北京市大兴区2024-2025学年高二下学期期末检测数学试卷

大兴区2024~2025学年度第二学期期末检测试卷 高二数学 202507 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考牛务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 如 （1)在（任+产的展开式中，的系数为 (A)-20 (B)20 敏 (C)-10 D10 长 (2)设函数fx)=ax',f'(1)=2,则实数a= (A)-1 (B)1 B (C)-2 (D)2 折 (3)已知随机变量X服从二项分布，X-B(3, }》,则X的数学期望是 病 (号 (B)1 (C)2 (号 相 (4)已知函数f代x)=x3+x2+mx在定义域上不是单调函数，则实数m不可能是 (A)0 (B)-1 (C)1 (D)-2 (5)设等比数列{a.}的公比g≠1，其前n项和为S,则下列等式中一定成立的是 (A)S1+S3=2S2 3. (C)S2=S1S3 (DS2(S2-S1)=S,(S3-S,) (6)已知a1,a2,a3,a4,a5是5个整数，则“a1,a2,a,a4,a,成等差数列"是“这5个整 家 数的平均数和中位数均为a,”的 (A)充分不必要条件 B必要不充分条件 (C1充要条件 (D)既不充分也不必要条件 高二数学试卷第1页（共4页） (7)设0<p<1,随机变量X的分布列如下表所示， 0 1-P 则当概率P在区间(0,1)内增大时，方差D(X)的变化是 (A)增大 (B)先增大后减小 (G)减小 (D)先减小后增大 (8)已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品.从中取出2个正品，每次取出1个， 取出后不放回，直到取出2个正品为止，设X为取出的次数，则P(X=3)= (A)5 (C)5 (D)5 (9)已知直线y=x+b是曲线y=1+lnx与曲线y=ln(x+2)的公共切线，则实数b= (A)n2 (B)1 (c号 (D)n4 (10)已知各项均为整数的数列{an}满足：对任意的neN°，aa+2+an>2a,·若a1=1, a2=2,am=2025,则正整数m的最大值为 (A)63 (B)64 (C)65 (D)66 第二部分（非选择题 共110分) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)已知(x-2)4=a4x2+ax3+a2x2+a1x+a0,则ao+a2+a,= (12)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-5,a3+a4=0,当n= 时，Sn最小 (13)已知事件A与事件B相互独立，事件A的概率P(A)=0.5,事件B的概率 P(B)=0.4,则P(AB)= ；P(AIB)= (14)设无穷等比数列{a,}的公比是q,能说明命题“若存在正整数当n>N。时， an>aw。,则{an}为递增数列”是假命题的一组a1,g的值为a1=_ (15)关于函数f(x)=sin2x-ln(x+1),给出下列四个结论： ①f(x)的值域是(-∞，+∞)： ®)在区间(0，石)上单调递增： ③0是f(x)的一个极值点； ④曲线y=f(x)与x轴有且仅有3个交点. 其中所有正确结论的序号为 高二数学试卷第2页（共4页） 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题14分) 已知无穷等比数列{an}的各项都是正数，a1=1,a2a4=16· (I)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)设无穷数列{b,}的前n项和为Sn,b,=2,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中 选择一个作为已知，使数列{bn}唯一确定，求数列{an-bn}的前n项和T.· 条件①：b+1-bn=2,n∈N”; 条件②：Sn=n2+n,n∈N"; 条件③：2bn+1=bn+bn+2,n∈N'. 注：如果选择的条件不符合要求，此题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分 (17)(本小题14分) 已知袋中装有3个红球和2个黄球，这5个球除颜色外完全相同，现从该袋中不放回 地随机摸出2个球. (I)在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率； (Ⅱ)设X表示摸出红球的个数，求X的分布列及数学期望EX; (Ⅲ)若摸出1个红球得2分，摸出1个黄球得0分，直接写出摸出2球得分的数学期望. (18)(本小题14分) 已知函数f(x)兰x3-3x2+x. （I)求曲线y=f(x)的斜摔为1的切线方程； （Ⅱ)当x∈[0,3]时，求证：-4≤f(x)-x≤0； (Ⅲ)设P是曲线y=f(x)上的动点，P在何处时，曲线y=f(x)在P处的切线斜率最小？ (结论不要求证明) (19)(本小题14分)》 为了解某地中学生使用M,N两款大语言模型辅助日常学习的情况，对该地的80名 初中生和120名高中生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 初中生 高中生 使用 不使用 使用 不使用 M款 30人 50人 70人 50人 N款 60人 20人 40人 80人 假设所有学生对M、N两款模型是否使用互相独立.用频率估计概率. (I)从该地全体中学生中随机抽取1人，估计此人使用M款模型的概率P; (Ⅱ)从该地全体初中生中随机抽取1人，全体高中生中随机抽取2人，记这3人中使用N 款模型的人数为X,估计X的分布列； (Ⅲ)假设该地某校初中生和高中生人数比为3：1，从该校全体中学生中随机抽取1人，记其 使用M款模型的概率估计值为P,比较P,与(I)中P的大小，（结论不要求证明） (20)(本小题14分) 已知函数f八x)=xe. (I)求f(x)的单调区间： (Ⅱ)设函数g(x)=(x-2)f代x)+2e-kx2,函数g(x)在x=0处取得极小值. (i)求实数k的取值范围； (ⅱ)是否存在xo≠0，使得g(-xo)=g(x。)成立？说明理由. (21)(本小题15分) 若有穷数列Q:a1,a2,…,a满足如下三个性质，则称Q为k-数列： ①项数k≥3； ②a1≥0，a1>a.(m=1,2,…,k-1); ③令集合M={a1,a2,…,a},对Hi,j(1≤i≤j≤k),a-a:∈M或a+a,eM. (I)判断数列0,2,4,6是否是4-数列，并说明理由； (Ⅱ)若Q:a1,a2,…,a为k-数列，求证：对s,3t满足a4=a,+a,(1≤s,t≤k): (Ⅲ)已知Q:a, 为k-数列，求证：当k≥5时，Q是等差数列. 天兴丛20242025学年度第二学期期末检测 高二数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)D (2)C (3)B (4)C (5)D (6)A (7)B (8)C (9)A (10)B 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)41 (12)3 (13)0.2 0.5 (14) -1 (答案不唯一) (15)①②④ 注：（13)题第一问3分，第二问2分： (15)题只写1个且正确3分，只写2个且正确4分。 三、解答题（共6小题，共85分） (16)(共14分) 解：(I)设各项都是正数的无穷等比数列{a}的公比为9， 41=1, 由题意知 99a93=16, …2分 解得q=2,q=-2（舍).…2分 所以{a}的通项公式为an=2.…2分 (Ⅱ)选条件① 因为b=2,b1-b,=2, 所以数列{b}是以2为首项，2为公差的等差数列. 所以bn=2n. …2分 Tn=a-b+a2-b2+…+an-b =(4+a2+…+a)-(6+b2+b) …1分 =(2"-1)-(n2+) …4分 =20-1-n2-n.…1分 选条件② 由题意知，当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=2n.…1分 因为=2，所以bn=2n.…1分 Tn=4-b+a2-b2+…+an-b =(4+a2+…+a)-(6+b2…+bn)…1分 =(2”-)-(n2+刊…4分 =2-1-n2-n.…1分 (17)(共14分) 解：（I)在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率 CC-1 2 …4份 (Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.…1分 个(x== =1 10 …1分 Px=)=Gg」 6_3 105 …1分 …1分 X 0 1 2 1 3-5 10 …1分 数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2) …1分 Ex=0x+1x2+2x3= 10 5 105 …1分 () 12 …3分 (18)(共14分) 解：（I)由f(x)=x3-3x2+x得f'(x)=3x2-6x+1.…1分 令f'(x)=1,即3x2-6x+1=1,得x=0或x=2.…1分 又f0)=0,f(2)=-2,…2分 所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y+2=x-2, 即y=x与y=x-4.…2分 (Ⅱ)令g(x)=f(x)-x,x∈[0,3]. 由g(x)=x3-3x2得g(x)=3x2-6x=3x(x-2).…1分 令g(x)=0得x=0或x=2.…1分 g(x),g(x)的情祝如下： 0 (0,2) 2 (2,3) 3 g() + 8() 0 0 …2分 所以g(x)的最小值为-4，最大值为0.…2分 故-4≤g)≤0，即-4≤f(x)-x≤0. (Ⅲ)当P的坐标为P0,-)时，曲线y=f)在P处的切线斜率最小.…2分 (19)(共14分) 解：(I)从表格数据可知，抽查的80+120=200名中学生中有30+70=100人使用M 款棋型，因此该地全体中学生使用M款模型的橛率估计为0-2，…3分 (Ⅱ)设事件A为“该地全体初中生中随机抽取1人，此人使用N款模型”， 事件B为“该地全体高中生中随机抽取1人，此人使用N款模型”. 根据题中数据，P代④估计为60_3 980=4 …1分 P倒告计为织-行1分 根据题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.…1分 Px=0可估计为0-孕x0-学-号1分 P0x=0可估计为0-孕xc0-×兮+子x0--号：…1分 =2列可计为2xc0-×+0-孕-…1分 Px=列可估计为2xx=.…1分 4^3312 0 1 2 3 1-9 49 3 1 36 12 …1分 ()乃<p,3分 (20)(共14分) 解：(I)由f(x)=xe得 f"(x)=e+xe=c'(x+1).…2分 当x∈(-o,-)时，f'(x)<0,f(x)在(o,-)上单调递减：…1分 当x∈(-1，+o)时，f'(x)>0,fx)在(-1，+∞)上单调递增.…1分 所以f(x)的单调递减区间是(-o,-),单调递增区间是(-1，+∞)。 (Ⅱ)(i)由函数g()=(x-2fx)+2e2-c2得g)=(x2-2x+2)e2-x2, g'(x)=x(xe-2k).…1分 ①若k=0,则g(x)=x2e≥0， 所以g(x)在(o0,+∞)上单调递增，0不是g(x)的极小值点.…1分 ②若k>0,则当x<0时，xe*-2k<0, 所以g(x)=x(xe*-2k)>0. 所以0不是g()的极小值点，…1分 ③若k<0,由（I)知， f(x)=xe在(0，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增， 敢e以=f-)=-日；且当-1≤x<0时，≤8树<g0=0. 若≤六即-2>话则w≥>2让， 即xe-2k≥0（当且仅当x=-1时，等号成立）， 所以当-1<x<0时，g()=xxe*-2)<0: 当x>0时，g()=x(xe-2)>0. 所以g()在x=0处取得极小值.…1分 若六<k0,即0<-2t<日令树=-2， 因为0=-2让>0，M-=。2k<0,且树在(1，+四)上单词递增， 所以3x'e(-l,0),h(x)=0. 故当x>x时，h(x)>0. 所以当x<x<0时，g(x)=x(e-2k)<0: 当x>0时，g(x)=x(xe-2k)>0. 所以gx)在x=0处取得极小值.…2分 综上可知，k的取值范围是(-0,0).…1分 ()不存在，理由如下： 假设存在≠0，使得g(-)=g()成立， 则有[(-x)2-2(-x)+2e=(02-2x+2)e. 令m(x)=(x2-2x+2e2,则m(-x)=m(x). 由（Ⅱ）中(1)知，函数m(x)在(-o,+∞)上单调递增， 所以由m(-)=m()得-=，即=0，这与而≠0矛盾， 所以假设不成立， 所以不存在≠0，使得g(-x)=g()成立.…3分 (21)(共15分) 解：(I)由题意知，集合M={0,2,4,6. 因为数列0,2,4,6共有4项，0<2<4<6， 且0-0,2-0,4-0,6-0,2-2,4-2,6-2， 4-4,6-4,6-6都是集合M的元素， 所以数列0,2,4,6是4-数列.…4分 （Ⅱ)由题意知，集合M={a1,a2,…,an}· 已知2：a,42,…,a4为k-数列。 ①因为a,>0,所以4+ak>ak,所以a%+akeM，ak-k∈M· 故0∈M.因此a=0. 所以3t=k满足a4=a,+41· ②当2≤s≤k时，因为4，>0， 所以ak+a,EM,ak-a,∈M. 所以对于2≤s≤k,3t满足ak-a,=a∈M,即a%=a4+a,…4分 (Ⅲ)因为2：4，a2,,4k为k-数列， 所以0=ak-a4<ak-ak<as-ak-2<<ae-a2<as-%=a%, 且0≤41<a2<4<…<ak<ak 所以ak-ak=a1,ak-ak-=a2,ae-a%-2=a,,ak-a2=ak1,ak-%=a%· 即ak-ak=a41,1≤i≤k-1.① 当3≤i≤k-1时，ak1+a,>ak1+a=a, 所以ak1+4,EM,a4-1-a∈M, 0=a-a<a-a-2<.<am-a3<a-a=a-2, 且0≤4<a2<a3<…<ak3<ak-2: 所以ak-ak1=%1,ak-ak-2=a2,ak1-ak-3=a,",ak1-马=ak-3· 所以ak1-ak+=a,1≤i≤k-3. 因为k≥5时，ak1-4k1=马，ak1-ak-2=4, 所以ak-1-41=a,且ak-a2=ak-2’ 有ak-1-ak4=a,1≤i1≤k-1.② 将①②两式相减得a-a=a1-4,1≤i.≤k-1. 因此，当k≥5时，2：4,42，…，44是等差数列.…7分