广西南宁市西乡塘区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年广西南宁市西乡塘区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式是二次根式的是(    ) A. B. 2 C. D. 2.下列各组数中，可以作为直角三角形三条边的长度的是(    ) A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，6，7 D. 8，9，10 3.如图，在▱ABCD中，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 4.函数中，当时，y的值是(    ) A. B. C. 2 D. 1 5.水是生命之源.为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况单位：吨，数据为：7，5，6，8，8，9，10，这组数据的众数是(    ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6.下列二次根式中，能与合并的是(    ) A. B. C. D. 7.顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是(    ) A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形 8.我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”.木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是(    ) A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 9.利用勾股定理可以作出长为无理数的线段.如图，，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，OB的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点C，那么点C表示的是(    ) A. B. C. D. 10.一次函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 11.如图，若一次函数为常数，且的图象经过点，，则关于x的不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 12.如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角板的较长的直角边AB长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形ABCD是菱形时，如图②，则EF的长为(    ) A. 1 B. C. D. 2 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.若二次根式有意义，则x的取值范围是______. 14.某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是按，的比例计入学期总成绩，小芳数学期中成绩是90分，期末成绩是85分，那么她的数学学期总成绩为______分. 15.如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是______. 16.如图，正方形ABCD的边长为12，点M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为______. 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 计算：； 已知，求xy的值. 18.本小题10分 如图，四边形ABCD是菱形，延长AB到点F，使，连接DF交CB于点 请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整保留作图痕迹，并证明E是BC的中点； 连接DB，若，，求BD的长. 19.本小题10分 为提高居民防范电信诈骗意识，确保反诈宣传工作落地见效，某社区举行《2024年防诈骗知识》竞赛，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20份答卷，并对他们的成绩单位：分进行统计、分析，过程如下： 收集数据 甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 89 90 70 90 100 80 80 90 96 75 乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 整理数据 成绩分 甲小区 2 5 8 5 乙小区 3 7 5 5 分析数据 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 87 a 乙小区 b 80 填空：______，______； 若甲小区共有1000人参与答卷，请估计甲小区成绩大于80分的人数； 根据以上数据分析，你认为甲、乙两个小区哪一个对防诈骗知识掌握更好？请写出其中一个理由. 20.本小题10分 如图，在▱ABCD中，过点A作于点E，延长BC至点F，使，连接DE， 求证：四边形AEFD是矩形； 若，，求▱ABCD的面积. 21.本小题10分 综合与实践 项目背景 某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗. 项目主题 探究不同种菜苗高度与种植天数的关系，查阅资料可知，两种菜苗的最终高度都不超过 研究步骤 ①选定小菜园中土壤水平及光照时长相同的一块地，并选择甲、乙两种菜苗进行种植； ②从种植开始每两天记录一次数据； ③数据分析，形成结论. 数据记录： 已种菜苗天数天 0 2 4 6 8 10 … 甲种菜苗高度 6 9 12 15 18 21 … 乙种菜苗高度 15 16 17 18 19 20 … 初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，单位：与已种菜苗天数均为一次函数关系. 问题解决 请根据上述材料完成下列问题. 在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，单位：关于已种菜苗天数单位：天的函数图象； 求出关于x的函数关系式，不用写出自变量的取值范围，并求出第16天乙种菜苗的高度； 观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到45cm左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由. 22.本小题12分 宇树科技的人形机器人在春晚舞台的惊艳亮相，迅速成为社交媒体热议的焦点.“让机器人走进千家万户，成为生活的好帮手”不再是遥不可及的梦想.某公司计划购买A，B两种机器人进行销售.已知购买1个A种机器人和2个B种机器人共需38万元，购买2个A种机器人和1个B种机器人共需34万元. 求购买一个A，B种机器人各需多少万元？ 该公司准备用不超过1200万元再购进第二批A，B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过75个.据市场销售分析，当A种机器人提价，B种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案. 23.本小题12分 综合与探究 【课本再现】人教版八年级数学下册第48页详细介绍了中位线定理的证明过程，方法如下：如图1，D，E分别是AB，AC中点，延长DE到F，使，连接，先证明≌，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到线段DE与BC的位置关系和数量关系分别为______，______. 【初步运用】如图2，正方形ABCD中，E为边AD中点，G，F分别在边AB，CD上，且，，，求GF长. 【拓展延伸】如图3，四边形ABCD中，，，E为AD中点，G，F分别为AB：CD边上的点，若，，求GF长. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：，2，不符合二次根式的定义，它们不是二次根式， 符合二次根式的定义，它是二次根式， 故选： 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，据此进行判断即可． 本题考查二次根式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：A、，不能构成三角形，不合题意； B、，能构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选： 根据三角形的三边关系和勾股定理的逆定理分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形的三边关系，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3.【答案】A  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， 故选： 由平行四边形的性质得，而，则，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质，推导出是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：由题意，在函数中，当时，故选： 依据题意，由一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 5.【答案】B  【解析】解：由题意知，这组数据中，出现次数最多的是8，所以众数是8， 故选： 根据众数是出现次数最多的数据求解作答即即可． 本题考查了众数．熟练掌握众数的定义是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：，它不能与合并，则A不符合题意， 不能与合并，则B不符合题意， ，它能与合并，则C符合题意， ，它不能与合并，则D不符合题意， 故选： 将各式化简后根据同类二次根式的定义进行判断即可． 本题考查同类二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：连接BD， 已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点． 在中，E、H分别是AB、AD中点， 所以， 在中，G、F分别是DC、BC中点， 所以，， 所以，， 所以四边形EFGH为平行四边形． 故选： 根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．需注意新四边形的形状只与对角线有关，不用考虑原四边形的形状． 本题考查了三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半以及平行四边形的判定． 8.【答案】A  【解析】解：有三个角是直角的四边形是矩形， 要判断这块木板是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故选： 根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：由题意可知：， 直线， ， 由勾股定理得：， 设点C表示的数为x， ， 或不合题意舍去， 点C表示的数是， 故选： 由题意可知：，，再根据勾股定理求出OB，从而求出OC，然后设点C表示的数为x，根据两点间的距离公式，列出关于x的方程，解方程即可． 本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式． 10.【答案】C  【解析】解：一次函数， 该函数的图象经过第一、二、四象限， 故选： 根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可知该函数图象经过第一、二、四象限，然后即可判断哪个选项符合题意． 本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 11.【答案】A  【解析】解：根据函数图象，不等式的解集为 故选： 结合函数图象，写出直线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟记两者的关系并正确理解函数图象是解题的关键． 12.【答案】A  【解析】解：，， 长为， ， 直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半， 四边形ABCD是菱形， 菱形的四边相等， 四边形ABCD是菱形， ， ，， ， ， ，， ， ， 故选： 证明，推出，可得结论． 本题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键. 根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】 解：若二次根式有意义， 则， 解得； 故答案为 14.【答案】87  【解析】解：他的数学学期总成绩为分， 故答案为： 根据学期数学总成绩=期中数学成绩所占的百分比+期末数学成绩所占的百分比即可求得学期总成绩． 此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键． 15.【答案】  【解析】解：把代入得， 解得，即P点坐标为， 所以方程组的解是 故答案为： 先利用直线确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到答案． 本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 16.【答案】13  【解析】解：如图所示：连接BN， 四边形ABCD为正方形， 点B与点D关于AC对称． ， 的最小值为BM， 在中， ， 由勾股定理，得， 的最小值为 故答案为： 由正方形的性质可知点B与点D关于AC对称，从而可得到，从而推出的最小值为BM，最后利用勾股定理求得BM的长即可． 本题考查轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，能将两线段和的最小值表示成一条线段的长是解题的关键． 17.【答案】0；     【解析】原式 ； 已知， 则 利用二次根式的乘除法则计算后再算减法即可； 将已知数值代入xy中并利用平方差公式计算即可． 本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18.【答案】补全图形见解答过程；证明见解答过程；     【解析】以点B为圆心，以AB为半径画弧交AB的延长线于点F，连接DF交BC于点E，如图所示： 四边形ABCD是菱形， ，， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 点E是BC的中点； ≌， ， ， 是线段DF的垂直平分线， ， 在菱形ABCD中，， ， 依题意补全图形即可，根据菱形性质得，，进而得，，由此根据“ASA”判定和全等得，据此即可得出结论； 根据和全等得，进而得BC是线段DF的垂直平分线，则，然后再根据菱形的性质即可得出答案． 此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，理解菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 19.【答案】90，；   估计甲小区成绩大于80分的人数为650人；   甲小区的居民对防诈骗知识掌握更好．  【解析】解：甲小区：65 70 75 75 80 80 80 85 85 85 89 90 90 90 90 95 95  96 100 100， 甲小区中90出现了4次，出现的次数最多， 甲小区的众数； 乙小区：60 65 70 75 75 80 80 80 80 80 85 85 90 90 90 95 95 95 100 100， 处于中间的两个数据为80和85， 中位数； 故答案为：90，； 根据题意得： 人， 答：估计甲小区成绩大于80分的人数为650人； 甲小区的居民对防诈骗知识掌握更好． 因为从答卷得分的平均数，中位数，众数来看都是甲小区的试卷分数大于乙小区的试卷分数， 所以甲小区的居民对防诈骗知识掌握更好． 根据中位数和众数的定义即可求得a、b的值； 用甲小区总人数乘以甲小区成绩大于80分的人数所占的百分比即可； 从平均数，中位数，众数三方面进行分析，得出结论即可． 本题考查统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． 20.【答案】见解析；     【解析】证明：在▱ABCD，， ，， ， ， ， ， ， 四边形AEFD是平行四边形， ， 平行四边形AEFD是矩形； 解：四边形AEFD是矩形， ，， ， ， ▱ABCD的面积 由，可得，即，结合，可得四边形AEFD是平行四边形，再结合，可得平行四边形AEFD是矩形； 根据矩形的性质和勾股定理余角平行四边形的面积公式即可得到结论． 本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 21.【答案】见解析；   与x的函数关系式为，第16天乙种菜苗的高度为23cm；   甲种菜苗先开花，理由见解析．  【解析】作图如解图； 设与x的函数关系式为，将点，，分别代入得： ， 与x的函数关系式为 当时， 第16天乙种菜苗的高度为 甲种菜苗先开花；理由如下： 由图象可知，当甲，乙两种菜苗高度相同时即与的交点处都未达到45cm的高度， 达到相同高度后的图象始终在的图象上方， 甲种菜苗比乙种菜苗先达到45cm高度， 故答案为：甲种菜苗先开花． 依据题意，由表格数据，应用描点法，即可求解； 依据题意，设，代入点，，求出k，b后可得解析式，然后将代入，即可求解； 依据题意，由两条直线的交点，确定达到相同高度后的图象始终在的图象上方，即可求解． 本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 22.【答案】购买一个A种机器人需10万元，一个B种机器人需14万元；   最佳购进方案：购进 A 种机器人50 个，B 种机器人50 个，最大利润为215 万元．  【解析】由题意，设购买一个A种机器人需x万元，一个B种机器人需y万元， 则 答：购买一个A种机器人需10万元，一个B种机器人需14万元． 由题意，设购进 A 种机器人m个，则购进 B 种机器人个， ，且 又总利润W的表达式：， 随m的增大而减小． 当m取最小值时，W最大． ， 当时，此时取最大利润，最大利润万元 答：最佳购进方案：购进 A 种机器人50 个，B 种机器人50 个，最大利润为215 万元． 依据题意，设购买一个A种机器人需x万元，一个B种机器人需y万元，则，进而计算可以得解； 依据题意，设购进 A 种机器人m个，则购进 B 种机器人个，则，且，可得，从而总利润W的表达式，故W随m的增大而减小，从而当m取最小值时，W最大，结合，进而可以判断得解． 本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式． 23.【答案】，；   7；     【解析】， 如图1，在中，延长、E分别是AB、AC的中点到点F，使得，连接CF， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， 四边形DBCF是平行四边形， ，， ， 故答案为：，； 如图2，延长GE、FD交于点H， 为AD中点， ，且， 在和中， ， ≌， ，， ， 垂直平分GH， ； 如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF， 同可知≌，， ，， ， ， ， ，，， ， 在中，，，， 根据材料提供的思路进行证明即可得出结论； 延长GE、FD交于点H，可证得≌，结合条件可证明EF垂直平分GH，可得，可求得GF的长； 过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，可证明≌，结合条件可得到为30度的直角三角形，可求得PF的长，在中，可求得HF，则可求得GF的长． 本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等．正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$