福建省福州第十五中学2024-2025学年高一下学期数学校本练习29

2024-2025学年第二学期高一数学校本练习29 姓名：___________班级：___________学号：___________ A.基础题 1．在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（     ） A． B． C． D． 2．已知正四棱台的体积为，且，则正四棱台的高为（     ） A． B． C．2 D． 3．《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作，成书于公元一世纪左右，书中商功章记载有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高三丈，问积几何？”．大致意思是：现有一个圆台，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈，高为3丈，则它的体积是（    ）立方丈． A． B． C． D． 4．已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 5．已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（    ） A． B． C．2 D． 7．如图，四棱锥中，，，，⊥，则该四棱锥的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值为（     ） A．1 B． C． D． 8．如图，点在以为直径的圆的圆周上，平面，则二面角的平面角为（     ） A． B． C． D． 9．（多选）在边长为4的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得，则（      ） A． B．直线与平面所成角为 C．四面体的体积为4 D．二面角的正弦值为 10．（多选）已知、、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，则（    ） A．由，，，得与平行或者异面 B．由，，，得或 C．由，，得 D．由，，，，得 11．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑的体积问题.某工程要完成一个形如直四棱柱的“堑”型沟渠的土方作业（如图），其中与平面所成的角均为，，米，米，米，则需要挖土 立方米. 12．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为 . （第11题图） （第12题图） 13．如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，为中点， (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． B.提升题 14．规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为．若正四棱锥的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为（      ） A． B． C． D． 15．如图1，在中，，，，、分别在AB，AC上，且.将沿翻折得到图2，其中.记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（       ） A． B．直线与所成角的正弦值为 C．平面 D． 16．如图，四面体中，，．若平行于直线和的平面分别和棱AB，AC，CD，BD交于点E，F，G，H．有以下四个结论： ①四边形的周长为定值； ②四边形的面积为定值； ③四边形为矩形； ④四边形的面积有最大值1． 则其中正确的结论 ． 17．如图， 已知是平面外一点，平面，. (1)证明：平面； (2)过点作垂直于，证明：； (3)若，，求点到平面的距离. C.拓展题 18．如图1，在梯形中，，且，现将沿折起，将沿折起，使重合为点，得到四棱锥，如图2. (1)证明：平面平面； (2)点满足，求平面截此四棱锥所得截面的面积； (3)求直线与平面所成角的正切值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024-2025学年第二学期高一数学校本练习29》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A D A C C ACD ABC 题号 14 15 答案 D AC 1．B 【分析】在原图形中，由勾股定理求出，根据斜二测画法得到，，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】根据题意，中，，，， 由勾股定理得， 在直观图中， ，， 故的面积. 故选：B 2．A 【分析】根据正四棱台的体积公式，结合已知条件求出正四棱台的高.涉及的公式为正四棱台体积公式（其中为体积，为高，为下底面积，为上底面积）. 【详解】已知，，因为正四棱台的底面为正方形，可得下底面积，上底面积. 已知正四棱台体积，将，代入正四棱台体积公式，可得. 解得. 即正四棱台的高为. 故选：A. 3．D 【分析】分别计算圆台上下底面圆的半径，再计算体积. 【详解】依题意，下底半径丈，上底半径丈，高丈， 所以它的体积（立方丈）. 故选：D 4．A 【分析】根据圆台母线长与侧面展开图扇环内外圆半径的关系得到一个等式，再利用圆台上下底面圆周长与扇环内外圆周长的比例关系，进而求出圆台上下底面圆周长之差. 【详解】设圆台的侧面展开图扇环的内圆半径为，外圆半径为，（） 则圆台母线长为， 设圆台上、下底面圆半径分别为，（）， 则，，∴， 圆台上下底面圆周长之差的绝对值为. 故选：A. 5．D 【分析】依题意将三棱锥嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为，利用勾股定理得到方程组求出，再求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积； 【详解】根据题意：将三棱锥嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线， 设长方体交于一个顶点的三条棱长为，该三棱锥的外接球的半径为，如图： 则有， 所以， 所以，即， 所以球的体积为， 故选：D. 6．A 【分析】连接交于 ，连接，由线面平行的性质可得，再利用平行线分线段成比例定理列式求解． 【详解】    连接交于 ，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为为的中点，所以， 所以，所以. 故选：A 7．C 【分析】先通过勾股定理逆定理得到线线垂直，证明出⊥平面，并根据勾股定理得到相关线段长度，再依据最小角定理确定最小线面角，最后求出该角的正弦值. 【详解】因为，， 所以，由勾股定理逆定理得⊥， 同理可得⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为，⊥， 由勾股定理得， 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 由勾股定理得， 根据最小角定理，直线和下底面的夹角最小. ， 故选：C. 8．C 【分析】首先根据已知条件找出二面角的平面角，然后根据等腰直角三角形求出平面角的大小，从而得到答案. 【详解】， 点在以为直径的圆的圆周上， 平面平面，, 又平面平面， 因为平面，所以, 是二面角的平面角， 又. 故选：C. 9．ACD 【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，即可判断A，由线面角的定义即可判断B，由等体积法即可判断C，由二面角的定义即可判断D. 【详解】 对于A，由题意，，又，平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确； 对于B，平面，平面，所以平面平面， 且面面，因为为等边三角形，在平面内过作， 则平面，所以和平面所成角为，故B错误； 对于C，，所以面积为， 因为平面，所以四面体， 故C正确； 对于D，过作交于，因为平面，平面， 所以，且，平面， 所以平面，且平面，所以， 所以是二面角的平面角， 在等腰三角形中，由等面积法可得 即，在中，，故D正确； 故选：ACD 10．ABC 【分析】根据面面平行推出、无公共点，可判断A选项；根据线面位置关系可判断B选项；根据线面位置关系和线面平行的性质可判断C选项；利用面面、线面位置关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，由，，可知，直线、无公共点，故与平行或者异面，A对； 对于B选项， 由，可得，因为，所以或，B对； 对于C选项，因为，过作平面，使得，则， 因为，，则，故，C对； 对于D选项，因为，，，则或，故， 若，则、平行、相交或异面，D错. 故选：ABC. 11． 【分析】根据条件得四边形为等腰梯形，再根据棱柱的体积公式计算即可. 【详解】因为与平面所成角均为，且, 所以四边形为等腰梯形， 因为, 所以等腰梯形的高， 故， 所以直四棱柱体积. 故答案为：. 12． 【分析】根据题意作出截面图，设球的半径为，根据直角三角形的性质得，，利用列式，化切为弦利用辅助角公式求得，代入球的体积公式即可求解. 【详解】如图， 设球的半径为，，， ，， ，即该球体建筑物的体积为. 故答案为： 13．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，先证四边形BCEF是平行四边形，可得CEBF，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）取PB的中点H，连接AH，利用线面垂直的判定定理与性质证明AH⊥平面PBC，确定点A到平面PBC的距离为AH，再求之即可． 【详解】（1）取PA的中点F，连接EF，BF， 因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD＝1， 又BC∥AD，AD＝2BC＝2，所以EFBC，EF＝BC， 则四边形BCEF是平行四边形，所以CEBF， 又CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB， 所以CE平面PAB． （2）取PB的中点H，连接AH， 因为PA＝AB，所以AH⊥PB， 因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BC， 因为BCAD，AB⊥AD，所以AB⊥BC，又PA∩AB＝A，PA、AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB，又AH⊂平面PAB， 所以BC⊥AH，又PB∩BC＝B，PB、BC⊂平面PBC， 所以AH⊥平面PBC，即点A到平面PBC的距离为AH. 在等腰直角△PAB中，AHPB， 故点A到平面PBC的距离为． 14．D 【分析】利用正四棱锥的结构特征得到为侧面与底面所成的角，进而利用勾股定理推得正四棱锥的每个侧面均为正三角形，从而利用“曲率”的定义即可得解. 【详解】如图，连接，，设，连接，则平面， 取的中点，连接，， 则由正四棱锥的结构特征可知， 所以为侧面与底面所成的角， 设，则， 在中，， 所以，又，所以， 所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形， 所以顶点的每个面角均为， 故正四棱锥在顶点处的曲率为. 故选：D. 15．AC 【分析】根据勾股定理和线面垂直的判定定理、性质定理可判断A，根据，确定为异面直线与所成角的平面角，求解后可判断B；确定为的中点，为的中点，可得，进而得平面，从而可判断C；根据球的表面积公式计算即可判断D. 【详解】选项A：由图1，在直角中，，， 因为，所以，且， ，，，， 由图2，在直角中，， 因为，且，所以， 所以在直角中，，又， 所以，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又平面，所以； 在中，，，，所以， 即，又，平面，所以平面，故A正确； 选项B：因为，所以即为所求， 因为平面，平面，所以， 所以在直角中，，故B不正确； 选项C：由上可知平面，，则的中点到距离相等， 因为平面，，则的中点到距离相等，所以为的中点， 同理可知为的中点，所以，平面，平面，所以平面，故C正确； 选项D：由选项C可知：球的半径，球的半径， 所以，故D不正确. 故选：AC. 16．①③④ 【分析】根据线面平行的性质定理判断③选项；由相似三角形性质判断①选项；借助三角形面积公式及基本不等式判断②、④选项. 【详解】因为平面，平面平面，平面， 所以，同理可证，所以； 又平面，平面平面，平面， 所以，同理可证，所以； 所以四边形为平行四边形，又，则，所以四边形为矩形，所以③正确； 由相似三角形的性质得，所以，，所以， 所以四边形的周长为定值，所以①正确； 因为，当且仅当时取等号， 所以四边形的面积有最大值，所以②错误，④正确. 故答案为：①③④. 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，结合，即可得证； （2）由线面垂直的性质得到，即可证明平面，从而得证； （3）在平面内过点作交于点，即可证明平面，再求出，即可得解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以； （3）在平面内过点作交于点， 因为，，，所以， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. 18．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合题意可得，进而得到平面，进而求证即可； （2）设平面与的交点为，则平面截此四棱锥所得截面为四边形，进而证明平面，结合线面平行的性质可得，可得，再证明平面，可得，进而求解截面的面积； （3）先证明平面，可得为直线与平面所成的角，进而求解即可. 【详解】（1）证明：在折起后的四棱锥中，， 因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）设平面与的交点为， 则平面截此四棱锥所得截面为四边形， 因为平面平面， 则平面，又因为平面平面平面， 所以，所以，因为，所以， 因为，平面， 所以平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以， 所以截面面积为. （3）因为在梯形中，，所以， 又， 所以，则， 由（1）得平面，因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 又因为， 所以， 即直线与平面所成角的正切值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$