精品解析：黑龙江省海林市朝鲜族中学2024-2025学年高一下学期第三次月考（期末）数学试卷

2024-2025学年度第二学期高一年级数学学科第三次考试（必修二） 命题人：姜磊 审核人：姜磊 班级：___________姓名：___________ 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1. 下列结论正确是 A. 事件A的概率的值满足 B. 灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为99% C. 若，则A为必然事件 D. 总数共10万张的彩票，中奖率为，买1000张一定会中奖 2. 设复数满足 ，则（　　） A. B. 1 C. D. 2 3. 甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，一个水平放置的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，，，则实数（ ） A B. 1 C. D. 6. 现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方形ABCD的边长为4，将沿对角线AC翻折，使二面角为，则平面BCD截三棱锥的外接球所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 设向量，下列说法正确的是（ ） A. 若时，则 B. 与垂直 C. 若时，则 D. 若时，在上的投影向量为 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A. A与B为互斥事件 B. C. D. B与C相互独立 11. 已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与直线所成角为 C. 三棱锥的体积为 D. 过三点平面截该正方体所得的截面为六边形 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知向量 和 的夹角为 ，，，则 ____． 13. 某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况， 按男、女学生的比例分别抽样调查了 48 名男生和 27 名女生的每周锻炼时间. 通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为 7.6 小时， 方差为 7.3， 女生每周锻炼时间的平均数为 6.4 小时， 方差为 8， 则所有样本数据的方差是__________. 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的中线的最大值为_____. 四、解答题（15题13分，16，17题15分，18、19题17分，共77分） 15. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求： （1）该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率； （2）该选手至多进入第二轮考核的概率． 16. 在四面体中，. （1）若为正三角形，平面平面，求四面体体积； （2）若，，求二面角的余弦值. 17. 在中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，且， （1）求A的值； （2）若点D在AC上，且，求的面积． 18. 2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元. “一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成五组， 并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中a的值； （2）由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）； （3）展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自于观展时间在和的概率. 19. 如图，直三棱柱中，，，D为线段中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期高一年级数学学科第三次考试（必修二） 命题人：姜磊 审核人：姜磊 班级：___________姓名：___________ 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1. 下列结论正确的是 A. 事件A的概率的值满足 B. 灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为99% C. 若，则A为必然事件 D. 总数共10万张的彩票，中奖率为，买1000张一定会中奖 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率的基本性质和意义即可求解. 【详解】解：对A：因为事件A的概率满足，故选项A错误； 对B：利用概率的意义即可判断选项B正确； 对C：，只是说明事件A发生的可能性很大，但不是必然事件，故选项C错误； 对D：总数共10万张的彩票，中奖率为，由概率的意义可知买1000张不一定会中奖，故选项D错误． 故选：B． 2. 设复数满足 ，则（　　） A B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则及模的定义求解即可. 【详解】， 则. 故选：. 3. 甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由独立事件乘法公式得到，进而利用求出答案. 【详解】甲、乙两个元件互相不影响，故事件相互独立， ， . 故选：A 4. 如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测直观图求出, 的长，求出的面积． 【详解】由斜二测直观图可知，且， 则的面积. 故选：D. 5. 已知向量，满足，，，，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义先求出的值，再由得到，将，，代入计算即可求出. 【详解】因为，，， 所以. 因为，所以， 所以. 故选：A 6. 现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A写出事件包含的基本事件；B根据古典概型的概率公式求出；C事件是不可能事件；D利用概率的加法公式. 【详解】假设运动鞋的左脚为，右脚为，凉鞋的左脚为，右脚为， 则选出两只鞋包含了6种， 其中事件包含了4种， 事件包含了2种，事件包含了2种， 故，则A错误； ，，，，故BC错误； ，故D正确. 故选：D 7. 实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出挖去的圆柱底面半径和高，再结合圆锥表面积、圆柱侧面积公式直接计算可得结果. 【详解】根据题意的中点为可知，挖去的圆柱底面半径为，高为， 剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去圆柱的侧面积，显然圆锥母线为， 易知圆锥表面积为，圆柱侧面积为， 所以剩下几何体的表面积为. 故选：B 8. 已知正方形ABCD的边长为4，将沿对角线AC翻折，使二面角为，则平面BCD截三棱锥的外接球所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点为，连接，利用余弦定理求，再利用余弦定理求，进而得，由平面BCD截三棱锥的外接球所得截面为圆，即为的外接圆，设该圆的半径为，最后利用正弦定理求，进而求解. 【详解】取的中点为，连接，由题意有，所以， 所以为二面角的平面角，所以，， 由余弦定理有，所以， 又由余弦定理得， 所以， 由平面BCD截三棱锥的外接球所得截面为圆，即为的外接圆，设该圆的半径为， 由正弦定理得，所以， 所以该圆的面积为， 故选：B. 二、多选题（每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 设向量，下列说法正确的是（ ） A. 若时，则 B. 与垂直 C. 若时，则 D. 若时，在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量线性关系判断A，应用数量积公式及模长公式计算判断B，应用向量夹角余弦公式计算判断C，应用投影向量公式计算判断D. 【详解】当时，，则，A选项正确； 因为， 所以与垂直，B选项正确； 因为，所以，C选项错误； 当时， 在上的投影向量为，D选项正确； 故选：ABD. 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A. A与B为互斥事件 B. C. D. B与C相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据题意将的可能情况列出来，然后根据互斥事件、独立事件和概率知识对选项逐一判断即可. 【详解】不放回的随机取两次，共有种不同结果. 由题意，共15种结果； 共15种结果. 共12种结果. , 对于选项A： 事件和事件能同时发生，比如，所以不是互斥事件，所以A错误； 对于选项B：，所以B正确； 对于选项C：，，所以，所以C错误； 对于选项D：，. 由于，所以相互独立，所以D正确. 故选：BD. 11. 已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与直线所成角为 C. 三棱锥的体积为 D. 过三点的平面截该正方体所得的截面为六边形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用中位线的平行关系，利用正方体中的垂直关系，可判断AB，利用平行关系进行三棱锥体积变换，再计算体积，可判断C，利用延长线或作平行线来确定截面，可判断D. 详解】对于A， 取的中点为，连接，由分别是棱的中点， 可得：，， 由正方体的性质可得：平面，， 所以可得：平面，， 又因为平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以，故A正确； 对于B, 由分别是棱的中点，可得， 由正方体性质可得：， 所以就是直线与直线所成角或其补角， 由于是等边三角形，所以， 即直线与直线所成角为，故B错误； 对于C: 在上取点，使得，连接，易证． 则 ． 另解：如图，连接， 则 ． 故C正确． 对于D，截面是平面与几何体表面的交线围成的图形． 如上图所示，过三点的平面截该正方体所得的截面应为五边形．故D错误． 故选：AC． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知向量 和 的夹角为 ，，，则 ____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求，再利用模长公式可求. 【详解】， ， 故答案为：. 13. 某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况， 按男、女学生的比例分别抽样调查了 48 名男生和 27 名女生的每周锻炼时间. 通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为 7.6 小时， 方差为 7.3， 女生每周锻炼时间的平均数为 6.4 小时， 方差为 8， 则所有样本数据的方差是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据所有样本数据的方差公式进行求解即可. 【详解】设所有样本数据的平均数为， 所以所有样本数据的方差为， 故答案： 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的中线的最大值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得，，利用向量的模长公式可求，根据二次型函数求最值即可 【详解】 ， 即，即，又，所以， 又的中线，所以， ， 又为锐角三角形，所以，， 即时，. 故答案为： 四、解答题（15题13分，16，17题15分，18、19题17分，共77分） 15. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求： （1）该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率； （2）该选手至多进入第二轮考核的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得. （2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 记“该选手正确回答第轮问题”为事件，则 事件，，相互独立，且，，. 因为该选手进入第三轮才被淘汰指：前两轮均通过，第三轮淘汰， 所以该选手进入第三轮才被淘汰的概率为 . 【小问2详解】 因为选手至多进入第二轮考核意味着第一轮淘汰或者第一轮通过第二轮淘汰,且事件和互斥. 所以该选手至多进入第二轮考核的概率为 . 16. 在四面体中，. （1）若为正三角形，平面平面，求四面体体积； （2）若，，求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）取为BC的中点，连接DE，则，由平面平面，得平面，即是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式即可求解； （2）由（1），即证，即二面角的平面角为，在中利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，则为等腰直角三角形， 且， 又为正三角形，故， 取BC的中点，连接DE，则， 又平面平面， 平面平面平面DBC， 故平面， 是三棱锥的高， 则其体积； 【小问2详解】 由（1）且，又， 则，且，又， 所以二面角的平面角为， 且. 所以二面角的余弦值为. 17. 在中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，且， （1）求A的值； （2）若点D在AC上，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理，结合正弦定理边化角，即可求角A； （2）利用同角公式求正弦值，再结合正弦定理求出，然后再根据正弦的和差角公式求解，即可由面积公式求解. 【小问1详解】 由三角形内角和定理可知：， 再由，利用正弦定理边化角得： ， 因为，所以有，则； 【小问2详解】 由，在中，可得， 再由正弦定理得：， ， 所以的面积. 18. 2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元. “一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成五组， 并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中a的值； （2）由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）； （3）展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自于观展时间在和的概率. 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图小矩形面积之和为1即可求解； （2）根据百分位数的定义和频率分布直方图估计平均数的公式即可求解； （3）先计算和应抽取的人数，最后利用古典概型公式即可求解. 【小问1详解】 由题意有：，解得； 【小问2详解】 设第75百分位数为，则，解得， 由， 所以估计该样本数据的第75百分位数为，该样本数据的平均数为； 【小问3详解】 由题意有的人数为：人，的人数为：人， 根据分层抽样在应抽取：人，在应抽取：人， 设抽取2人为，抽取3人为， 从5人中随机挑出两人进行详细调研，则有共有10种情况， 令事件表示两人分别来自于观展时间在和， 则共有6种情况，所以. 19. 如图，直三棱柱中，，，D为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据直三棱柱的性质，结合题给条件，证明线线平行，进一步得出线面平行； （2）根据已知几何体的性质，结合题给条件，证明线面垂直，进一步推出面面垂直； （3）根据已知几何体的性质，借助辅助线构造并证明与平面所成角的三角形为直角三角形，结合题给条件，求出相应边长，从而得到角的正切值. 【小问1详解】 证明：连接交于点O，连接. 因为四边形是正方形，则O为中点， 又因为点D为中点， 所以. 结合图形可知：平面，平面， 故平面 【小问2详解】 证明： 已知三棱柱为直棱柱，则平面， 因为平面，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面， 而平面，所以. 又因为，所以. 由题知，D为线段的中点，所以， 又，平面，平面， 所以平面. 又因为平面， 故平面平面. 【小问3详解】 取的中点F，连接，，则. 已知三棱柱为直棱柱，平面， ∵平面，∴. 又因为，，平面，平面， ∴平面. 又因为，∴平面， ∴为直线与平面所成的角. ∵，∴，中，. 在中，. ∵平面，平面，∴. 在中，， ∴直线与平面所成角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$