福建省福州第十五中学2024-2025学年高一下学期数学校本练习28

2024-2025学年第二学期高一数学校本练习28 姓名：___________班级：___________考号：___________ A.基础题 1．设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，，，则 2．已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是（     ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，是边长为1的正三角形，，，，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．在正方体中，为线段上的动点，则直线与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在长方体中，，点分别是的中点，则下列说法正确的是（    ） A．此长方体的表面积为112；B．与是相交直线 C．与是异面直线；D．直线与平面相交 6．如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的体积为（   ） A． B．189 C． D．126 7．（多选）已知正方体的棱长为1，下列说法正确的是（    ） A． B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．到平面的距离为 8．（多选）已知圆台的上､下底面圆的半径分别为1和2，母线与底面所成的角为，则（     ） A．该圆台的母线长为2； B．该圆台的侧面积为 C．该圆台的体积为； D．存在球与圆台的两个底面和侧面都相切 9．如图，在三棱锥中，平面，若，，则二面角的大小为 . 10．三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是 . 11．如图，在正四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于是的中点． (1)求证：平面． (2)求异面直线与所成角的余弦值． 12．如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. B.提升题 13．如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，且A在平面上，在平面的同侧，M为BC的中点，若在平面上的射影是以A为直角顶点的，则AM与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ） A． B． C． D． 15．（多选）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的是（    ） A．B．C．D． 16．已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为 ． 17．如图，在多面体ABCED中，为等边三角形，．点为BC的中点，平面平面ABC. (1)求证：平面BCE； (2)设点为BE上一点，且，求二面角的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024-2025学年第二学期高一数学校本练习28》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 13 14 答案 D D C D C C ABD AC C D 题号 15 答案 AC 1．D 【分析】根据线面平行的判断定理可判断A的正误，根据线面平行的定义可判断B的正误，根据面面平行的性质可判断C的正误，根据面面平行的判定定理可判断D的正误. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或异面，故B错误； 对于C，若，，，则或异面，故B错误； 对于D，由面面平行的判定定理可证D成立， 故选：D. 2．D 【分析】过点作轴交轴于点，由三角形的面积公式求出正三角形的边长，利用正弦定理求出的长，即可得出顶点对应的点到轴的距离是，即可得解. 【详解】过点作轴交轴于点，如下图所示： 设正三角形的边长为，则，解得， 在中，，， ， 由正弦定理，即， 可得， 因此，顶点对应的点到轴的距离是. 故选：D. 3．C 【分析】作 平面 于点 ， 易得 ，设 ，利用勾股定理及余弦定理计算可得，进而利用等体积计算可得结果. 【详解】如图，作 平面 于点 ， 平面 ，则， 又因为， ，平面 ， 所以 平面 ， 因为平面 ， 所以， 因为为等边三角形，所以， 所以 . 连接 . 设 ，则， 因为 ， 所以 ，解得 . 在 中， ，所以 所以 . 由 ， 可得点 到平面 的距离为 . 故选：C 4．D 【分析】根据异面直线所成角定义结合正方体的几何特征求解. 【详解】正方体中，，所以为等边三角形. 因为，所以或其补角为直线与所成的角. 当点与线段的端点重合时，直线与所成的角取得最小值； 当点与线段的中点重合时，直线与所成的角取得最大值. 故直线与所成角的取值范围. 故选：D. 5．C 【分析】对于A求出长方体的表面积即可判断，对于B即证平面平面即可判断，对于C，根据异面直线定义即可判断，对于D即证直线平面即可判断. 【详解】此长方体的表面积为，故A错误； 连接，因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，又平面平面， 所以与无公共点，故B错误； 又因为平面，所以直线平面，故D错误. 因为平面平面， 所以与异面，故C正确. 故选：C. 6．C 【分析】如图，利用正弦定理求出，根据勾股定理求出三棱台的高，结合三棱台的体积公式计算即可求解. 【详解】如图，设上下底面的外接圆的圆心分别为，连接， 过作，垂足为D，则为三棱台的高. 由正弦定理得，解得， 所以，得， 又， 所以该三棱台的体积为. 故选：C 7．ABD 【分析】连接，由平面，可判断A，由，得为与所成的角，可判断，连接角与点，连接，得平面， 得到即为与平面所成的角，可判断C，由等体积可判断D. 【详解】连接，则， 在正方体中平面，在平面内， 所以，又为平面内两条相交直线， 所以平面，在平面内， 所以，A正确， 因为，所以为与所成的角， 又易知等边三角形， 所以， 所以与所成的角为，故B正确, 连接角与点，连接， ， 又平面，在平面内， 所以，又为平面两条相交直线， 所以平面， 所以即为与平面所成的角， 由, 所以，C错， ， 又， 设到平面的距离为， 由， 所以，D正确， 故选：ABD 8．AC 【分析】根据圆台的结构特征和表面积的有关计算、体积公式和台体与球的内、外接问题，结合选项依次计算即可. 【详解】对于A，设圆台上底面的半径为，下底面的半径为， 由于母线与底面所成的角为，则母线长，故A正确； 对于B，圆台的侧面积为，故B错误； 对于C，由题意有：，圆台的高， 所以该圆台的体积为，故C正确； 对于D，设梯形为圆台的一个轴截面， 假设存在球与圆台的两个底面和侧面都相切，如图所示： 设圆台上､下底面圆心分别为，则共线，且，， 连接，则分别平分， 故， 故，解得，故圆台的高为，与矛盾， 所以不存在球与圆台的两个底面和侧面都相切，故D错误. 故选：AC. 9． 【分析】由线面垂直的判定定理可得，，所以是二面角的平面角，最后由余弦定理得到二面角的大小. 【详解】因为平面，平面，平面， 所以，，所以是二面角的平面角. 又，则，即二面角的大小是. 故答案为：. 10． 【分析】构造长方体，求出长方体的外接球半径，最后利用体积公式即可. 【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体， 且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球， 又该长方体的外接球半径为， 则球的体积是. 故答案为： 11．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）作出异面直线所成的角，由余弦定理求解. 【详解】（1）因为四边形为正方形。 所以 又平面，平面， 所以平面. （2）取中点，连接,， 则，且， 即（或补角）为异面直线与所成角， 因为, 所以 即异面直线与所成角的余弦w值为. 12．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再根据中位线的性质，结合线面平行的判断定理，即可证明； （2）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明，，即可证明线面垂直； （3）利用等体积，求点到平面的距离. 【详解】（1） 如图，连接，设，连接， 因，，可得是平行四边形，则， 又，则得， 因平面，平面，故平面. （2）由（1）已得，因，故四边形为菱形，则， 因平面 平面则， 又平面，故平面. （3）在中，， 因平面 平面则 在中，，同理，，， 故满足勾股定理，则， 故 而 ，设点D到平面的距离为d， 由等体积法得 ， 得 = 故点D到平面的距离为 13．C 【分析】将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内，求解三角形，即可求解. 【详解】如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内． 由题意可知，， 设，则， 所以，所以． 由余弦定理可得， 则，即细绳的最短长度为． 故选：C. 14．D 【分析】推导求出线段，设，得到M到地面的距离为，根据余弦定理可得，表示出AM与平面所成角的正弦值，利用对勾函数可求出正弦值的取值范围. 【详解】 ， M为BC的中点， ∴，故， 设，则点M到地面的距离为， ，， ∵射影是以A为直角顶点的， ∴， 在直角梯形中，， 即，所以, 设AM与平面所成角为， 则, 所以. 故选：A. 15．BC 【分析】根据线面垂直的判定定理可得B，C的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断A，D的正误. 【详解】设正方体的棱长为2， 对于A，如图（1）所示，连接，则， 故（或其补角）为异面直线所成的角， 在，，所以，则与不垂直，故A错误； 对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接， 则，，即平面，平面， 所以， 又平面，则平面， ，故B正确； 对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得， 所以，故C正确； 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接， 则，又，故， 所以或其补角为异面直线所成的角， 又，，， 因为，故不是直角，所以与不垂直，故D错误. 故选：BC. 16． 【分析】要想最大，则两球都分别与正方体体对角线顶点相邻的三个面都相切求解. 【详解】当球和球相切，此时两球球心均在体对角线上， 且球与平面，平面，平面相切， 球与平面，平面，平面相切，此时取得最大值， 其中，，，， 故， 解得，故答案为： 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据面面垂直的性质得出平面ABC，再利用线面垂直的判定可证结论； （2）利用垂直关系找到二面角的平面角，结合余弦定理可求答案. 【详解】（1）证明：因为平面平面ABC，且平面平面， 平面ACED， 故平面ABC， 因为平面ABC，所以． 又为等边三角形，为BC的中点，故， 因为， 平面BCE， 故平面BCE. （2）由于平面平面BCE，故， 因为为等边三角形，为BC的中点，故， 所以为二面角的平面角. 因为， 故， 所以， 故二面角的余弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$