福建省福州第十五中学2024-2025学年高一下学期数学期中考试定心卷

2024-2025学年第二学期高一数学期中考试定心卷 姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．已知复数，其中，则（     ） A．2 B． C．1 D． 2．设与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是半圆.若球的表面积为，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 4．如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（     ） A． B． C． D． 5．在中，，，其面积为，则等于（     ） A． B． C． D． 6．一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（    ） A． B．54 C． D．27 二、多选题 7．已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（     ） A．该圆锥的母线长为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面积为 D．该圆锥的侧面展开图的圆心角为 8．2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，，，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．在中，若，，，则下列正确的是（     ） A．； B．； C．； D． 10．在中， 角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则有一解 B．若，则有两解 C．面积的最大值为 D．若是锐角三角形，则的取值范围为. 11．在中，，，，点为边上一动点，则（    ） A． B．当为角的角平分线时， C．当点为边上点，时， D．若点为内任一点，的最小值为 12．如图所示，线段是的弦，其中，，点D为上任意一点，则以下结论正确的是（    ） A． B．的最大值是78 C．当时， D． 三、填空题 13．若，是夹角为60°的两个单位向量，与垂直，则 . 14．已知，复数，，且，若，则的最小值 . 15．“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家他历经个寒暑，三易其稿，完成了万字的巨著本草纲目，被后世尊为“药圣”为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点、、，分别测得雕像顶的仰角为、、，且米，则雕像高为 米 16．在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为 . （第16题图） （第15题图） 四、解答题 17．已知中，分别为角，C的对边，. (1)求B； (2)若，点D是AC的中点，且，求的面积. 18．在中，内角对应的边分别是，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积是，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 19．如图，在高为2的正三棱柱中，，D是棱的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024-2025学年第二学期高一数学期中考试定心卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C C A ABD BCD BD ACD 题号 11 12 答案 ABC AD 1．B 【分析】根据共轭复数的概念，利用复数的乘、除法运算求出复数，结合复数的几何意义计算即可求解. 【详解】由，则， 所以， 所以. 故选：B. 2．C 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为. 故选：C 3．C 【分析】根据题意结合圆锥侧面展开图的性质即可列式求解. 【详解】设球的半径和圆锥的底面半径为，则球的表面积为，解得. 设圆锥的母线长为，高为，因为圆锥的侧面展开图是半圆，所以， 故，所以 故选：C 4．C 【分析】根据正方形的外接圆半径即为球的半径可求解. 【详解】因为四边形为正方形，且边长为2. 所以正方形外接圆半径为：，即为已知半球的半径. 所以半球的表面积为：. 故选：C 5．C 【分析】由三角形面积公式可得，由余弦定理得，结合正弦定理即可求解. 【详解】由题意知，，即，解得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理（为三角形外接圆半径），可得： ， 故选：C. 6．A 【分析】先根据内切球得出三棱柱的高，再计算得出底面边长，进而计算得出表面积即可. 【详解】设球的半径为，因为，所以， 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切， 所以正三棱柱的高为，设正三棱柱底面边长为， 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径， 所以，所以， 则正三棱柱的表面积为. 故选：A. 7．ABD 【分析】根据圆锥轴截面的形状以及面积可得A正确，求出母线长以及底面半径可计算出B正确，C错误，由侧面展开图计算即可求出D正确. 【详解】设该圆锥的母线长为，如下图所示： 因为轴截面是面积为1的直角三角形，即为直角； 所以，解得，A正确； 设该圆锥的底面圆心为，在中，，所以， 则圆锥的高，所以该圆锥的体积， 侧面积为，B正确、C错误； 设该圆锥的侧面展开图的圆心角为，则， 所以，D正确． 故选：ABD． 8．BCD 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算法则，逐项计算判断即可得解. 【详解】对于A，因为四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定成立，故A错误； 对于B，，，所以，故B正确； 对于C，，，所以，故C正确； 对于D，连接BD，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以， 又，，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 9．BD 【分析】根据两角和与差的正弦公式求出，再由正弦定理求得，即可利用面积公式求解面积，结合选项逐一求解. 【详解】∵是三角形内角， ∴， ∴， 由得， ,故BD正确，AC错误， 故选：BD 10．ACD 【分析】根据正弦定理，即可判断AB，根据余弦定理，面积公式，结合基本不等式，即可判断C，根据正弦定理，转化为三角函数问题，即可判断D. 【详解】A.根据正弦定理，，即，得, 且，则，则有一解，故A正确； B.若，则，可得，得，则有一解，故B错误； C.由余弦定理，，当时等号成立， 所以，所以面积的最大值为，故C正确； D.由，则，，且，得， 所以，, 所以的范围是，故D正确. 故选：ACD 11．ABC 【分析】应用余弦定理求边长判断A；应用等面积法及三角形面积公式列方程求判断B；由，应用向量数量积的运算律求线段长度判断C；构建合适的直角坐标系，应用坐标法求数量积，进而确定最小值判断D. 【详解】A：，对； B：由题意， 所以，可得，对； C：由，则， 所以，对； D：构建如下图的直角坐标系，则，若， 所以， 则 ， 当时，在三角形内满足题设，此时的最小值为，错. 故选：ABC 12．AD 【分析】根据图形特征判断A，再应用数量积公式计算判断B，D，再根据向量垂直得出角的正弦值判断C. 【详解】点D为上一动点，可知当点A，C，D三点共线的时候，的值最大是，故选A； ，故选D； 当时，即，此时，点D在上有两个位置，如图所示，故不止一个答案，所以，排除C选项．    对于B选项，如图1所示，建立平面直角坐标系，则点D坐标设为，A点坐标是，B点坐标是，    则，，， 所以，当，即时，取得最大值72，因此B不正确； 故选：AD. 13．/0.25 【分析】利用平面向量数量积的运算律求解即可. 【详解】因为与垂直， 所以， 即， 即， 因为，所以，解得， 故答案为：. 14． 【分析】根据复数加减法则运算可得，再由二次函数性质计算可得当时取得最小值. 【详解】由可得，即可得； 因此； 当时，取得最小值. 故答案为： 15．30 【分析】利用解直角三角形得到三边长，再利用余弦定理得到五边关系，从而可求解高度. 【详解】    设雕像高为，设雕像底部为点，根据直角三角形正切函数可得： 再由，结合两个三角形的余弦定理可得： 因为， 所以 即， 解得：， 故答案为：. 16．9 【分析】先由题意得到，根据三点共线的充要条件，得到，再由基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以，又三点共线， 所以，所以， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化简得，进而由辅助角公式得，根据角的范围即可求解. （2）根据中线向量的表示形式及数量积的运算律得，将条件代入得，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）在中由正弦定理及已知条件，可得， 因为，所以，所以，所以， 所以.因为，所以. 所以，即； （2）因为点D是AC的中点，所以，即， 故． 又，，所以. 因为，所以，即， 则，. 所以的面积为:. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果； （2）由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从从而可得，即可得到结果； （3）由三角形的内角和将转化为关于的式子，再由三角函数的性质即可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即，因为，所以， 则，即. （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以， 则，所以， 则的周长为. （3）由可得， 则 ， 且为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以， 即的取值范围是. 19．(1) (2) 【分析】（1）直接用三棱锥的体积公式即可； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示,当三点共线时，取得最小值，然后用勾股定理求解即可. 【详解】（1） ， 所以； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． 当三点共线时，取得最小值，且最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$