山东省济南市槐荫区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器.如图是一种米斗的实物图，如图是它的示意图不计厚度，则其主视图是(    ) A. B. C. D. 3.如图，晚上小亮在路灯下散步，小亮由A处走到B处的过程中，他在地上的影子变化为(    ) A. 逐渐变长 B. 逐渐变短 C. 先变长后变短 D. 先变短后变长 4.在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点的坐标是(    ) A. B. C. D. 5.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(    ) A. B. C. D. 6.计算的结果是(    ) A. B. C. xy D. 7.如图，在四边形ABCD中，，，连接AC、BD，AC与BD交于点O，若，，则四边形ABCD的面积为(    ) A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 8.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点M为AD的中点，连接OM，，，则AC的长为(    ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 9.2025槐荫黄河生态半程马拉松于2025年4月20日进行，谷雨节气，黄河堤上，跑者共赴生态之约，他们用脚步丈量这条黄河岸边最美的赛道，选手小明和小刚参与半程马拉松项目，路线长约小明的平均速度比小刚快，小明比小刚少用10分钟，设小刚的平均速度为，根据题意可列方程(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，点D在AB的延长线上，点E为BC上一点，连接DE，点M、N分别为AC、DE的中点，连接MN，若，，则MN的长为(    ) A. 4 B. 5 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.因式分解：          . 12.若是一元二次方程的一个根，则______. 13.如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的内角和是______度. 14.2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发.为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在左右，若一张邮票的面积是，则邮票上蛇形图案的面积约为______ 15.如图，在中，，，，动点P从点C出发，以的速度沿CA方向运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿BC方向运动.则运动______秒后 P、Q两点相距 16.如图，在矩形ABCD中，，，点P在AD上，点Q在BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为______. 三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 化简： 18.本小题6分 解方程： 19.本小题6分 如图，在▱ABCD中，AE、CF分别垂直于对角线BD的延长线，垂足分别为E、求证： 20.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， 画出关于原点O对称的，点A、B、C的对应点分别是、、； 画出绕点O顺时针旋转后得到的，点A、B、C的对应点分别是点，、； 的面积为______. 21.本小题8分 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动.为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件中随机选择，现有如下四种AI软件，他将四种APP的图标依次制成A、B、C、D四张卡片卡片的形状、大小、质地都相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上. 从中随机抽取一张，抽到B卡片的概率为______； 从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，求出两次抽取到相同卡片的概率. 22.本小题8分 如图，BD是的角平分线，过点D作，交AB于点E，交BC于点 求证：四边形BEDF是菱形； 若，，则四边形BEDF的面积为______. 23.本小题10分 某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区.扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米. 求这条小道的宽度； 如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？ 24.本小题10分 法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”. 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值. 解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ，，， ，， 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 一元二次方程的两个根为，，则______；______； 一元二次方程的两个根为，，求的值； 若，是关于x的方程的两个不相等的实数根，且，求m的值. 25.本小题12分 四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的任意一点. 如图1，作，EP交BC于点M，EQ交CD于点N，请判断EM与EN的数量关系：______； 如图2，，EM交BC的延长线于点M，以EM、ED为邻边作矩形EMFD，请判断矩形EMFD是否为正方形，并说明理由； 在的条件下，若，求的最小值. 26.本小题12分 如图1，直线：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线：交于点 求b和k的值； 在直线BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形； 若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、O、B为顶点的四边形是矩形.若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：中含有2个未知数，并且未知数的次数都是1，则A不符合题意， 不是整式方程，则B不符合题意， 符合一元二次方程的定义，则C符合题意， 中，未知数的次数是1，则D不符合题意， 故选： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可． 本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：几何体的主视图为： 故选： 根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 本题考查简单组合体是三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 3.【答案】D  【解析】解：因为由A到B，离灯光由远到近再到远，所以影子先变短后变长． 故选： 根据中心投影的特点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．据此进行判断即可． 本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 4.【答案】C  【解析】解：根据题意，从点A平移到点，点的纵坐标不变，横坐标是， 故点的坐标是 故选： 根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可． 此题考查了点的坐标变化和平移之间的联系，平移时点的坐标变化规律是“上加下减，左减右加”． 5.【答案】C  【解析】解：可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B.可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C.可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D.不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选： 根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 本题考查公式法分解因式，熟练掌握完全平方式的结构特征：是关键． 6.【答案】D  【解析】解：， 故选： 根据分式的乘法计算即可． 本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：，， 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ，， ， 四边形ABCD是矩形， ， ， ， ， 故选： 由，，证明四边形ABCD是平行四边形，因为，所以，，则，所以四边形ABCD是矩形，则，而，求得，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出四边形ABCD是平行四边形，且是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD是菱形，， ，， 是等边三角形， ， 点M为AD的中点，， ， ， 故选： 由菱形的性质可得，，可证是等边三角形，可得，由直角三角形的性质可得，即可求解． 本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质是解题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：10分钟， 根据题意可得： 故选： 根据题意可以列出相应的分式方程解答即可． 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 10.【答案】C  【解析】解：如图，连接CD，取CD的中点F，连接MF、NF， 点M、N、F分别为AC、DE、CD的中点， 、MF分别是、的中位线， ，，，， ，， ， ， ， 由勾股定理得：， 故选： 连接CD，取CD的中点F，连接MF、NF，根据三角形中位线定理得到，，求出NF、MF，根据平行线的性质得到，再根据勾股定理计算，得到答案． 本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，熟记三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：原式 ， 故答案为： 提取公因式x即可． 本题考查提公因式法因式分解，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 12.【答案】  【解析】解：把代入方程得， 解得 故答案为： 把代入一元二次方程得到，然后解关于a的一次方程即可． 一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13.【答案】1080  【解析】解：正八边形的内角和为： 故答案为： 根据多边形内角和公式求解即可． 本题主要考查了多边形的内角和，掌握公式是本题解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为， 所以邮票上蛇形图案的面积约为 故答案为： 已知这个点落在蛇形图案上的频率稳定在左右，根据频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为，再根据概率公式计算即可． 本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是了解大量重复实验中频率可以估计概率，难度不大． 15.【答案】10  【解析】解：设运动x秒后P、Q两点相距25cm， 则，， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， 故答案为： 设运动x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ的长，根据勾股定理列出一元二次方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，根据勾股定理正确列出一元二次方程是解题的关键． 16.【答案】5  【解析】解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，，， ，， 四边形DPBQ是平行四边形， ，， 则，则的最小值转化为的最小值， 在BA的延长线上截取，连接PE， 则， ， 是BE的垂直平分线， ， ， 连接CE，则， ， 的最小值为5， 即的最小值为5， 故答案为： 连接BP，则的最小值转化为的最小值，在BA的延长线上截取，连接PE、CE，则，再根据勾股定理求解即可． 本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出是解题的关键． 17.【答案】解：原式   【解析】直接利用分式的加减运算法则化简，进而得出答案． 此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键． 18.【答案】解法一：移项得  ， 配方得  ， ， 即  或， ，； 解法二：，，， ， ， ，； 解法三：原方程可化为 ， 或， ，  【解析】此题可以采用配方法：首先将常数项3移到方程的右边，然后再在方程两边同时加上4，即可达到配方的目的，继而求得答案； 此题也可采用公式法：注意求根公式为把，解题时首先要找准a，b，c； 此题可以采用因式分解法，利用十字相乘法分解因式即可达到降幂的目的． 此题考查了一元二次方程的解法．此题难度不大，注意解题时选择适当的解题方法，此题采用因式分解法最简单． 19.【答案】证明见解析．  【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， 由平行四边形的性质推出，，得到，由垂直的定义得到，即可证明≌，推出 本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质推出≌ 20.【答案】作图见解答过程；   作图见解答过程；    【解析】如图，即为所求． 如图，即为所求． 的面积为： ， 故答案为： 根据中心对称的性质作图即可． 根据旋转的性质作图即可． 利用割补法求三角形的面积即可． 本题考查作图-旋转变换、中心对称，三角形的面积，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 21.【答案】    【解析】由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到B卡片的结果有1种， 抽到B卡片的概率为 故答案为： 列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中两次抽取到相同卡片的结果有4种， 两次抽取到相同卡片的概率为 由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到B卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取到相同卡片的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 22.【答案】见解析过程；     【解析】证明：，， 四边形BFDE是平行四边形， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 平行四边形BFDE是菱形． 解：连接EF，交BD于O， 四边形BFDE是菱形，， ，，，， ，， ，， ， 故答案为： 由平行四边形的判定可得四边形BFDE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证，可得结论； 由菱形的性质可得，，，，由直角三角形的性质可求EO，BO的长，即可求解． 本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 23.【答案】这条小道的宽度为2米；   需要56米篱笆．  【解析】设这条小道的宽度为x米， 由题意得：， 整理得，， 解得或不符合题意，舍去， 答：这条小道的宽度为2米． 由可知，扩建后的长方形公共休息区的长为米，宽为米， 则米， 答：如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要56米篱笆． 设这条小道的宽度为x米，根据扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米建立方程，解方程即可得； 根据的结果求出扩建后的长方形公共休息区的长与宽，再利用长方形的周长公式计算即可得． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 24.【答案】6，；   4；     【解析】根据根与系数的关系得；； 故答案为：6，； 根据根与系数的关系得，， ； 根据题意得， 解得， ，， 而， ， 整理得， 解得，舍去， 的值为 直接利用根与系数的关系求解； 先利用根与系数的关系得，，再通分得到，然后 先利用根的判别式的意义得到，再利用根与系数的关系得到，，所以，然后解关于m的方程，从而得到满足条件的m的值． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式． 25.【答案】；   矩形DEMF是正方形，理由见解析；     【解析】过E作于G，于H， ， 四边形ABCD为正方形， ，， ，， 四边形EHCG为正方形， ， ， ， ， ≌， ， 故答案为：； ①矩形DEMF是正方形，理由如下： 如图，过点E作，，垂足分别为G，H， ， 四边形ABCD是正方形， ，AC平分， ，， ， ≌， ， 矩形DENF是正方形； 设， ， ， ， ， ， ， 有最小值 过E作于G，于H，得到，根据正方形的性质得到，，得到四边形EHCG为正方形，求得，根据全等三角形的性质得到结论； 过点E作，，垂足分别为G，H，得到，根据正方形的性质得到，AC平分，根据全等三角形的性质得到，得到矩形DENF是正方形； 设，求得，得到，根据勾股定理得到，求得，根据二次函数的性质即可得到结论． 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形性质与判定是解题关键． 26.【答案】；；   或；   存在，Q点坐标为或  【解析】将点代入， ， 解得； 将点代入， ， 解得； 点E的横坐标为m， ，， ， 与y轴的交点， ， ， ， 解得或； 存在一点Q，使得P、Q、O、B为顶点的四边形是矩形，理由如下： 设， ，，， 当时，， 解得舍或， ， 点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到O点， 点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到； 当时，， 解得， ， 点向右平移4个单位长度得到P点， 点向右平移4个单位长度得到； 当时，， 解得舍； 综上所述：Q点坐标为或 将点代入，求；将点代入，求； 分别求出，，根据平行四边形的性质可知，所以，求出m的值即可； 设，分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求出P点坐标，再由点的坐标平移特点求出Q点坐标即可． 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$