把小数点想向右移动3位（相邻）或6位（不相邻，1立方米=1000000立方厘米，有6个0，要向右移动6位）即可。 知识点梳理 【例5】一个长12厘米、宽6厘米的长方体水槽中装有水，把一块石头浸没在水中，水面高度由5厘米上升到8厘米（水未溢出）。求这块石头的体积。 题型15：测量不规则物体的体积 12×6×（8－5） ＝12×6×3 ＝216（立方厘米） 答：这块石头的体积是216立方厘米。 重难点题型精讲 【练习1】一个长方体鱼缸的底面是一个边长6分米的正方形，深1米。（1）小明往里倒入72升的水，水深多少分米？ （2）他又往里放入了一些彩石（彩石全部没入水中），水面上升了3分米，一共放入了多少立方分米的彩石？ （1）72升＝72立方分米 72÷（6×6）＝72÷36＝2（分米） 1米＝10分米 因为10分米＞2分米，所以倒入72升的水，水没有溢出。 答：小明往里倒入72升的水，水深2分米。 （2）6×6×3＝108（立方分米）答：一共放入了108立方分米的彩石。 变式巩固练习 【例16】一个正方体铁皮油箱的棱长为2.5分米，如果里面的油深2分米，这个油箱里有油（ ）升。 题型16：长方体和正方体的容积 2.5×2.5×2＝12.5（立方分米） 12.5立方分米＝12.5升 这个油箱里有油12.5升。 重难点题型精讲 【练习1】爸爸做一个玻璃鱼缸，已经准备了4块长方形玻璃，其中的两块长5分米、宽3分米，另两块长4分米、宽3分米。还需要配一块长（ ）分米、宽（ ）分米的长方形玻璃，才能做成一个容积是（ ）升的鱼缸。 需要配一块长是5分米，宽是4分米的玻璃。 5×4×3＝20×3＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 因此，还需要配一块长5分米、宽4分米的长方形玻璃，才能做成一个容积是60升的鱼缸。 变式巩固练习 【例17】30立方厘米＝（ ）立方分米 500立方分米＝（ ）立方米 0.08升＝（ ）立方厘米     85毫升＝（ ）升 题型17：体积、容积单位间的换算 30立方厘米＝0.03立方分米 500立方分米＝0.5立方米 0.08升＝80立方厘米 85毫升＝0.085升 重难点题型精讲 【练习1】学习了容积和容积单位后，小明决定用所学知识在实践中检验一番，他发现一个标示“净含量为250毫升”的长方体牛奶纸盒，从外部量得长宽高分别是；5厘米、3.5厘米和13厘米。请根据小明的测量判断这个标示广告是否真实，并说明理由。 5×3.5×13＝17.5×13＝227.5（立方厘米） 227.5立方厘米＝227.5毫升 227.5毫升＜250毫升 答：根据小明的测量判断这个标示广告不真实，因为227.5毫升＜250毫升，所以这个标示广告不真实。 变式巩固练习 【其他练习】1．在括号里填上合适的数字。 5升＝( )立方厘米              500立方分米＝( )立方米 500平方分米＝( )平方米        50毫升＝( )立方分米 【答案】5×1000＝5000（立方厘米） 500÷1000＝0.5（立方米） 500÷100＝5（平方米） 50÷1000＝0.05（立方分米） 所以5升＝5000立方厘米，500立方分米＝0.5立方米，500平方分米＝5平方米，50毫升＝0.05立方分米。 变式巩固练习 【其他练习】2．如图是一个油箱从里面量到的数据。 （1）这个油箱可以装油多少升？ （2）每升油重按0.8千克计算，装的油重多少千克？ 变式巩固练习 【答案】（1）16厘米＝1.6分米 3×2.3×1.6 =6.9×1.6 =11.04（立方分米） =11.04（升） 答：这个油箱可以装油11.04升。 （2）11.04×0.8=8.832（千克） 答：装的油重8.832千克。 变式巩固练习 启发思维 快乐学习 $$