平面向量数量积的应用讲义-2026届高三数学一轮复习

平面向量数量积的应用 课前学习任务 一、必备知识 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，那么∠AOB称为向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是____． 2．投影向量 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，且a在b上的投影向量为|a|cos θ＝·b，θ为a与b的夹角． 3．平面向量的数量积 已知两个非零向量a，b，θ为a，b的夹角，那么数量|a||b|cosθ叫做向量a，b的数量积，记作a·b． 4．平面向量数量积的性质 (1) 若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cosθ(θ为a，e的夹角)； (2) a⊥b⇔a·b＝0； (3) 当向量a，b同向时，a·b＝|a||b|；当向量a，b反向时，a·b＝____，特别地，a·a＝|a|2，|a|＝； (4) cosθ＝(θ为a，b的夹角)； (5) |a·b|≤____． 5．平面向量数量积的运算律 (1) 交换律：a·b＝b·a； (2) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c； (3) 对任意λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)． 6．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1) 数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝____； (2) 模：|a|＝＝____； (3) 夹角：cosθ＝＝____； (4) 对两非零向量a，b，a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔____； (5) |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·． 7．平面向量数量积运算的常用公式 (1) (a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2) (a±b)2＝a2±2a·b＋b2． 8．有关向量夹角的两个结论 (1) 两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2) 两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 二、练基础 1．(人A必二P36练习T1)已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则|a|＝____，|b|＝____，a·b＝____． 2． (人A必二P61复习参考题T13(4))已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 3．(人A必二P22练习T1)已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，向量a与b的夹角为，向量b与c的夹角为，则(a·b)c＝____；a(b·c)＝____． 4．已知|a|＝1，b＝(1，)，a⊥(a＋b)，则向量a在向量b上的投影向量为(　　) A．(－1，－) B．(－，－1) C． D． 5．如图，已知A，B，C是单位圆O上的三点，且＝＋，则·＝____． 课堂核心考点 考点一 平面向量的数量积运算 例1　(1) 已知正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，则·＝(　　) A． B．3 C．2 D．5 (2) 设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝____． 变式1　(1) 已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2) 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·＝____，·的最大值为____． 考点二 投影向量 例2　(1) 已知|b|＝2|a|，若a与b的夹角为60°，则2a－b在b上的投影向量为(　　) A．b B．－b C．－b D．b (2) 已知向量a＝(2,3)，b＝，且(a＋2b)∥a，则向量b在向量a上的投影向量的坐标是____． 变式2　(多选)已知单位向量a和b满足a·b＝－，向量b在向量a上的投影向量为c，向量a在向量b上的投影向量为d，则下列结论正确的是(　　) A．|c|＝|d| B．a·b＝a·c C．d＝b D．c·d＝－ 考点三 数量积的应用 视角1　向量的模长问题 例 3－1　(1) 已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝____． (2) 已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 变式 3－1　已知平面内的向量a在向量b上的投影向量为b，且|a|＝|b|＝1，则|a－2b|＝(　　) A． B．1 C． D． 视角2　夹角问题 例 3－2　(1) 已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2) 已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，若2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是____． 变式 3－2　已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝|b|＝1，|c|＝，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 极化恒等式 在△ABC中，若O是边BC的中点，则·＝||2－||2＝||2－||2． 例4　若点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则·的最大值为(　　) A．2 B． C．3 D． 课后提升练 1．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则(a＋b)·c＋a·b＝(　　) A．0 B．3 C．6 D．12 2．已知向量a，b满足|2a＋b|＝2，|a|＝1，|b|＝2，则向量a，b的夹角为(　　) A． B． C． D． 3．在菱形ABCD中，若|－|＝||，且在上的投影向量为λ，则λ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 4．(多选)已知向量a＝(1，)，b＝(cosα，sinα)，则下列结论正确的是(　　) A．若a∥b，则tanα＝ B．若a⊥b，则tanα＝－ C．若a与b的夹角为，则|a－b|＝3 D．若a与b方向相反，则b在a上的投影向量的坐标是 答案解析 课前学习任务 1. [0，π]　 4. (3) －|a||b|　(5) |a||b| 6. (1) x1x2＋y1y2　(2) (3) 　(4) x1x2＋y1y2＝0 1. 5　　－7　【解析】 |a|＝＝5，|b|＝＝，a·b＝(－3)×5＋4×2＝－7. 2. C　【解析】 因为e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，所以|e1|＝1，|e2|＝1，e1·e2＝.又a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e＝－6＋＋2＝－，|a|＝＝＝，|b|＝＝＝，所以cos 〈a，b〉＝＝－，所以a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为120°. 3. c　3a　【解析】 (a·b)c＝|a||b|cos c＝1×2×c＝c，a(b·c)＝a·|b||c|cos ＝2×3×a＝3a. 4. D　【解析】 由题知|b|＝＝2，与向量b同向的单位向量为＝.因为a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋2cos 〈a，b〉＝0，得cos 〈a，b〉＝－，所以|a|cos 〈a，b〉＝－，所以向量a在向量b上的投影向量为－(，)＝. 5. －　【解析】 因为＝＋，所以2＝2＋2＋2||·||·cos ∠BOC，解得cos ∠BOC＝－.又∠BOC∈[0，π]，所以∠BOC＝，故△OAB，△OAC均是边长为1的正三角形，所以·＝1×1×cos ＝－. 课堂核心考点 例1　(1) B　【解析】 方法一：以{，}为基底向量，可知||＝||＝2，·＝0，则＝＋＝＋，＝＋＝－＋，所以·＝(＋)·(－＋)＝－2＋2＝－1＋4＝3. (例1(1)) 方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得＝(1，2)，＝(－1，2)，所以·＝－1＋4＝3. 方法三：由题意可得ED＝EC＝，CD＝2，在△CDE中，由余弦定理可得cos ∠DEC＝＝＝，所以·＝||||cos ∠DEC＝××＝3. (2) 11　【解析】 (2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos 〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11. 变式1　(1) D　【解析】 因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，解得x＝2. (2) 1　1　【解析】 方法一(投影法)：如图(1)，设向量，的夹角为θ，则·＝·＝||·||cos θ.由图可知，||cos θ＝||，所以原式＝||2＝1.要使·最大，只要使向量在向量上的投影向量的长度达到最大即可．因为在向量上的投影向量的长度最大为||＝1，所以(·)max＝||2＝1. 图(1) 　　　图(2) (变式1(2)) 方法二(基向量法)：因为＝＋且⊥，所以·＝(＋)·＝||2＝1，·＝(＋)·＝·＝||||＝||，所以要使·最大，只要||最大即可，显然随着点E在AB边上移动，||max＝1，故(·)max＝1. 方法三(坐标法)：以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图(2)所示，由图可知E(x，1)，0≤x≤1，所以＝(x，1)，又＝(1，0)，所以·＝x.因为0≤x≤1，所以(·)max＝1. 例2　(1) B　【解析】 因为|b|＝2|a|，a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos 60°＝|a|×2|a|×＝|a|2，则(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a|2－4|a|2＝－2|a|2，所以2a－b在b上的投影向量为＝＝－b. (2) 　【解析】 由题意知a＋2b＝(2＋2m，6)，因为(a＋2b)∥a，所以2×6＝3(2＋2m)，解得m＝1，所以b＝，所以b在a上的投影向量为a＝×(2，3)＝. 变式2　ABD　【解析】 因为a和b为单位向量，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝－.因为向量b在向量a上的投影为|b|cos 〈a，b〉＝－，所以向量b在向量a上的投影向量为c＝－a.又因为向量a在向量b上的投影为|a|cos 〈a，b〉＝－，所以向量a在向量b上的投影向量为d＝－b，故C错误；|d|＝＝，|c|＝＝，故A正确；a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝－，a·c＝a·＝－，故B正确；c·d＝·＝a·b＝－，故D正确． 例3-1　(1) 　【解析】 因为|a＋b|＝|2a－b|，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为|a－b|＝，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝. (2) B　【解析】 因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b.又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以a2＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，解得|b|＝. 变式3-1　A　【解析】 因为b＝b，所以＝.又|a|＝|b|＝1，所以cos 〈a，b〉＝⇒〈a，b〉＝，所以|a－2b|2＝(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4×1×1×＋4＝3，所以|a－2b|＝. 例3-2　(1) D 　【解析】 方法一：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，等式两边同时平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，所以a·b＝0.又a－c＝a－(－a－b)＝2a＋b，b－c＝b－(－a－b)＝a＋2b，所以(a－c)·(b－c)＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且|a－c|＝|2a＋b|＝＝＝，|b－c|＝|a＋2b|＝＝＝，所以cos 〈a－c，b－c〉＝＝. (例3-2(1)) 方法二：因为|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，所以分别以a，b，c为边构造等腰直角三角形OAB，如图所示，以O为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则a＝＝(1，0)，b＝＝(0，1)，c＝＝(－1，－1)，则a－c＝(2，1)，b－c＝(1，2)，所以|a－c|＝|b－c|＝，所以cos 〈a－c，b－c〉＝＝＝. (2) ∪　【解析】 因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0，所以4k－6－6<0，解得k<3.若2a－3b与c反向共线，则＝－6，解得k＝－，此时夹角不是钝角．综上所述，k的取值范围是∪. 变式3-2　B　【解析】 由题意知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝|b|＝1，|c|＝，故a＋b＝－c，所以(a＋b)2＝c2，所以a2＋2a·b＋b2＝3，所以a·b＝，则cos 〈a，b〉＝＝.又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝. 例4　C　【解析】 如图，分别取AB，DE中点Q，R，连接PQ，QR，则由题知QA＝，BD2＝DC2＋BC2－2DC×BC×cos ∠BCD＝1＋1－2×1×1×cos 120°＝3，即BD＝，所以QD＝＝＝.由图可知当点P运动到点D或点E时PQ最大，所以·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝2－≤2－＝3，所以·的最大值为3. (例4) 　　　 (第1题) 课后提升练 1. D　【解析】 以两向量公共点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(4，2)，b＝(4，－2)，c＝(0，2)，则(a＋b)·c＋a·b＝(8，0)·(0，2)＋(4，2)·(4，－2)＝12. 2. B　【解析】 由|2a＋b|＝2，得|2a＋b|2＝4a2＋b2＋4a·b＝12.又|a|＝1，|b|＝2，所以a·b＝1.设向量a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，所以a·b＝|a||b|cos θ＝1×2cos θ＝1，可得cos θ＝，所以θ＝. 3. B　【解析】 由|－|＝||，得||＝||，又四边形ABCD是菱形，故△ABD是正三角形，∠BAD＝，·＝||||cos ＝||2，因此在上的投影向量为＝，所以λ＝. 4. ABD　【解析】 对于A，由a∥b，得sin α＝cos α，因此tan α＝，故A正确；对于B，由a⊥b，得sin α＋cos α＝0，因此tan α＝－，故B正确；对于C，若a与b的夹角为，又|a|＝2，|b|＝1，所以a·b＝2×1×＝1，因此|a－b|＝＝，故C错误；对于D，若a与b方向相反，则a·b＝－2，b在a上的投影向量为a＝－a＝，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$