海南省部分学校2024-2025学年高二下学期学业水平诊断（三）数学试题

海南省部分学校2024-2025学年高二下学期学业水平诊断（三）数学试题 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是等比数列，，则（ ） A. B. C. 16 D. 32 3. 已知函数，若，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 从一副不含大小王的扑克牌中抽牌，每次抽出1张牌，记录花色后放回，一共抽5次，记抽到黑桃牌次，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.35 C. 0.4 D. 0.45 6. 某智能机器人需执行包含5个不同指令，，，，的程序，若每个指令只执行一次，指令，必须连续执行（顺序可以互换），指令不能出现在最后一个位置，则符合条件的指令执行方式的种数为（ ） A. 18 B. 36 C. 48 D. 144 7. 王刚是校足球队的替补球员，已知每场比赛王刚上场的概率为，校足球队获胜的概率为，若王刚上场的情况下校足球队获胜的概率为，则校足球队获胜的比赛中王刚上场的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的极小值点为，则的极大值点为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知（为常数）的展开式中各项的系数之和为0，则关于其展开式，下列说法中正确的是（ ） A. B. 二项式系数的和为16 C. 每一项中的指数都是偶数 D. 展开式中不存在常数项 10. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 设为抛物线的焦点，为的准线与轴的交点，点在轴的正半轴上，过点的直线交于M，N两点，在线段AM上，且四边形ABCD为菱形，则（ ） A. B. C. 为线段AM的中点 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，则_________． 13. 已知儿子的身高与父亲的身高有关，某兴趣小组统计了5组父子的身高数据，如下表： 父亲身高 166 168 172 178 186 儿子身高 169 175 175 181 若关于的经验回归方程为，则_________． 14. 如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准球体，石狮子张开的嘴内部形状看作下底边长为24，上底边长为14，高为12的正四棱台，若石球整体都在棱台的内部，且始终与棱台的上下底面相切，则石球球心能运动的区域的面积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，在直四棱柱中，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）设的左焦点为，左顶点为，过原点且不与轴重合的直线与交于P，Q两点，直线QF与交于另一点，设直线MP和MR的斜率分别为和，证明：为定值． 18. 有50杯无色透明的液体，其中有48杯清水与2杯盐水，某学习小组想要快速找出这2杯盐水，他们设计了如下方案：将这50杯液体随机分成10组，每组5杯，将同组内的所有液体取样混合，第一轮对每组的混合样本依次进行检测，第二轮对检测出盐水的组内每杯液体依次进行检测． （1）若第一轮10份混合样本中有2份含盐水，求检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率； （2）若每轮检测即使提前确定盐水的位置也将该轮检测进行完，设检测的总次数为，求的分布列和数学期望； （3）在（2）的条件下，若将这50杯液体改为随机分成5组，每组10杯，采用相同的检测方法，设检测的总次数为，试判断与的大小． 19. 已知函数． （1）若的图象在点和处的切线互相垂直，求实数的值． （2）若函数有两个不同的正零点． ①求实数的取值范围； ②已知当时，关于的不等式恒成立，证明：． 海南省部分学校2024-2025学年高二下学期学业水平诊断（三）数学试题 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】180 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）； （2）. 【16题答案】 【答案】（1） 证明：由题意可得底面四边形ABCD为等腰梯形， 取AD中点记为E，连接CE， 因为 所以即四边形ABCE为平行四边形， 所以 由于所以又， 所以即， 因为为直四棱柱， 所以平面平面，平面平面，平面, 所以平面，即平面； （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 证明：由（1）可知：， 当直线方程为时，此时不妨设， 直线QF的方程为：， 由，或，即， ， 当直线存在斜率且不为零时， 设直线QF的方程为：，与椭圆方程联立，得 ， 则， 设，则， ，把， ， 综上所述：为定值. 【18题答案】 【答案】（1） （2）的分布列为： 15 20 （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）①； ②证明：由时，关于的不等式恒成立， 所以在上的两个零点，也是的两个零点， 令，由①知，又，即，，， 要证，即证，由，而， 由， 令且，所以， 令，则，即在上单调递增， 所以，即，即在上单调递减， 所以，即，而在上单调递增， 所以，即，故，得证； 要证，即证，即证， 由， 令且，则， 所以在上单调递增，则，即， 而在上单调递增，则，故，得证， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $