福建省福州第十五中学2024-2025学年高一下学期数学校本练习19

2024-2025学年第二学期高一数学校本练习19 班级：___________姓名：___________座号：___________ A.基础题 1．已如复数，则的实部是（    ） A． B．2 C．3 D．5 2．用斜二测画法画水平放置的边长为1的正方形，所得直观图的周长为（    ） A．4 B．3 C． D．2 3．为了解某市参加升学考试的学生的数学成绩，从参加考试的学生中随机抽取1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（   ） A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生 B．样本指的是抽取的1000名学生的数学成绩 C．样本量指的是抽取的1000名学生 D．个体指的是抽取的1000名学生中的每一名学生 4．某工厂生产了类、类、类三种产品各1080件､900件､360件，用分 层随机抽样的方法从中抽取130件产品进行质量检测，则类与类产品共抽取的件数为（    ） A．110 B．90 C．60 D．50 5．已知是一条直线，、是两个不同的平而，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．在正方体中，为的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 7．如图，在三棱锥中，，、分别是、的中点，且满足，则异面直线与 所成的角等于 A． B． C．或者 D． 8．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆， 则该圆锥的体积为 ． 9．某市在2025高考模拟测试评卷中，实行双评加抽样三评的评卷方法.已知收到有效的数学答卷为5万份，有效的物理答卷为3万份，有效的化学答卷为2.5万份.若双评后利用分层抽样的方法抽取210份样卷进行三评，则应抽取数学样卷的份数为 . 10．设总体由编号为的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的3个个体的编号为 . 5044664421    6606580562    6155643502    4235489632    1452415248 2266221586    2663754199    5842367224    5837521851    0337183911 11．在中，角所对的边分别为， 且． (1)求； (2)若的面积为，且，求． 12．在四棱锥中，底面 ，为中点，为棱上任意一点. (1)求证：平面； (2)求证：. B.提升题 13．如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（    ）小时 A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．1 14．已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线与 互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成 的角为，则（    ） A．圆锥的高为 B．圆锥的侧面积为 C．二面角的大小为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 C.拓展题 15．已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 16．（多选）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（    ） A．直线与平面所成的角等于 B．四棱锥的体积为 C．两条异面直线和所成的角为 D．二面角的平面角的余弦值为 17．如图1，在直角梯形中，，，，.将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图所示2. (1)求几何体的体积； (2)求二面角的正切值 《2024-2025学年第二学期高一数学校本练习19》参考答案 1．A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断. 【详解】因为， 所以的实部是. 故选：A 2．B 【分析】画出直观图，结合斜二测画法线段关系得到直观图中相关的线段长度，即可得解. 【详解】如图平面正方形的边长为， 则直观图如下所示： 则，，， 所以直观图的周长为. 故选：B 3．B 【分析】根据给定条件，利用总体、样本的定义直接判断作答. 【详解】对于A，总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，故A错误； 对于B，样本指的是抽取的1000名学生的数学成绩，故B正确； 对于C，样本量是1000，故C错误； 对于D，个体指的是抽取的1000名学生中每名学生的数学成绩，故D错误． 故选：B. 4．A 【分析】由分层抽样抽样比即可求解. 【详解】设类与类产品共抽取的件数为， 由题意，可得， 解得. 故选：A 5．D 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与相交，故A错误； 对于B：若，，则或或与相交，故B错误； 对于C：若，，则或，故C错误； 对于D：若，，则，故D正确. 故选：D 6．C 【分析】根据正方体的性质判断A、B；设，连接，即可证明，即可证明C；假设平面，推出矛盾，即可判断D. 【详解】对于A：由正方体的性质可知， 显然，与不平行，所以与不平行，故A错误； 对于B：由正方体的性质可知，，所以， 由A可知与不平行，且、平面， 所以与不垂直，则与不垂直，故B错误； 对于C：设，则为的中点，连接，又为的中点， 所以，又平面，平面，所以平面，故C正确； 对于D：若平面，平面，则， 又，所以，又四边形为矩形， 所以四边形为正方形，所以， 又为正方体，所以，显然不满足， 故假设不成立，所以与平面不垂直，故D错误. 故选：C 7．A 【分析】通过做平行线将异面直线所成角化为或其补角，根据三角形中的余弦定理得到结果. 【详解】 取AC的中点G,连接EG,GF,可得，此时，为异面直线与所成的角或其补角，根据可得到分别为三角形的中位线， 在三角形中，根据余弦定理得到 因为异面直线所成的角为直角或锐角，故得到异面直线与所成的角等于. 故答案为A. 【点睛】本题考查了异面直线所成角的求法，异面直线所成的角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的；或者建立坐标系，通过求直线的方向向量得到直线夹角或其补角. 8．/ 【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，即为圆锥的母线长，再求得圆锥的高，从而求得体积即可 【详解】∵圆锥的底面半径为1，∴侧面展开图的弧长为， 又∵侧面展开图是半圆，∴侧面展开图的半径为2，即圆锥的母线长为2，故圆锥的高为，故体积 故答案为： 9．100 【分析】根据分层抽样的定义列式求解即可. 【详解】由题意，应抽取数学样卷的份数为. 故答案为：100 10． 【分析】利用随机数表法的规则读数即可. 【详解】根据从随机数表第1行第6个数开始读，第一个编号是64，舍去；第二个编号是42； 第三个编号是16；第四个编号是60，舍去；第五个编号是65，舍去；第六个编号是80，舍去；第七个编号是56， 所以入选的三个个体编号分别为42，16，56， 故答案为：42，16，56. 11．(1) (2)，或， 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再进行三角恒等变形即可求解. （2）结合已知条件面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】（1）由，根据正弦定理得 ， ， ，又 所以，解得， 所以，因为为三角形的内角，所以． （2）由，，解得， 由余弦定理得，解得， 所以，或，． 12．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形，得，由线面平行的判定定理求解； （2）通过证明平面，求解即可. 【详解】（1）取中点，连接. 则是的中位线，得，且. 因为，且，所以，且， 因此，四边形是平行四边形，得. 又因为平面平面， 所以平面. （2）连接，不妨设， 由，在直角梯形中，求得， 因为，所以， 因为底面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以. 13．A 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果. 【详解】由题意，在中，，，， 所以， 由正弦定理可得，， 则又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：A. 14．C 【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的母线长，结合线面角的定义可判断A选项；利用圆锥的侧面积公式可判断B选项；利用二面角的定义，找到二面角的平面角，再解三角形求解可得C选项；根据展开前后图形联系，利用扇形的弧长公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为与底面垂直，为底面圆的一条半径，则， 所以与圆锥底面所成的角为， 又，所以的面积为，解得，即母线长， 所以该圆锥的高为，故A错误； 对于B选项，该圆锥的底面半径为， 母线长， 故该圆锥的侧面积为，故B错误； 对于C选项，取的中点，连接， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 则，所以， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为，故C正确. 对于D选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为， 底面圆周长为，则，故D错误. 故选：C. 15．B 【分析】利用圆的性质，得到，将转换为，进而求出最大值. 【详解】如图所示：    因为为的外接圆圆心，，所以， 且， 所以故当共线反向时，取到最大值. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再由数量积的运算律得到. 16．ABC 【分析】根据线面角的定义及求法即可判断A；由平面即可求出四棱锥的体积判断B；由异面直线所成角的定义及求法即可判断C；由平面角的定义及余弦定理即可判断D． 【详解】如图， 取的中点，连接，则， 而平面，平面， 得，平面 则平面， 所以是直线与平面所成的角为，故A正确； 点到平面的距离为的长度为， 则，故B正确； 易证，所以异面直线和所成的角为或其补角， 因为为等边三角形，所以两条异面直线和所成的角为，故C正确； 连接，由，所以， 又，所以为二面角的平面角， 易求得， 又，， 由余弦定理可得，故D错误． 故选：ABC． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理得到，取中点，由面面垂直得到，进而可求证； （2）过作交与，连接，得到即为二面角的平面角，进而可求； （3）取中点的，连接，通过说明，确定为球心，即可求解. 【详解】（1）在直角梯形中， ，得， 易知，在三角形中， 由余弦定理可得： 所以， 所以， 所以， 取中点，连接，则，又平面平面， 且相交于，平面， 从而平面，又在平面内，所以， 又，，都在平面内 所以平面， 因为， 所以三棱锥的体积为， 由等体积性知几何体的体积为. （2） 过作交与，连接， 由（1）平面，易得， 又为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以，所以即为二面角的平面角， 因为，，， 所以到的距离为，为中点， 所以，又， 所以. 第16页 第17页 学科网（北京）股份有限公司 $$