福建省福州第十五中学2024-2025学年高一下学期数学期末定心卷

2024-2025学年第二学期高一数学期末定心卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．已知一组样本数据（）的平均数为，方差为，则（    ） A．，，…，的平均数为 B．，，…，的方差为 C．，，…，的25%分位数为 D．，，…，的极差为 4．小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知用斜二测画法得到的水平放置的直观图为，已知是周长为6的正三角形，则的面积是（   ） A． B．4 C． D． 6．如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ） A． B．18 C． D．36 7．如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（    ） A．1 B． C． D． 8．在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件“第一次出现奇数点”，事件“两次点数之积为偶数”，事件“两次点数之和为5”，则（     ） A．事件是必然事件 B．事件与事件是互斥事件 C．事件包含事件 D．事件与事件是相互独立事件 10．已知复数，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点在第一象限；D．复数是方程在复数集内的解 11．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则是钝角三角形 B．若是锐角三角形，则 C．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 D．若，则 12．下列结论错误的是（     ） A．若向量，，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 B．若非零向量，满足，则与的夹角为60° C．若向量，满足，且，则在方向上的投影向量的模为5 D．若向量与的夹角为，，则的最小值为 三、填空题 13．已知，则的取值范围是 ． 四、解答题 14．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且． (1)求A； (2)若，求面积的最大值； (3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 15．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； (2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率． (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 16．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． (1)求和的值； (2)试求两人共答对3道题的概率． 17．如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，E为棱PA的中点，，，直线PA与BC所成的角的大小为. (1)证明：平面BDE； (2)证明：平面ABCD； (3)求二面角的正弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024-2025学年第二学期高一数学期末定心卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C D B B D ACD ACD 题号 11 12 答案 ABD ABD 1．D 【分析】根据条件作图，可得为等边三角形，为等腰三角形，为直角三角形，即，，再根据投影向量的概念求解即可. 【详解】如图，由，可得为的中点， 又因为为的外接圆圆心，所以， 又因为，所以， 所以为等边三角形，即， 为等腰三角形，即， 为直角三角形，， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故选：D.      2．D 【分析】利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标公式计算即可. 【详解】由，，可得， ，且， 则，， 则向量在向量上的投影向量为： ， 故向量在向量上的投影向量的坐标为. 故选：D. 3．C 【分析】设方差为，则，，即可判断AB，根据百分位数的定义即可判断C，利用极差的定义即可判断D. 【详解】对于A：，，…，的平均数为，故A错误； 对于B：，，…，的方差为，故B错误； 对于C：由，所以，，…，的25%分位数为，故C正确； 对于D：，，…，的极差为，故D错误. 故选：C. 4．C 【分析】利用事件相互独立性，互斥，根据恰好射中两个靶子的概率是建立等式，求出x，再利用事件相互独立性乘法公式进行求解． 【详解】记小明射中三个靶子分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且，， 恰好能射中两个靶子为事件，且两两互斥， 所以 ， 整理得，三个靶子都没射中为事件， 故， 故选：C． 5．D 【分析】根据斜二测画法规则及正弦定理，可得原三角形的底边及高. 【详解】因为，所以， 所以的面积是． 故选：D 6．B 【分析】取的中点，连接，得平面为平面截正方体的截面，由梯形的面积公式即可求解. 【详解】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为， 则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形， 过做，由，， 所以,， ，, 所以其面积为. 故选：B.    7．B 【分析】取的中点，则（或其补角）为异面直线与所成角，解三角形即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接、，易知，    所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即（或其补角）， 由题意可知正三棱柱的所有棱长都相等， 可设三棱柱的棱长都为，则，，， 因为，所以为直角三角形， 所以 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：. 8．D 【分析】根据三棱锥中的对棱相等模型将三棱锥补成长方体，求出半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球等价于长方体的外接球， 设长方体的长宽高分别为， 则，可得， 所以长方体的外接球半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为.    故选：. 9．ACD 【分析】列出事件A，B，C，AC的基本事件，再利用事件的基本关系判断. 【详解】解：事件A的基本事件有：， 事件B的基本事件有： ， ，， 事件C的基本事件有： ， 事件AC的基本事件有： ， A.事件是必然事件，故正确； B.因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； C.因为，所以事件包含事件，故正确； D.因为，所以 ， 所以事件与事件是相互独立事件，故正确； 故选：ACD 10．ACD 【分析】A选项，利用复数模长公式直接进行求解；B选项，直接计算即可；C选项，在复平面内对应的点坐标为，C正确；D选项，代入计算验证即可. 【详解】A选项，，A正确； B选项， ，B错误； C选项，复数在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限，C正确； D选项，， 复数是方程在复数集内的解，D正确. 故选：ACD 11．ABD 【分析】由正弦定理化角为边可得，结合余弦定理可得为钝角，由此可判断 A，根据条件可得，，，结合正弦函数性质及诱导公式判断B，根据正弦定理解三角形求，根据结果判断C，由条件结合余弦定理可得，根据正弦定理化边为角，化简可得，判断D. 【详解】设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，，， 对于A，因为，所以， 由余弦定理可得，又， 所以为钝角，为钝角三角形，A正确， 对于B，因为是锐角三角形， 所以，，， 所以，，， 因为函数在上单调递增， 所以，B正确； 对于C， 由正弦定理可得， 又，，， 所以，化简可得， 所以满足条件的角不存在， 所以满足这组条件的三角形不存在，C错误， 对于D，由余弦定理可得，又， 所以，故， 所以，又， 所以， 所以， 所以，故， 所以或，， 即或，， 又，，故， 所以，所以，D正确； 故选：ABD. 12．ABD 【分析】A选项，根据夹角为锐角得到且不反向共线，从而得到A错误；B选项，将和两边分别平方得，从而得到，得到夹角；C选项，计算出，利用投影向量的模长公式得到答案；D选项，利用向量数量积公式得到，从而求出最小值. 【详解】A选项，， 且，解得且，A错误； B选项，将和两边分别平方得， ，，即 则， 所以与的夹角为30°，B错误； C选项，，又，所以， 所以在方向上的投影向量的模为，C正确； 对于D，， 当时，有最小值，所以的最小值为，D错误． 故选：ABD 13． 【分析】据复数模的几何意义，即可求得的取值范围. 【详解】表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 因为， 所以的最小距离为，最大距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的坐标运算以及正余弦定理即可求出； （2）用表示，再根据得出，再结合基本不等式即面积公式即可； （3）利用正弦定理得出，，进而化简得出，再结合锐角三角形的信息即可求出. 【详解】（1）由题意得， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以. （2）由题意得， 则，得， 即， 得，等号成立时， 的面积为，则的面积取得最大值. （3）由正弦定理，得，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，得， 则，，所以， 故周长的取值范围为. 15．(1)平均数为69.5，第25百分位数为63 (2) (3) 【分析】（1）根据题意和频率分布直方图可列出关于的方程组，求出的值，然后根据平均数和百分位数的概念和公式求出其值即可. （2）先确定分层抽样比和人数，然后根据古典概型求取概率即可. （3）根据平均数和方差的概念和计算公式进行计算即可. 【详解】（1）由题意，根据频率分布直方图可知：，解得， 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以这100名候选者面试成绩的平均数为， 因为，设第25百分位数为，则， 那么，解得，故第25百分位数为63． （2）抽取的10人中，第四组为8人，第五组为2人，记第四组的人的编号为1到8，第五组的人的编号为9和10， 则样本空间 共45个样本点， 记两名面试者成绩都在第五组为事件A，则事件，故； （3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，且两组频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为： ， 故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是． 16．(1) (2)． 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3道题，只可能为甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，列式解得即可. 【详解】（1）由题意可得 即解得或 由于，所以． （2）设甲同学答对了道题乙同学答对了道题． 由题意得，，． 设甲、乙二人共答对3道题，则． 由于和相互独立，与互斥， 所以 所以甲、乙两人共答对3道题的概率为. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得线线垂直，利用面面垂直的性质定理，可得答案； （2）由面面垂直的性质以及线面角的定义，明确线面角，利用勾股定理以及锐角三角函数，可得答案. 【详解】（1）因为，为的中点，所以， 因为平面，平面平面， 平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）过作，连接， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 即为直线与平面所成角. 因为且，所以， 因为为等边三角形，又为的中点， 所以，，，, 则， 在直角三角形中，， 所以. 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）设与相交于点，连接，证明，利用线面平行的判定即可证明； （2）利用正弦定理得，再证明，最后利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）过点作，垂足为.过作，垂足为，连接，找到二面角即为，最后根据正切定义即可得到答案. 【详解】（1）连接，设与相交于点，连接. 四边形是菱形，为的中点. 是棱的中点，. 又平面平面， 平面. （2）直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角. ，，， 在中，由正弦定理得，， 即，解得. ，即，从而. 四边形是菱形，且，, 是等边三角形，从而. 又，. ，从而. 又平面平面， 平面. （3）过点作，垂足为. 过作，垂足为，连接. 由（2）平面，又平面， 平面平面. 又平面平面平面，平面. 平面平面，. 平面平面，平面. 平面，， 二面角的平面角是， 在Rt中，. ， 二面角的正切值是2. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$