精品解析：内蒙古通辽市2024--2025学年下学期九年级数学中考模拟卷

初三年级第三次模拟考试数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分100分，考试时间为90分钟． 2．作答时，把答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡及试卷统一收回． 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（ ） A. B. C. D. 2. 乒乓球被誉为我国的 “国球 ”，在正规比赛中，乒乓球的标准质量为2.8克．质检员在检验乒乓球质量时，把超出标准质量0.13克 的乒乓球记作，那么一个质量为2.4克的乒乓球记作（  ） A B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，直线分别与交于点F、E，则与互补角共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 使 有意义x的取值范围在数轴上表示正确的是（　 　） A. B. C. D. 6. 硫酸钠（）是一种主要的日用化工原料，主要用于制造洗涤剂和牛皮纸制浆工艺．硫酸钠的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当温度为时，硫酸钠的溶解度为 B. 硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当温度为时，硫酸钠的溶解度最大 D. 要使硫酸钠的溶解度大于，温度只能控制在 7. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠B＝60°，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BC边于点E，连接ED，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 9﹣ B. 9﹣ C. 9 D. 9﹣ 8. 已知抛物线且a，b都是常数，经点，且对于符合的任意实数，其对应的函数值始终满足．则抛物线顶点的纵坐标为（） A B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 用四舍五入法得到的近似数，精确到_______位． 10. 二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率（单位：赫兹）与长度（单位：米）近似成反比例关系，即（为常数，）．若某一振动弦的共振频率为240赫兹，长度为0.5米，如果为赫兹，则是是_________米． 11. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，则该机器人的最高点F距地面的高度约为___________．（参考数据：） 12. 如图，在中，，，，分别是，边上的中点，点在的延长线上，，若，则的长为 ______ ． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族传统文化，某校举办了“诗意校园•魅力诗词”古诗词知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，总分为100分，共分成四组：A．；B．；C．；D．，其中分数不低于80为优秀）．下面给出部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为： 67，69，72，72，75，77，78，79，85，85，86，90，91，92，92，92，95，96，98，99． 九年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：83，83，88，88，88，89． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 84.5 84.5 中位数 85.5 a 众数 b 88 优秀率 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中， ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）赛后，学校准备从九年级学生中竞赛成绩位于前四名的甲乙丙丁4人中随机选取2人作古诗词积累的经验交流，请用列表法或画树状图的方法，求选中的2人恰好是丁和乙的概率． 15. 某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，某数学小组对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如下表所示，并发现交通量和时间的变化规律符合一次函数的特征，其中． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 （1）求与的函数解析式； （2）在13时：通过计算判断与的大小关系； （3）如图，该小组希望设置“可变车道”来改善拥堵状况，根据交通量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，交通量较大的为，经查阅资料得：当时，是严重拥堵，需使可变车道行车方向与交通量较大的方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 16. 如图，在菱形中，O是对角线上一点（），，垂足为E，以为半径的分别交于点H，交的延长线于点F，与交于点G． （1）求证：是的切线； （2）若是的中点，，． ①求长； ②求的长． 17. （1）证明推断：如图（1），在正方形中，点分别在边上，于点，点分别在边上，．求证：； （2）类比探究：如图（2），在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若， ，求的长． 18. 如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图，连接，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初三年级第三次模拟考试数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分100分，考试时间为90分钟． 2．作答时，把答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡及试卷统一收回． 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的展开图的知识，首先根据三视图确定该几何体的形状，然后确定其展开图即可． 【详解】解：主视图和左视图均为等腰三角形，底面为圆， 所以该几何体为圆锥， ∵圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆， ∴B选项符合， 故选B． 2. 乒乓球被誉为我国的 “国球 ”，在正规比赛中，乒乓球的标准质量为2.8克．质检员在检验乒乓球质量时，把超出标准质量0.13克 的乒乓球记作，那么一个质量为2.4克的乒乓球记作（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际应用．超出标准质量用正数表示，不足则用负数表示．计算实际质量与标准质量的差值，即可确定对应的符号． 【详解】解：∵（克）， ∴该乒乓球比标准质量少0.4克，记作． 故选：D 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，单项式除以单项式，积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据完全平方公式，平方差公式，单项式除以单项式，积的乘方逐一判断各个选项即可 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，已知，直线分别与交于点F、E，则与互补的角共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，补角的性质．由邻补角的定义可得，由平行线的性质得，进而可得出与互补的角共有4个． 【详解】解：如图， 由图可知，． ∵， ∴， ∴， ∴与互补的角共有4个． 故选D． 5. 使 有意义的x的取值范围在数轴上表示正确的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解不等式，在数轴上表示解集．根据二次根式的被开方数为非负数求出x的取值范围，进而在数轴上表示即可． 【详解】解：要使有意义，则，即， 该取值范围在数轴上表示为： 故选：C． 6. 硫酸钠（）是一种主要的日用化工原料，主要用于制造洗涤剂和牛皮纸制浆工艺．硫酸钠的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当温度为时，硫酸钠的溶解度为 B. 硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当温度为时，硫酸钠的溶解度最大 D. 要使硫酸钠的溶解度大于，温度只能控制在 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象对应的横坐标和纵坐标以及图象的增减性解答即可． 【详解】解：由图象可知： 当温度为时，碳酸钠的溶解度小于，故选项A说法错误，不符合题意； 至时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，至时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而减小，故选项B说法错误，不符合题意； 当温度为时，碳酸钠的溶解度最大，说法正确，故选项C符合题意； 要使碳酸钠的溶解度大于，温度可控制在接近至，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 7. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠B＝60°，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BC边于点E，连接ED，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 9﹣ B. 9﹣ C. 9 D. 9﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】阴影部分面积等于平行四边形面积减去扇形面积和小三角形面积，先求出扇形面积和小三角形面积即可． 【详解】解：过A作AF⊥BC于F，则∠AFB＝90°， ∵AB＝4，∠B＝60°， ∴AF＝AB×sin∠B＝2， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，AD＝5， ∴BC＝AD＝5， ∵AB＝BE， ∴CE＝5﹣4＝1， ∴阴影部分的面积S＝S平行四边形ABCD﹣S扇形ABE﹣S△CDE ＝5×﹣﹣ ＝9﹣π， 故选：A． 【点睛】此题的关键是根据阴影部分面积等于平行四边形面积减去扇形面积和小三角形面积，找扇形面积，难度一般． 8. 已知抛物线且a，b都是常数，经点，且对于符合的任意实数，其对应的函数值始终满足．则抛物线顶点的纵坐标为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，能够理解题意，明确抛物线经过点和是解题的关键．抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线．根据题意可知，，．抛物线经过点和，不妨设该抛物线的函数表达式为，代入求得，进一步即可求得顶点的纵坐标． 【详解】解：在二次函数中，令，得， 该抛物线经过点和， 该抛物线的对称轴为直线． 点关于该对称轴对称的点的坐标是． 当时，如图， 则，， ，不符合题意，舍去； 当时， 对于符合的任意实数，，其对应的函数值，始终满足， ∴如图， 又， 抛物线交轴的负半轴， ，． 该抛物线经过点和． 不妨设该抛物线的函数表达式为． 代入，得， 解得， ， 当时，， 故选：A． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 用四舍五入法得到的近似数，精确到_______位． 【答案】百 【解析】 【分析】本题考查近似数的精确度，的精确度则应由还原后的数中数a的末位数字所在的数位决定． 【详解】解：，6百位， 因此精确到百位， 故答案为：百． 10. 二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率（单位：赫兹）与长度（单位：米）近似成反比例关系，即（为常数，）．若某一振动弦的共振频率为240赫兹，长度为0.5米，如果为赫兹，则是是_________米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题关键是结合实际背景代入求值，求出对应的函数解析式． 将代入到，可求出反比例解析式，进而求解． 【详解】解：由题意将代入到中，得， ∴， ∴， 同理，将代入到中，得， ∴． 故答案为：． 11. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，则该机器人的最高点F距地面的高度约为___________．（参考数据：） 【答案】189.5 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 过点分别 作，垂足为，过点作，垂足为，分别解，，求出的长，进而求出最高点距地面的高度即可． 【详解】解：过点分别作，垂足为，过点作，垂足为，则：四边形为矩形，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的高度为， ∵矩形底座的高为， ∴点到底面的高度约为． 故答案为：． 12. 如图，在中，，，，分别是，边上的中点，点在的延长线上，，若，则的长为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，圆的有关概念，勾股定理等知识，取中点，连接，由中位线定理得，又，，则，因为分别是上的中点，所以，从而得，则点在以为圆心，为直径的圆上，如图，然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握中位线定理，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵分别是上的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵分别是上的中点， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，为直径的圆上，如图， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先计算零指数幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，负整数指数幂，最后计算加减法即可； （）先算括号内的分式加法，然后算分式除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族传统文化，某校举办了“诗意校园•魅力诗词”古诗词知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，总分为100分，共分成四组：A．；B．；C．；D．，其中分数不低于80为优秀）．下面给出部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为： 67，69，72，72，75，77，78，79，85，85，86，90，91，92，92，92，95，96，98，99． 九年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：83，83，88，88，88，89． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 84.5 84.5 中位数 85.5 a 众数 b 88 优秀率 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中， ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）赛后，学校准备从九年级学生中竞赛成绩位于前四名的甲乙丙丁4人中随机选取2人作古诗词积累的经验交流，请用列表法或画树状图的方法，求选中的2人恰好是丁和乙的概率． 【答案】（1）88，92，65 （2）九年级学生的古诗词竞赛成绩较好，见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，列表法求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据中位数及众数，优秀率分析即可得出结果； （2）根据平均数相等，根据九年级成绩的中位数大于八年级的成绩的中位数，即可求解； （3）列出表格，根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：九年级成绩在A、B组的人数为（人）， ∴九年级成绩的中位数（分）， 由八年级20名学生的竞赛成绩，可得八年级成绩的众数分， 九年级成绩的优秀率，即； 【小问2详解】 解：九年级学生的古诗词竞赛成绩较好， 因为八、九年级学生的古诗词竞赛成绩的平均数相等，而九年级学生成绩的中位数大于八年级， 所以九年级学生成绩的高分人数多于八年级， 所以九年级学生的古诗词竞赛成绩较好（答案不唯一，合理均可）； 【小问3详解】 解：列表为： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 由表格可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽到丁和乙的有2种结果， 所以选中的2人恰好是丁和乙的概率为． 15. 某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，某数学小组对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如下表所示，并发现交通量和时间的变化规律符合一次函数的特征，其中． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 （1）求与的函数解析式； （2）在13时：通过计算判断与的大小关系； （3）如图，该小组希望设置“可变车道”来改善拥堵状况，根据交通量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，交通量较大的为，经查阅资料得：当时，是严重拥堵，需使可变车道行车方向与交通量较大的方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 【答案】（1） （2） （3）时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用．待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，，，即可得出结论， （3）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为． 将代入， 得 解得 与的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时， ， ， 与的大小关系为； 【小问3详解】 解：当时，． 再结合（2）中的结果，可得当时，； 当时，． ． 当时，； 当时，， 时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 16. 如图，在菱形中，O是对角线上一点（），，垂足为E，以为半径的分别交于点H，交的延长线于点F，与交于点G． （1）求证：是的切线； （2）若是的中点，，． ①求长； ②求长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据菱形的性质得到，证明出△，得到对应边相等，对应边为圆的半径，得出结论； （2）①根据菱形的性质得到，再由是的中点，，，根据，推出，，，再由弧长的计算公式得到结果； ②先由平行相似，得到，对应边成比例求出，推出，再由勾股定理求出即可． 【小问1详解】 （1）证明：如图，过点作于点， ∵是菱形的对角线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：①如图， ∵是的中点，， ∴． ∵菱形中，，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由弧长公式，得到长：． ②如图，过点作于点， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在菱形中，， 在中，设， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线判定定理、菱形的性质、矩形的判定与性质，解直角三角形，以及相似三角形的判定与性质，关键在于熟练掌握证明是圆的切线的方法、菱形的性质以及三角形相似的证明与性质的应用，特别是菱形的性质． 17. （1）证明推断：如图（1），在正方形中，点分别在边上，于点，点分别在边上，．求证：； （2）类比探究：如图（2），在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若， ，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质，垂直的定义证明，即可求解； （2）根据题意可证，得到，结合题意得到四边形是矩形，，由此即可求解； （3）根据题意得到，可以假设，根据题意可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：结论：， 理由：如图2中，作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）∵， ∴，，， ∵，折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴可以假设， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍弃）， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正切值的计算，勾股定理的运用等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 18. 如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图，连接，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）的最大值为，此时； （3）存在，． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出，再求出直线表达式为，设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； （）当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接，求出，则，证明，所以，又，，故有，则，可得点与点重合，从而求解． 【小问1详解】 解：由题意知，解得， ∴解析式为； 【小问2详解】 解：∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线表达式为：， ∴，解得， ∴直线表达式为， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为，此时； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，点与点重合， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$