精品解析：四川省泸州市第十二初级中学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年四川省泸州十二中八年级（下）期中数学试卷 一．单项选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 若 有意义，则x是怎样的实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．根据二次根式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故选：C． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、＝＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的判断以及二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能合并，选项计算错误； B、，不能合并，选项计算错误； C、，选项计算正正确； D、，选项计算错误； 故选C． 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 1，1，2 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 1，，2 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形． 【详解】解：A、12＋12≠22，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、22＋32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、42＋52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、12＋（）2＝22，能构成直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 5. 如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，，则的长是（　　） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得的长，然后由，，，根据勾股定理可求得的长，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 6. 为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到离门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于（ ） A. 0.5米 B. 1.2米 C. 1.3米 D. 1.7米 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中，由勾股定理得到：（米）， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度． 7. 下列命题为真命题的是（　　） A. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 B. 对角线相等的平行四边形为矩形 C. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形、矩形、平行四边形、菱形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是假命题，不符合题意； B. 对角线相等的平行四边形为矩形，是真命题，符合题意； C. 一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，是假命题，不符合题意； D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形、菱形的判定定理，熟练掌握正方形、矩形、平行四边形、菱形的判定定理是解题的关键． 8. 如图，在中，，，，点H、G分别是、上的动点，连接、，E、F分别为、的中点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含度角的直角三角形，勾股定理． 连接，过点作于，由度的性质可得，由勾股定理可知，由三角形中位线定理可得，即当时，即点在点时，有最小值，此时最小，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于， ∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ∵、分别为、的中点， ， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点与点重合时，的最小值为， ∴的最小值为， 故选：D． 9. 如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两直角边分别是a、b，且，大正方形的面积是9，则小正方形的面积是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积−4个直角三角形的面积，利用已知(a+b)2=15，大正方形的面积为9，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案． 【详解】解：∵(a+b)2=15， ∴a2+2ab+b2=15， ∵大正方形的面积为：a2+b2=9， ∴2ab=15−9=6，即ab=3， ∴直角三角形的面积为：， ∴小正方形的面积为：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式及勾股定理的应用，熟练应用完全平方公式及勾股定理是解题关键． 10. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的（如图），则水深和芦苇长各多少尺？若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，用勾股定理求解即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度为x尺， 由题意得：尺，尺， ∵水面是一个边长为10尺的正方形，芦苇在水池的正中央， ∴尺， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理得应用，熟记公式是解题关键． 11. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 72 B. 24 C. 48 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得BD． 12. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论； ②证△OMB△OEB得△EOB△CMB； ③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF； ④由②可知△BCM△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，再由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半继续求解即可． 【详解】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC， ∵FO=FC， ∴FB垂直平分OC，故①正确； ②∵FB垂直平分OC， ∴△CMB≌△OMB， ∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO， ∴△FOC△EOA， ∴FO=EO， ∴OB⊥EF， ∴△FOB≌△OEB， ∴△EOB与△CMB不全等，故②错误； ③由△OMB≌△OEB≌△CMB 得：∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE， ∴△BEF是等边三角形， ∴BF=EF， ∵DF∥BE且DF=BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE=BF， ∴DE=EF，故③正确； ④在直角△BOE中∵∠3=30°， ∴BE=2OE， ∵∠OAE=∠AOE=30°， ∴AE=OE， ∴BE=2AE， ∴S△AOE：S△BOE=1：2， 又∵FM∶BM=1∶3， ∴S△BCM = S△BCF= S△BOE ∴S△AOE：S△BCM=2∶3 故④正确； 所以其中正确结论的个数为3个， 故选：B． 二．填空题（共4小题，共12分） 13. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，需先简化每个根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 矩形中，，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为，则________cm． 【答案】13 【解析】 【分析】根据折叠性质，DE=BE，设DE=BE=x，则AE=18-x，在直角三角形ADE中运用勾股定理求解即可． 【详解】∵，四边形ABCD是矩形， 根据折叠性质，得DE=BE，∠DAE=90°， 设DE=BE=x，则AE=18-x， 在直角三角形ADE中， ， 解得x=13， 即DE=13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键． 15. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为____． 【答案】20cm 【解析】 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可． 【详解】如图1， ∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm， ∴BM=18﹣6=12，BN=10+6=16， ∴MN==20； 如图2， ∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm， ∴PM=18﹣6+6=18，NP=10， ∴MN==2． ∵20＜2 ∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20． 故答案为20cm 【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键． 16. 已知在平面直角坐标系中，，点D在坐标平面内，若A、B、C、D四点刚好围成一个平行四边形，则D的坐标为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据，且A、B、C、D四点刚好围成一个平行四边形，进行作图以及分类讨论，结合平行四边形的性质，得出对边平行且相等，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵ ∴， 轴， 若四边形是平行四边形， 则轴，且， ∵， ∴； 若四边形是平行四边形， 则轴，且， ∴； 若四边形是平行四边形， 则，且， ∵，且， ∴三点在同一条直线上，且， ∴点与点关于点A对称， 设， 则 解得，， ∴， 故答案为：或或 三．解答题（共9小题，72分） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，绝对值，零指数幂 ，负整数指数幂，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘除，完全平方公式，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如下图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：， ． 又，且， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键； 根据角相等得到平行关系，再根据三角形内角和定理得到角相等，进而得证． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先化简分式，再代值求解即可； 【详解】解：原式= = = =， 将代入得，原式=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 20. 已知，，分别求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则、平方差公式及完全平方公式是解题的关键． （1）先得出，，再利用平方差公式计算即可； （2）先根据平方差公式得出，利用完全平方公式变形，代入和的值即可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 21. 生态兴则文明兴，生态衰则文明衰．“十三五”以来，青岛市坚持生态优先、绿色发展理念，持续改善生态环境．如图现有施工遗留的一处空地，计划改造成绿地公园，已知∠A＝90°，AB＝AD＝3米，BC＝10米，CD＝8米，已知每平方米的改造费用为200元，请问改造该区域需要花费多少元？ 【答案】改造该区域需要花费6600元． 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，从而解决问题． 【详解】解：如图，连接， 在中，由勾股定理得， （米， ，， ， ， （平方米）， （元， 改造该区域需要花费6600元． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 22. 如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东方向上． （1）求的度数； （2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】（1） （2）轮船继续向正东方向航行是安全的 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等角对等边，30度角的性质，勾股定理的应用． （1）作于H，可知，根据平行线的性质得到，，即可求出的度数； （2）根据等角对等边得到海里，根据30度角的性质结合勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：作于H， 则， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ∵一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处， ∴海里， ∵， ∴海里， ∵，， ∴海里， ∴， ∴轮船继续向正东方向航行是安全的． 23. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 24. 如图1，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接． （1）求的度数． （2）如图2，为的中点，连接． ①求证：； ②若正方形边长为4，求线段的长． 【答案】（1） （2） ①证明：如图2所示： 沿折叠得到，为的中点， ，， ， ， ， ， 即， ； ②线段的长为． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得．，由折叠的性质得出，，，再求出，，然后由“”证明，由全等三角形对应角相等得出，得出即可； （2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得，，再由三角形的外角性质得出，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可； ②设，表示出、，根据点是的中点求出、，从而得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图1所示： 四边形是正方形， ，， 沿折叠得到， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①略 ②解：设，则，， 正方形边长为4，为的中点， ， ， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， 即线段的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 25. 如图1，在四边形中，，且． （1）写出A，C，D三点的坐标． （2）点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点O运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． ①求t为多少时， ②如图2，当时，点E为的中点，点F在上，，求点F的坐标． 【答案】（1），， （2）①4s或6s；② 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，坐标与图形，非负性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识． （1）根据非负数的性质求出字母的值，写出坐标即可； （2）分别表式出，，根据为等量关系列出关于t的方程，再利用平方根的性质解方程即可． ②延长交于点M，过Q作于H，证明，设，根据勾股定理列出方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴A，C，D三点的坐标为，，； 【小问2详解】 解：①依题意得：，， ∴， ∴点，点， ∴， ∵点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，解得：， 当时，解得：， 综上：或时，． ②当时四边形为平行四边形． 由①可知此时， ∴，，则， 延长，交于点M，过Q作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，即：， ∴， ∴． 设，则，，，， ∵， 即， 解得：， ∴， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年四川省泸州十二中八年级（下）期中数学试卷 一．单项选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 若 有意义，则x是怎样的实数（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 1，1，2 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 1，，2 5. 如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，，则的长是（　　） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 6. 为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到离门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于（ ） A. 0.5米 B. 1.2米 C. 1.3米 D. 1.7米 7. 下列命题为真命题的是（　　） A. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 B. 对角线相等的平行四边形为矩形 C. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 8. 如图，在中，，，，点H、G分别是、上的动点，连接、，E、F分别为、的中点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9. 如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两直角边分别是a、b，且，大正方形的面积是9，则小正方形的面积是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的（如图），则水深和芦苇长各多少尺？若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 72 B. 24 C. 48 D. 96 12. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（共4小题，共12分） 13. 计算：_____________． 14. 矩形中，，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为，则________cm． 15. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为____． 16. 已知在平面直角坐标系中，，点D在坐标平面内，若A、B、C、D四点刚好围成一个平行四边形，则D的坐标为_________． 三．解答题（共9小题，72分） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 如下图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知，，分别求下列代数式的值： （1） （2） 21. 生态兴则文明兴，生态衰则文明衰．“十三五”以来，青岛市坚持生态优先、绿色发展理念，持续改善生态环境．如图现有施工遗留的一处空地，计划改造成绿地公园，已知∠A＝90°，AB＝AD＝3米，BC＝10米，CD＝8米，已知每平方米的改造费用为200元，请问改造该区域需要花费多少元？ 22. 如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东方向上． （1）求的度数； （2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？ 23. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 24. 如图1，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接． （1）求的度数． （2）如图2，为的中点，连接． ①求证：； ②若正方形边长为4，求线段的长． 25. 如图1，在四边形中，，且． （1）写出A，C，D三点的坐标． （2）点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点O运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． ①求t为多少时， ②如图2，当时，点E为的中点，点F在上，，求点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $