精品解析：陕西省西安市铁一中学2025届高三上学期月考2数学试卷

2024—2025—1 高三年级月考2 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式化简集合B，再由集合的补集、交集的运算求解即可. 【详解】或， ． 故选：． 2. 已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求出和的关系，代入计算可得m的值. 【详解】由已知，得， 又，又， 所以，解得或（舍去） 故选：B. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算列式，利用换底公式和特殊角的函数值求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 所以，所以. 故选：C 4. 某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这组数据的众数为80 C. 估计这组数据的第60百分位数为87 D. 估计成绩低于80分的有350人 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的性质可判定A，利用众数、百分位数的求法可判定B、C，根据频率分布直方图计算可估计总体判定D. 【详解】易知，解得，所以A错误； 由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误； 由频率分布直方图可知前两组频率之和为， 前三组频率之和为， 故第60百分位数落在区间，设第60百分位数为， 则，解得，所以C正确； 成绩低于80分的频率为，所以估计总体有，故D错误. 故选：C. 5. 用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）围成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形的面积及弧长求出母线及底面圆半径，再由余弦定理求解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， ∵扇形的圆心角为 ，解得， ∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长， ， 所以圆锥的轴截面中，，， 由余弦定理可得， 故选：B 6. 已知函数，设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值的函数值判断充分性不成立，利用导数研究的单调性和值域，结合三角函数的有界性，从而判断必要性. 【详解】，，满足，但，故甲不是乙的充分条件； 令，则，故在单调递增， 即，也即在恒成立，则在恒成立； 故当时，，，甲是乙的必要条件. 综上所述，甲是乙的必要条件，但不是充分条件. 故选：B. 7. 函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由题意利用正弦函数的单调性可得，所以，利用正弦函数的周期性可求的周期，解得，即可得解． 【详解】因为 ， 又因为，且，则， 若在上单调递增， 所以，所以， 因为对任意的实数，在上不单调， 所以的周期，所以， 所以． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数单调性求参数，关键是整体思想的应用及对任意实数，在上不单调与周期间的关系. 8. 已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，由题意可知：对任意恒成立，且，可得，解得，并代入检验即可. 【详解】令，则， 由题意可知：对任意恒成立，且， 可得，解得， 若，令， 则， 则在上递增，可得， 即对任意恒成立， 则在上递增，可得， 综上所述：符合题意，即实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于实数a，b，m下列真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，C，通过举反例即可排除；对于B，利用作差比较法即可推得；对于D，结合函数的图象特征得到，，再利用基本不等式即可求得. 【详解】对于A：时，，故A错误； 对于B：，则，因，即，故B正确； 对于C：因，若其中有一个不大于0，则与中就有一个没有意义，故C错误； 对于D：，且，由函数的图象可得：，解得， 由图可得，则，当且仅当，即时等号成立．故D正确． 故选：BD． 10. 过抛物线：的焦点作直线交于两点，则（ ） A. 的准线方程为 B. 以为直径的圆与的准线相切 C. 若，则线段中点的横坐标为 D. 若，则直线有且只有一条 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A:计算出准线即可判断；对于选项B:验证是否成立；对于选项C，D:借助焦点弦及通径的相关公式计算即可. 【详解】对于选项A:由抛物线：，可得解得，故准线方程为，故选项A错误； 对于选项B:设的中点为,且在准线上的投影为， 由抛物线的定义可知：, 易知四边形为直角梯形，所以, 故以为直径的圆与的准线相切，故选项B正确； 对于选项C:设， 因为， 所以，所以线段中点的横坐标为，故选项C正确； 对于选项D:结合抛物线的焦点弦中通径最短，可得，要使， 则线段为抛物线的通径，则这样的直线有且只有一条,故选项D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 是周期函数 C. 在单调递减 D. 的图像关于直线对称，但不关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用三角恒等变换化简函数表达式为，但是注意到，由此即可判断；对于B，在定义域内，由诱导公式可得，由此即可判断；对于C，在函数有意义的前提下，由正弦函数单调性、复合函数单调性即可判断；对于D，利用代入检验法，并注意定义域是否相应的关于直线或点对称即可判断. 【详解】对于A，． 因为，且， 所以的值域是，A错误． 对于B，的定义域且， 对任意恒有，B正确． 对于C，在有意义， 当时，， 所以在单调递减，C正确． 对于D，， 的图象关于直线对称，且的定义域关于对称， 所以的图像关于直线称． ， 的图象关于点对称， 但的定义域不关于点对称， 所以的图象不关于点对称，D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线l：被圆C：截得的弦长为，则m的值为___________. 【答案】1或9 【解析】 【分析】根据圆的弦长公式计算即可． 【详解】， 圆心C，半径， 圆心C到直线l的距离， 则，即，解得或1． 故答案为：9或1． 13. 已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】分析在的单调性，求出的范围，根据最值建立等式，解出即可. 【详解】解：取，解得， 所以在上单调递增， 即在上单调递减， 因为在闭区间上有最大值为7，最小值为3， 所以，且，， 即，解得， 因为，所以，故. 故答案为： 14. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成，玩该游戏时，需要将数字1，2，3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填个数字，要求每一行，每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有________种(用数字作答). 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合数表可分三步讨论每一行数字的填法，由分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，可分3步进行分析： ①将三个数字填入第一行，有种情况； ②第二行第一列的数字与第一行第一列的数字不同，有2种情况，第二列，第三列只有1种情况，则第二行只有2种情况； ③由于前两行的数字确定，第三行只有1种情况， 由分步计数原理，共有种不同的填法. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列组合额的应用，其中解答中认真审题，租用分析题目的限制条件，合理分步求解是解答的关键，转化考查推理与运算能力. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解， （2）由余弦定理可得，即可利用等面积法得，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题设及正弦边角关系可得：，则， 而，且，则． 【小问2详解】 因为，所以由余弦定理得，即， 所以，即（当且仅当时，等号成立）， 因为，所以， 解得，因为（当且仅当时，等号成立）， 所以（当且仅当时，等号成立），所以长度的最大值为． 16. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程； （2）对函数求导，用导数方法判断函数在上的单调性，即可得出结果. 【小问1详解】 由， 得， 所以，， 函数在处的切线方程 【小问2详解】 令， 当时，，则， 所以 ，所以， 所以在单调递减； 当时，，则， 此时， 所以在单调递增， 所以当时，函数取得最小值； 所以当时，函数的最小值为 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E、F分别为AD、SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°． （1）证明：平面SBC； （2）若，求平面SCD和平面BSC的夹角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接和，则MF∥BC，且MF＝， ∵E是AD中点，ABCD是矩形，∴AE∥BC，且AE＝， ∴MF∥AE，且MF＝AE，∴四边形为平行四边形，∴EF∥AM， 与底面所成角为，与底面ABCD所成角为， ∵SA⊥平面ABCD，SA平面SAB，∴平面SAB⊥平面ABCD， ∵AM平面SAB，∴即为与底面ABCD所成角，即， ∴为等腰直角三角形，则． 平面，BC平面ABCD，， 又，SA∩AB＝A，平面，∴BC⊥AM， ∵BC∩SB＝B，平面，∴平面； （2）. 【解析】 【分析】(1)取中点，连接和，则可证四边形为平行四边形，由此得EF∥AM﹒证明AM⊥SB，AM⊥BC即可证明AM⊥平面SBC，即可证EF⊥平面SBC； (2)以A为原点，AB、AD、AS分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行转化求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为原点，AB、AD、AS分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系： 若，设，则， 连接，取中点，连接、， ∵、分别为、的中点，故， ∵平面，∴平面， ∴，∴∠FEH＝45°， ∴，，， ∴，2，，，0，，，0，，， 则，2，，，2，，，0，，，2，， 设平面的法向量为，，， 则，则，取，则，0，， 设平面的法向量为，，， 则，则，取，则，则，1，， 则， 则平面SCD和平面BSC的夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的一个顶点坐标为，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程和椭圆的短轴长； （2）若过点的两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，（，与不重合），试判断直线是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由； （3）作于点，则存在定点，使得为定值，请写出这个定值（只要求写出结果）. 【答案】（1），短轴长为2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的简单几何性质，可解得的值. （2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，把垂直关系转化为向量垂直，运用数量积的坐标运算，可得的关系，进而求解. （3）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的关系即可求解. 【小问1详解】 有题意可知 又，故椭圆方程为，短轴长为2 【小问2详解】 （2）当直线有斜率时，设直线方程为，设，联立与椭圆，消去得，则从而， , 所以, 即 化简得，即或 当时，直线方程为，过点，该点不在椭圆内，不符合题意舍去 当时，直线方程为，满足题意 当直线没有斜率时，设直线方程为，则,,由得，解得或(舍去),此时直线过点 综上可知:直线过一定点. 【小问3详解】 于点，直线直线过一定点,则是直角三角形且斜边设的中点为,则,所以定值为. 19. 已知常数，设， （1）若，求函数的最小值； （2）是否存在，且，，依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由． （3）求证：“”是“对任意，，都有”的充要条件． 【答案】（1） （2） 当时，存在，，满足条件， 当时，不存在，，满足条件； （3） ，则， ， 所以， 又 ， 令， 上式 ， 令，则恒成立，单调递减， 所以， 充分性：若，则，则恒成立， 必要性：要使得式恒成立，则恒成立，即． 【解析】 【分析】（1）求导分析的符号，的单调性，最值，即可得出答案． （2）根据题意可得，，则，分两种情况：当时，当时，讨论是否满足条件，即可得出答案． （3）由，借助换元法，令，可得，分别证明充分性和必要性，即可得出答案． 【小问1详解】 当时，，则， 在上，单调递减， 在上，单调递增， 所以； 【小问2详解】 若、、依次成等比数列，则， 若、、成等差数列，则， 所以， 所以， 当时，成立， 当时，则，联立，得， ，即， 所以，与矛盾， 所以时，存在，，满足条件， 当时，不存在，，满足条件； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对“对任意，，都有”的转化，借助换元法，可得其等价为“对任意，，都有，其中”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025—1 高三年级月考2 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这组数据的众数为80 C. 估计这组数据的第60百分位数为87 D. 估计成绩低于80分的有350人 5. 用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）围成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7. 函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于实数a，b，m下列真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则的最小值为 10. 过抛物线：的焦点作直线交于两点，则（ ） A. 的准线方程为 B. 以为直径的圆与的准线相切 C. 若，则线段中点的横坐标为 D. 若，则直线有且只有一条 11. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 是周期函数 C. 在单调递减 D. 的图像关于直线对称，但不关于点对称 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线l：被圆C：截得的弦长为，则m的值为___________. 13. 已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则__________. 14. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成，玩该游戏时，需要将数字1，2，3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填个数字，要求每一行，每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有________种(用数字作答). 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 16. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的最小值． 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E、F分别为AD、SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°． （1）证明：平面SBC； （2）若，求平面SCD和平面BSC的夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的一个顶点坐标为，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程和椭圆的短轴长； （2）若过点的两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，（，与不重合），试判断直线是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由； （3）作于点，则存在定点，使得为定值，请写出这个定值（只要求写出结果）. 19. 已知常数，设， （1）若，求函数的最小值； （2）是否存在，且，，依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由． （3）求证：“”是“对任意，，都有”的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $