专项35 正反比例应用题-小升初奥数思维提升讲义

经典奥数系列——正、反比例 13种类型讲、练、测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌ 1.如果两种量成正比例，则一种量的任意两个数值的比等于另一种量的两个对应数值的比。 2.如果两种量成反比例，则一种量的任意两个数值的比等于另一种量的两个对应数值的反比。 3.应用正反比例性质解答应用题时，要特别注意题目中某一数量是否一定，然后再确定是正比例还是反比例。 4.成正、反比例量的性质，在解决复杂的问题时，可以使解答由繁变简，化难为易，同时还可以沟通分数比例和按比例分配等各种解法的联系。 5.比例问题反映了不同数量的关系,同学们只要善于把各种数量关系以及分数、整数、比等知识充分沟通联系起来,就能运用这种新方法灵活地解决实际问题。 【复比问题】 小军行走的路程比小红多,而小红行走的时间却比小军多,求小军与小红的速度比。 【解析】分别求出路程比、时间比后，再运用数量关系求出速度比。 （1）小军行走的路程比小红多,得“小军与小红行走的路程比（1+）:1=5:4” （2）小红行走的时间却比小军多,得“小红与小军行走时间比（1+）：1=11:10” （3）小军与小红的速度比（5÷10）：（4÷11）=11:8 【详解】 路程比：（1+）:1=5:4 时间比：1：（1+）=10:11 速度比：（5÷10）：（4÷11）=11:8 【答案】11:8 1.小明和小芳各走一段路,小明走的路程比小芳多,小芳用的时间比小明多,求小明和小芳的速度比。 2.甲走的路程比乙多,乙用的时间比甲多,求甲、乙的速度比。 3.一个人步行每小时走5 千米,如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟,求骑自行车与步行速度的比是多少? 【分数问题】 的分子减去一个数，分母加上这个数后，分数值是，求这个数。 【解析】 （1）分子减去一个数，分母加上这个数，所以分子与分母的和不变； （2）原来分数的分子与分母的和为1992+1993=3985 （3）现在分数的分子与分母的和为2+3=5 （4）缩小的倍数3985÷5=797 （5）现在分数的分子应该是2×797=1594 （6）分子减去的这个数为1992-1594=398 【详解】 （1992+1993）÷（2+3）=797 1992-2×797=398 【答案】398 1.的分子和分母同时加上同一个自然数,分数值是,求这个数。 2.的分子与分母都加上同一个质数，分数变为,这个质数是多少? 3.分数的分子减去一个数，分母加上这个数后，分数值变为，这个数是多少? 【单比问题】 一批零件,单独加工师傅10小时完成,徒弟15小时完成,现在师徒同时加工,完成任务时,师傅加工了360个,这批零件共多少个? 【解析】 （1）师傅与徒弟单独完成同一批零件所用的时间分别为10小时、15小时 （2）师傅与徒弟工作效率之比为：=3:2 （3）同时加工这批零件，师徒二人所用时间相等 （4）时间一定，师徒二人所完成的工作量与工作效率成正比例 （5）所以工作量之比等于工作效率之比3:2 （6）这批零件个数：360÷3×（3+2）=600（个） 【详解】 ：=3:2 360÷3×（3+2）=600（个） 【答案】600 1. 快车从甲站开往乙站,需6小时,慢车从乙站开往甲站需10小时,两车同时从两站相对开出,相遇时快车行了250千米,求两站间的距离。 2. 一批零件,甲独做3小时完成,乙独做4小时完成,现两人合做,完成任务时,甲完成了424个,这批零件总共多少个? 3. 一批货物,甲车单独运8小时运完,乙车单独运10小时运完,现两车合运,完成任务时,乙车运了56吨,这批货物共多少吨? 【调表问题】 在某天的中午12时，校准了A、B、C三个时钟。当天，时钟A显示下午6时的时候,时钟B显示为下午5时50分，时钟B显示下午7时的时候，时钟C显示为下午7时20分。当时钟C显示晚上11时的时候，时钟A和B显示的时间分别为多少? 【解析】扩比 （1）A:B=（6×60）：（5×60+50）=360:350=36:35=108:105 （2）B:C=（7×60）：（7×60+20）=420:440=21:22=105:110 （3）A:B:C=108:105:110 （4）11时=11×60=660（分钟） （5）660÷110=6（分钟） （6）A：6×108=648（分钟）=10时48分 B：6×105=630（分钟）=10时30分 【答案】10时48分，10时30分 1. 甲、乙两人各加工同样多的零件,同时加工,当甲完成任务时,乙还有150个没有完成,当乙完成任务时,甲可以超额完成250个，这批零件共多少个? 2. 甲、乙两车同时从A、B两地相向而行当甲到达B地时,乙车距A地60千米,当乙车到达A地,甲车超过B地80千米,A、B两地相距多少千米? 3. 一本书,小明第一天读了总页数的，第二天读的页数与第一天读的页数之比为6:5,还剩下64 页未读,全书一共有多少页? 【方程问题】 甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，经过8小时相遇后，甲车继续向B地开出，还需4小时。已知甲每小时比乙快35千米，求A、B两地间的距离。 【解析】 解：设乙的速度为每小时x千米。 8（x+x+35）=（8+4）×（x+35） 16x+280=12x+420 4x=140 x=35 （8+4）×（x+35）=12×（35+35）=12×70=840（千米） 或差比方法 （1）甲车4小时的路程相当于乙车8小时的路程； （2）甲速：乙速=：=2:1； （3）相遇时间一定，甲、乙所行的路程与速度成正比例； （4）全程：35×8÷（2-1）×（2+1）=840（千米） 【答案】840千米 1.小明家到书城3.5千米,有一天他步行去书城,前的路程快跑,速度是步行的4倍，后一段路程慢跑,速度是步行的2倍,这样比平时早35分到书城,小明步行的速度是多少? 2. 解放军部队以每小时6千米的平均速度前进,在行军中排尾的通信员以每小时7.5千米的平均速度追赶排头,当赶上排头后,立即返回,当通信员到达排尾时,队伍前进了0.4千米,求通信员从排尾追赶上排头走了多少路? 3. 用弹簧秤称物体,称2千克的物体弹簧长12.5厘米,称6千克的物体弹簧长13.5厘米,那么不称物体时弹簧长多少厘米? 【复比与差比综合】 甲、乙两人一起学习外语,甲每天比乙多记11个单词,40天中甲因事停学15天，结果所记的单词是乙的2倍，40天中乙记了多少个单词? 【解析】 （1）甲、乙时间比为（40-15）：40=25:40=5:8 （2）甲、乙完成的工作量之比为2:1 （3）甲、乙学习效率之比为（2÷5）：（1÷8）=16:5（复比） （4）每份的个数为11÷（16-5）=1（个）（差比） （5）乙每天所记单词量为1×5=5（个） （6）乙40天所记单词总量为5×40=200（个） 【答案】200个 1. 甲、乙两人合做一批零件,20天完成,甲每天比乙多做3个,乙中途休息5天,于是甲完成的是乙的2倍,甲做了多少个? 2. 甲、乙两人合做一批零件,24天完成任务,已知甲每天比乙多做5个,而乙在中途请假9天,于是乙完成的零件数恰好是甲的一半,乙做了多少个? 3. 做同一种零件,张师傅每小时做120个,李师傅做1个的时间比张师傅多用1分钟,李师傅的工作效率是张师傅的几分之几? 【复比与和比综合】 某校买来A、B两种球共100个,已知A球每个30元,B球每个20元,且A、B两种球所用钱数一样,求A、B球各买了多少个? 【解析】 （1）A、B球单价之比=30:20=3:2 （2）A、B球总价之比=1:1 （3）A、B球数量之比=（1÷3）：（1÷2）=2:3 （4）每份球数量=100÷（2+3）=20（个） （5）A球数量：20×2=40（个） B球数量：100-40=60（个） 【答案】40个，60个 1. 仓库购来黄沙和水泥共 240吨,黄沙每吨35 元,水泥每吨25元,购来黄沙和水泥的总价是一定的,购来黄沙、水泥各多少吨? 2. 甲乙两车同时从两地相对开出,在离中点15千米处相遇,已知甲、乙两车的速度比是7:6.则两地相距多少千米? 3. 小红带18元去买煤,由于煤降价，结果这些钱比原来多买10千克煤,原来每千克煤是多少元? 【反比例】 有160个零件,平分给甲、乙两车间加工,乙车间比甲车间迟3小时开始加工,所以比甲车间晚20分钟完成任务,已知乙车间的生产效率是甲车间的3倍,问甲、乙两个车间每小时各加工多少个零件? 【解析】 （1）甲、乙工作效率之比=1：3 （2）甲、乙工作时间之比=3:1（工作总量一定，工作时间与工作效率成反比例） （3）时间之差=3小时-20分钟=160分钟 （4）甲工作时间=160÷（3-1）×3=240（分钟）=4（小时） （5）甲工作效率=160÷2÷4=20（个/小时） 乙工作效率=20×3=60（个/小时） 【答案】20个，60个 1. 甲、乙两人同时分别从A、B两地相向而行,甲走到全程的地方与乙相遇,已知甲每小时走4.5千米,乙2小时行全程的,求A、B间的路程。 2. 甲、乙两人步行从A、B两地同时出发如果相向而行,0.5小时相遇,此时甲、乙所行路程比是7:5,如果他们同向而行,那么甲追上乙需几小时? 3. 小王骑车从甲地出发,速度不变,向东到A镇与向西到B镇所用时间之比是5:3,已知从甲地到A镇比B镇远5千米,求A、B两地的距离。 【正比例】 货车的速度是客车的,两车分别从甲、乙两站同时相向而行,在离两站中点3千米处相遇,相遇后,两车分别以原来的速度继续前进,到达乙、甲两站,问当客车到达甲站时,货车离乙站还有多远? 【解析】 （1）货车与客车速度比=9:10（时间一定，路程与速度成正比例） （2）货车与客车路程比=9:10 （3）路程差=3×2=6（千米） （4）全程=6÷（10-9）×（10+9）=114（千米） （5）货车离乙站距离=114-114÷10×9=11.4（千米） 【答案】11.4千米 1.A、B两台机床加工一批零件,A的工作效率是B的1倍,现在两台机床一起工作2.5小时后,剩下总数的没有完成,这时因A发生故障,剩下的零件由B单独完成,这样B共加工了900个零件,求B每小时加工多少个零件? 2. 敌军在早晨5时从距我军7千米的驻地开始逃跑,与此同时,我军出发追击,速度是敌军的1倍,结果在7时30分追上,我军的速度是多少? 3. 师徒两人分别接受3000个零件和2400个零件的加工任务,师傅做6个零件的时间徒弟能做5个零件,徒弟完成任务比师傅少用1小时,师傅完成任务用了几小时? 【正反比例综合】 客车和货车分别从甲、乙两地同时相对而行,经过若干小时两车相遇,相遇后又行了8小时货车到达甲地,这时客车已过乙地，又向前行了甲、乙两地距离的25%，客车和货车从出发到相遇用了多少小时? 【解析】 （1）客车与货车所行路程之比为（1+25%）：1=5:4，时间一定，速度和时间成正比例；所以两车速度比为5:4（正比例） （2）当路程一定时，速度和时间成反比例，所以两车的时间比4:5 （3）货车8小时，客车只需要8÷5×4=6.4（小时） （4）相遇时间为6.4小时 【答案】6.4小时 1. 加工一批零件,如果每小时加工28个,可比计划提前10小时完成,如果每小时加工20个,可比计划提前6小时完成,这批零件共有多少个? 2. 甲、乙两人各加工130个零件,甲比乙提前3小时开工,结果同时结束,甲、乙两人工作效率的比是3:5,甲每小时加工多少个零件? 3. 甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出,相遇后,甲车又行6小时到达B地,这时乙车离A地还有全程的10%,两车从出发到相遇用了多少小时? 【相遇后变速行程】 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行。出发时,甲与乙的速度比是4:3,相遇后,甲的速度增加10%,乙的速度增加20%，这样当甲到达B地时,乙离A地还有17千米,那么A、B两地相距多少千米? 【解析】 （1）出发时，甲和乙的速度比是4：3 （2）相遇后两人的速度比是（4+4×10%）：（3+3×20%）=11：9 （3）把两地间的距离看作单位“1”，当相遇后，甲到达B地时，甲就行驶了全程的 =， （4）根据时间一定，路程和速度成正比可得：相遇后乙就行驶了甲相遇后行驶路程的 ，即×= （5）相遇地点距A站的距离是全程的 （6）17千米占两地间距离的分率-=，依据分数除法意义即可解答． 解：（4+4×10%）：（3+3×20%）=11:9 17÷（-×）=77（千米） 【答案】77千米 1.甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度比为3:2,他们第一次在C地相遇后,甲的速度提高了20%,乙的速度提高了30%,当甲到达B地时，乙离A地还有42千米,A、B两地间的距离是多少千米? 2.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行,已知甲、乙的速度比是8:3.第一次相遇后,甲的速度降为原来的一半,乙的速度提升为原来的2倍,这样当甲到达B地时,乙距离A地还有700米。那么A、B两地之间相距多少米? 3.客、货两车分别从甲、乙两地同时出发,相向而行。出发时客、货车的速度比是6:5。相遇后,客车的速度减少20%,货车的速度增加20%，这样,当货车到达甲地时,客车离乙地还有 10千米,那么甲、乙两地相距多少千米? 【反比例行程1】 李叔叔开车从合肥到武汉,如果每小时比原来多行 20千米,那么所用的时间只是原来的;如果汽车每小时少行20千米,那么所用的时间要比原来多1小时。那么，合肥与武汉相距多少千米? 【解析】 （1）现在和原来所用时间比5:6 （2）现在和原来速度比6:5（路程一定，速度和时间成反比例） （3）原定速度20÷（6-5）×5=100（千米/时） （4）现在和原定速度之比（100-20）：100=4:5 （5）现在和原定时间之比5:4（路程一定，速度和时间成反比例） （6）原定时间1÷（5-4）×4=4（小时） （7）全程：原定速度×原定时间=100×4=400（千米） 【答案】400千米 1.小李从甲地到乙地去,如果汽车每小时比原来少行20千米,那么所用的时间只是原来的。如果汽车每小时比原来多行20千米,那么所用的时间要比原来少1.5 小时。甲、乙两地相距多少千米? 2.一辆汽车由A地到B地,原计划用5小时20分。由于途中有3.6千米的道路不平,走这段不平的路时速度只相当于原速的,因此比计划晚了12分钟。A、B两地的路程为多少千米? 3.一项工程,用若干台同类型的机器可在规定的时间内完成。若增加2台机器,则只需规定时间的就可以完成;若减少3台机器,则要推迟1小时才可以完成。那么10台机器去完成这项工程需要多少小时？ 【反比例行程2】 一辆汽车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,可以比原来提前1小时到达;若以原速行驶 120 千米后，再将车速提高25%,则可提前40分钟到达。问甲、乙两地相距多少千米? 【解析】 （1）现在和原定速度比（1+20%）：1=6:5 （2）现在和原定时间之比5:6（路程一定，速度和时间成反比例） （3）原定时间1÷（6-5）×6=6（小时） （4）现在和原定速度比（1+25%）：1=5:4 （5）现在和原定时间之比4:5（路程一定，速度和时间成反比例） （6）原定时间40÷（5-4）×5=200（分钟）=（小时） （7）原定速度120÷（6-）=45（千米/时） （8）全程45×6=270（千米） 【答案】270千米 1.王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速提高了,结果提前1小时 30分钟到达;返回时,按原计划的速度行驶280千米后,将车速提高。于是提前1小时40分钟到达北京。北京、上海两市间的路程是多少千米? 2.一辆汽车从A地开往B地,如果把车速减少10%,那么比原定时间迟1小时到达;如果以原速行驶180千米后,再将车速提高20%,那么可比原定时间提早1小时到达。A、B两地相距多少千米? 3.乐乐计划花若干天完成寒假作业,如果将每天写作业的速度降低25%，但每天写作业的时间延长25%,则比原计划多用1天完成作业。按原计划的速度和每天写作业的时间写了15页作业后,把每天写作业的速度提高20%,这样可以提前2天完成,那么乐乐的寒假作业共有多少页? 满分100分 测试时间：70分钟 一、填空题 1.水是由氢和氧按1:8的质量比化合而成的，则54千克水中含氧 千克。 2.把一根木料锯成4段要用12分钟，照这样，如果要锯成6段，一共需要 分钟。 3.甲、乙二人比赛爬楼梯，甲跑到第4层时，乙恰好跑到第3层，以这样的速度,甲跑到第 28 层时，乙跑到第 层。 4.把三角形的一边减少20%，同时把这条边上的高增加20%，则新三角形的面积是原三角形面积的 %。 5.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字多5。若把它们调换位置，新得的两位数与原来两位数的比是3:8，则原来的两位数是 。 6. 如图，等边三角形ABC的边长是a，高是5，点P是等边三角形ABC内一点，DP⊥AB，PE⊥AC，PD=1.5，PE=2，则三角形BCP的面积等于 。 7. 如图，一个长方形被两条互相垂直的线段分割成甲、乙、丙、丁共4个小长方形，已知甲、乙、丁的面积分别是12,22,33，那么阴影三角形的面积是 。 8.右图四边形ABCD是一个平行四边形，CE的长度是BE的2倍,F是DC的中点，三角形ABE的面积是9平方厘米，那么三角形ADF的面积是 平方厘米。 9.如图中，BD=2EB，且阴影部分的面积为42平方厘米。ABC的面积是 平方厘米。 10. 小白兔和小黄兔有胡萝卜数的比为3:4，若小黄免给小白兔4个胡萝卜，则它们的胡萝卜一样多，则两只小兔共有个 胡萝卜。 二、解决问题 11.甲、乙、丙三个粮仓共存粮 90 吨，已知甲、乙两仓存粮量之比是1:4，乙、丙两仓存粮量之比是1:2.5，则甲、乙两仓各存粮多少吨? 12. 某校六年级甲、乙两班学生人数相等，甲班男、女人数之比为4:5，乙班男生人数占全班人数的 60%，若把甲、乙两班合成一个新团队，则新团队男生人数比女生人数多4人，求新团队的总人数。 13.一个容器内已注满水,有大、中、小三个球,第一次放人小球,第二次取出小球,放人中球,第三次取出中球放人小球和大球,已知每次溢出的水量，第一次是第二次的,第二次比第三次多20%。求大、中、小球体积之比. 14. 在一次测试中，有道题目全班得分率只有75%，其中女生的得分率是90%，已知女生和男生人数之比为2:3，请你算出男生的得分率是多少。 15. 一水果店里西瓜和甜瓜的个数之比是3:2，如果每天卖40个西瓜，30个甜瓜,若干天后,当甜瓜卖完时,西瓜还剩下 40个。水果店的西瓜和甜瓜各有多少个? 16. 某班原有学生 42人，其中男生占，转来女生若干人后，男生和女生人数的比是6：5，现在该班有多少人? 17. 一批货物，运走的与剩下的质量比为5:9，若再运走 62 吨，那么剩下的货物只占原有货物的，这批货物原有多少吨? 18. 果园里苹果树与桃树的数量比是7:3，工人每天给 31棵苹果树和15 棵桃树喷药，几天后，当给桃树喷完时，发现苹果树还有24棵没有喷药。果园里有这两种树各多少棵? 19. 两根不同长度的绳子，如果它们都剪掉同样的长度，剩下的长度比为2:1，如果它们再剪掉与上次相同的长度,剩下的长度比是3:1,求原来两根绳子的长度比。 20. 一堆围棋子有黑、白两种颜色，拿走15 枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1，再拿走 45 枚黑棋子后，黑子与白子的个数之比为1∶5，问:开始时黑棋子、白棋子各有多少枚? 【巩固提升】参考答案 1.小明和小芳各走一段路,小明走的路程比小芳多,小芳用的时间比小明多,求小明和小芳的速度比。 【答案】27:20 【解析】 小明与小红所行路程比，时间比、速度比分别为： 小明与小红所行路程比（1+）：1=6:5 小明与小红所行时间比1：（1+）=8:9 小明与小红所行速度比（6÷8）：（5÷9）=27:20 2.甲走的路程比乙多,乙用的时间比甲多,求甲、乙的速度比。 【答案】5:3 【解析】 甲、乙路程比：（1+）：1=4:3 甲、乙时间比：1：（1+）=4:5 甲、乙速度比：（4÷4）：（3÷5）=5:3 3.一个人步行每小时走5 千米,如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟,求骑自行车与步行速度的比是多少? 【答案】3:1 【解析】 ∵步行速度：每小时走5 千米 ∴步行1千米所用时间为60分钟÷5=12（分钟） 骑自行车速度：1千米所用时间为12-8=4（分钟） 骑自行车与步行速度的比（1÷4）：（1÷12）=3:1 1.的分子和分母同时加上同一个自然数,分数值是,求这个数。 【答案】4003 【解析】 （1）分子和分母同时加上同一个自然数，所以分数的分子与分母的差不变； （2）原来分数分子与分母的差为2000-1997=3 （3）现在分数分子与分母的差为2001-2000=1 （4）差缩小了3÷1=3倍 （5）现在分数的分子应该是2000×3=6000 （6）增加的数是6000-1997=4003 2.的分子与分母都加上同一个质数，分数变为,这个质数是多少? 【答案】17 【解析】 （1）差不变 （2）原来分数分子与分母的差是23-8=15 （3）现在分数分子与分母的差是8-5=3 （4）约分的数是15÷3=5 （5）现在分数为= （6）加上的数是25-8=17或40-23=17 3.分数的分子减去一个数，分母加上这个数后，分数值变为，这个数是多少? 【答案】5 【解析】 （1）前后分数的分子与分母的和不变 （2）原来分数分子与分母的和是49+50=99 （3）现在分数分子与分母的和是4+5=9 （4）约简的数是99÷9=11 （5）现在分数还原为= （6）这个数为49-44=5或55-50=5 1. 快车从甲站开往乙站,需6小时,慢车从乙站开往甲站需10小时,两车同时从两站相对开出,相遇时快车行了250千米,求两站间的距离。 【答案】437.5千米 【解析】单比问题 （1）快车行了250千米 （2）同时出发，时间一定，路程和速度成正比例 （3）速度比=路程比：（1÷6）：（1÷8）=4:3 （3）两站距离：250÷4×（4+3）=437.5（千米） 2. 一批零件,甲独做3小时完成,乙独做4小时完成,现两人合做,完成任务时,甲完成了424个,这批零件总共多少个? 【答案】742个 【解析】单比问题 （1）甲完成工作量：424个 （2）甲：乙=4:3 （3）这批零件个数：424÷4×（3+4）=742（个） 3. 一批货物,甲车单独运8小时运完,乙车单独运10小时运完,现两车合运,完成任务时,乙车运了56吨,这批货物共多少吨? 【答案】126吨 【解析】单比问题 （1）乙车运了56吨 （2）甲：乙=5:4 （3）56÷4×（5+4）=126（吨） 1. 甲、乙两人各加工同样多的零件,同时加工,当甲完成任务时,乙还有150个没有完成,当乙完成任务时,甲可以超额完成250个，这批零件共多少个? 【答案】375个 【解析】 （1）这批零件共x个。 （2）列出方程： x：（x-150）=（x+250）：x x2=（x-150）×（x+250） x2= x2+100x-37500 100x=37500 X=375 2. 甲、乙两车同时从A、B两地相向而行当甲到达B地时,乙车距A地60千米,当乙车到达A地,甲车超过B地80千米,A、B两地相距多少千米? 【答案】240千米 【解析】 解：设A、B两地相距x千米。 X：（x-60）=（x+80）：x 解得：x=240 3. 一本书,小明第一天读了总页数的，第二天读的页数与第一天读的页数之比为6:5,还剩下64 页未读,全书一共有多少页? 【答案】240页 【解析】 （1）第一天看了总页数的×= （2）还剩下总页数的1--=； （3）总页数：64÷=240（页） 1.小明家到书城3.5千米,有一天他步行去书城,前的路程快跑,速度是步行的4倍，后一段路程慢跑,速度是步行的2倍,这样比平时早35分到书城,小明步行的速度是多少? 【答案】千米/分钟 【解析】 解：设步行速度为x千米/分钟。 3.5×÷4x+3.5×（1-）÷2x=3.5÷x-35 +=-35 1+4=12-120x 120x=7 X= 2. 解放军部队以每小时6千米的平均速度前进,在行军中排尾的通信员以每小时7.5千米的平均速度追赶排头,当赶上排头后,立即返回,当通信员到达排尾时,队伍前进了0.4千米,求通信员从排尾追赶上排头走了多少路? 【答案】0.45千米 【解析】 解：队伍长x千米。 += 10x=0.9 x=0.09 0.09÷（7.5-6）×7.5=0.45（千米） 3. 用弹簧秤称物体,称2千克的物体弹簧长12.5厘米,称6千克的物体弹簧长13.5厘米,那么不称物体时弹簧长多少厘米? 【答案】12厘米 【解析】 解：设弹簧不称物体是长x厘米。 2：（12.5-x）=6:（13.5-x） 27-2x=75-6x 4x=48 X=12 1. 甲、乙两人合做一批零件,20天完成,甲每天比乙多做3个,乙中途休息5天,于是甲完成的是乙的2倍,甲做了多少个? 【答案】180个 【解析】 甲与乙对比 工作时间比20：（20-5）=4:3 工作总量比2:1 （复比）工作效率比（2÷4）:（1÷3）=3:2 （差比）甲每天工作量：3÷（3-2）×3=9（个） 甲完成的工作量9×20=180（个） 2. 甲、乙两人合做一批零件,24天完成任务,已知甲每天比乙多做5个,而乙在中途请假9天,于是乙完成的零件数恰好是甲的一半,乙做了多少个? 【答案】300个 【解析】 甲与乙对比 工作时间比24：（24-9）=8:5 工作总量比2:1 （复比）工作效率比（2÷8）：（1÷5）=5:4 （差比）乙则工作效率：5÷（5-4）×4=20（个/天） 乙的工作总量：20×（24-9）=300（个） 3. 做同一种零件,张师傅每小时做120个,李师傅做1个的时间比张师傅多用1分钟,李师傅的工作效率是张师傅的几分之几? 【答案】 【解析】 （1）张师傅每小时做120个，做1个零件时间为60÷120=0.5（分钟） （2）李师傅做1个零件的时间：1+0.5=2（分钟） （3）张、李师傅工作效率之比为2:0.5=4:1（反比例） （4）李师傅的工作效率是张师傅的1÷4= 1. 仓库购来黄沙和水泥共 240吨,黄沙每吨35 元,水泥每吨25元,购来黄沙和水泥的总价是一定的,购来黄沙、水泥各多少吨? 【答案】100吨，140吨 【解析】 黄沙与水泥单价之比=35:25=7:5 黄沙与水泥总价之比=1:1 黄沙与水泥数量之比=（1÷7）：（1÷5）=5:7 每份质量：240÷（5+7）=20（吨） 黄沙质量：20×5=100（吨） 水泥质量：240-100=140（吨） 2. 甲乙两车同时从两地相对开出,在离中点15千米处相遇,已知甲、乙两车的速度比是7:6.则两地相距多少千米? 【答案】390千米 【解析】时间一定，路程和速度成正比例（差比） 15×2÷（7-6）×（7+6）=390（千米） 3. 小红带18元去买煤,由于煤降价，结果这些钱比原来多买10千克煤,原来每千克煤是多少元? 【答案】0.6元 【解析】 总价之比1:1 单价之比1：（1-）=4:3 数量之比（1÷4）：（1÷3）=3:4 原来购买煤的质量：10÷（4-3）×3=30（个）（差比） 原来煤的单价：18÷30=0.6（元） 1. 甲、乙两人同时分别从A、B两地相向而行,甲走到全程的地方与乙相遇,已知甲每小时走4.5千米,乙2小时行全程的,求A、B间的路程。 【答案】11.25千米 【解析】 甲、乙路程比=：（1-）=5:6 甲、乙速度比=6:5（反比例） 乙速度=4.5÷6×5=3.75（千米/时） 全程=2×3.75÷=11.25（千米） 2. 甲、乙两人步行从A、B两地同时出发如果相向而行,0.5小时相遇,此时甲、乙所行路程比是7:5,如果他们同向而行,那么甲追上乙需几小时? 【答案】3小时 【解析】 甲、乙所行路程比是=7:5 甲、乙速度比是=5:7（反比例） 全程=0.5×（5+7） 追及时间=0.5×（5+7）÷（7-5）=3（小时） 3. 小王骑车从甲地出发,速度不变,向东到A镇与向西到B镇所用时间之比是5:3,已知从甲地到A镇比B镇远5千米,求A、B两地的距离。 【答案】20千米 【解析】速度一定，路程与时间成反比例 时间比5:3 路程比3:5 路程和5÷（5-3）×（5+3）=20（千米） 1.A、B两台机床加工一批零件,A的工作效率是B的1倍,现在两台机床一起工作2.5小时后,剩下总数的没有完成,这时因A发生故障,剩下的零件由B单独完成,这样B共加工了900个零件,求B每小时加工多少个零件? 【答案】120 【解析】 （1）A的工作效率是B的1倍，A、B的工作总量之比=5:3 （2）A、B工作总量之和：1-= （3）此时B完成的工作量：÷（3+5）×3= （4）B的工作时间：2.5÷×+2.5=7.5（小时） （5）B的工作效率：900÷7.5=120 2. 敌军在早晨5时从距我军7千米的驻地开始逃跑,与此同时,我军出发追击,速度是敌军的1倍,结果在7时30分追上,我军的速度是多少? 【答案】8.4千米/时 【解析】差比 我军与敌军速度比=3:2 追及速度（速度差）=7÷（7.5-5）=2.8（千米/时） 我军速度=2.8÷（3-2）×3=8.4（千米/时） 3. 师徒两人分别接受3000个零件和2400个零件的加工任务,师傅做6个零件的时间徒弟能做5个零件,徒弟完成任务比师傅少用1小时,师傅完成任务用了几小时? 【答案】25小时 【解析】复比 师徒工作效率之比：6:5 师徒工作总量之比：3000:2400=5:4 师徒工作时间之比：（5÷6）：（4÷5）=25:24 1÷（25-24）×25=25（小时） 1. 加工一批零件,如果每小时加工28个,可比计划提前10小时完成,如果每小时加工20个,可比计划提前6小时完成,这批零件共有多少个? 【答案】280个 【解析】时间差比问题 （1）完成的这批零件总数量一定，工作效率与工作时间成反比例； （2）前后工作效率之比28:20=7:5 （3）前后工作时间之比5:7 （4）前后工作时间之差为10-6=4（小时） （5）前面工作时间为4÷（7-5）×5=10（小时） （6）这批零件的总个数为10×28=280（个） 2. 甲、乙两人各加工130个零件,甲比乙提前3小时开工,结果同时结束,甲、乙两人工作效率的比是3:5,甲每小时加工多少个零件? 【答案】16个 【解析】 （1）甲、乙工作效率之比3:5 （2）甲、乙工作时间之比3:5 （3）甲的工作时间3÷（5-3）×5=（小时） （4）甲的工作效率130÷=16（个） 3. 甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出,相遇后,甲车又行6小时到达B地,这时乙车离A地还有全程的10%,两车从出发到相遇用了多少小时? 【答案】小时 【解析】 （1）甲、乙速度之比1：（1-10%）=10:9 （2）路程一定，速度和时间成反比例 （3）甲、乙时间之比9:10 （4）相遇时间：6÷9×10=（小时） 1.甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度比为3:2,他们第一次在C地相遇后,甲的速度提高了20%,乙的速度提高了30%,当甲到达B地时，乙离A地还有42千米,A、B两地间的距离是多少千米? 【答案】45千米 【解析】 第一次相遇时甲乙二人的路程比是3：2 则甲行了全程的，乙行了全程的， 相遇后二人的速度比是[3×（1+20%）]:[2×（1+30%）]=18:13 则当甲到达B时,甲乙的行程比是18:13 甲行了,则乙行了÷18×13= 此时乙离A地有 1--= 14÷=45（千米） 2.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行,已知甲、乙的速度比是8:3.第一次相遇后,甲的速度降为原来的一半,乙的速度提升为原来的2倍,这样当甲到达B地时,乙距离A地还有700米。那么A、B两地之间相距多少米? 【答案】2200米 【解析】 如图,从甲、乙出发到第一次相遇的过程中,甲、乙走的时间相同,那么甲、乙走的路程比就等于它们的速度比,等于8:3,即图中x:y=8:3从甲、乙第一次相遇到甲到达B地的过程中,甲、乙走的时间也相同,那么这时甲、乙走的路程比等于它们的速度比,等于(8×)：（3×2）=2:3,即图中y:z=2:3 x:y=8:3=16:6, y:2=2:3=6:9 所以x:z=16:9 从图中可以看出,x比z多 700米,所以 x=700÷（1-）=1600(米)， y=1600×=600（米） 所以A、B两地之间相距1600+600=2200(米) 3.客、货两车分别从甲、乙两地同时出发,相向而行。出发时客、货车的速度比是6:5。相遇后,客车的速度减少20%,货车的速度增加20%，这样,当货车到达甲地时,客车离乙地还有 10千米,那么甲、乙两地相距多少千米? 【答案】550千米 【解析】 解：根据题意，相遇后客车、货车的速度比是： （6-6×20%）：（5+5×20%） =（6-1.2）：（5+1） =4.8：6 =4：5 10÷（-×） =10×55 =550（千米） 答：甲、乙两地相距550千米。 1.小李从甲地到乙地去,如果汽车每小时比原来少行20千米,那么所用的时间只是原来的。如果汽车每小时比原来多行20千米,那么所用的时间要比原来少1.5 小时。甲、乙两地相距多少千米? 【答案】600千米 【解析】 （1）现在和原来所用时间比5:4 （2）现在和原来速度比4:5（路程一定，速度和时间成反比例） （3）原定速度20÷（5-4）×5=100（千米/时） （4）现在和原定速度之比（100+20）：100=6:5 （5）现在和原定时间之比5:6（路程一定，速度和时间成反比例） （6）原定时间1÷（6-5）×6=6（小时） （7）全程：原定速度×原定时间=100×6=600（千米） 2.一辆汽车由A地到B地,原计划用5小时20分。由于途中有3.6千米的道路不平,走这段不平的路时速度只相当于原速的,因此比计划晚了12分钟。A、B两地的路程为多少千米? 【答案】32千米 【解析】5小时20分=320分钟 （1）途中现在速度：原来速度=3:4 （2）途中现在时间：原定时间=4:3 （3）途中原定时间12÷（4-3）×3=36（分钟） （4）原定速度3.6÷36=0.1（千米/分钟） （5）全程0.1×320=32（千米） 3.一项工程,用若干台同类型的机器可在规定的时间内完成。若增加2台机器,则只需规定时间的就可以完成;若减少3台机器,则要推迟1小时才可以完成。那么10台机器去完成这项工程需要多少小时？ 【答案】9小时 【解析】 （1）现在时间：规定时间=9:10 （2）现在机器：原定机器=10:9 （3）原定机器台数：2÷（10-9）×9=18（台） （4）现在机器：原定机器=（18-3）：18=5:6 （5）现在时间：原定时间=6:5 （6）原定时间：1÷（6-5）×5=5（小时） （7）10台机器工作时间：18×5÷10=9（小时） 1.王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速提高了,结果提前1小时 30分钟到达;返回时,按原计划的速度行驶280千米后,将车速提高。于是提前1小时40分钟到达北京。北京、上海两市间的路程是多少千米? 【答案】1260千米 【解析】1小时30分=90分钟，1小时40分钟=100分钟 （1）现在和原来速度比（1+）：1=10:9 （2）现在和原来时间比9:10 （3）原来时间：90÷（10-9）×10=900（分钟） （4）提速后现在速度与原定速度比（1+）：1=7:6 （5）现在时间：原定时间=6:7 （6）原定时间：100÷（7-6）×7=700（分钟） （7）原定速度：280÷（900-700）×900=1260（千米） 2.一辆汽车从A地开往B地,如果把车速减少10%,那么比原定时间迟1小时到达;如果以原速行驶180千米后,再将车速提高20%,那么可比原定时间提早1小时到达。A、B两地相距多少千米? 【答案】540千米 【解析】 （1）现在与原定速度比（1-10%）：1=9:10 （2）现在与原定时间比10:9 （3）原定时间1÷（10-9）×9=9（小时） （4）180千米后，现在速度与原定速度比（1+20%）：1=6:5 （5）180千米后，现在时间与原定时间比5:6 （6）80千米后，原定时间1÷（6-5）×6=6（小时） （7）原定速度180÷（9-6）×9=540（千米） 3.乐乐计划花若干天完成寒假作业,如果将每天写作业的速度降低25%，但每天写作业的时间延长25%,则比原计划多用1天完成作业。按原计划的速度和每天写作业的时间写了15页作业后,把每天写作业的速度提高20%,这样可以提前2天完成,那么乐乐的寒假作业共有多少页? 【答案】75页 【解析】现在和原来的百分比 （1）速度比（1-25%）：1=3:4 （2）时间比（1+25%）：1=5:4 （3）每天工作量之比（3×5）：（4×4）=15:16（即工作效率之比） （4）做完作业时间之比16:15 （5）做完作业时间：1÷（16-15）×15=15（天） （6）写完15页后速度比（1+20%）:1=6:5 （7）写完15页后时间比5:6 （8）写完15页后原定时间2÷（6-5）×6=12（天） （9）原定速度15÷（15-12）=5（页/天） （10）总页数5×15=75（页） 【综合测试】参考答案 共20题 满分100分 测试时间：70分钟 一、填空题 1.水是由氢和氧按1:8的质量比化合而成的，则54千克水中含氧 千克。 【答案】48 【解析】按比分配 54÷（1+8）×8=48（千克） 2.把一根木料锯成4段要用12分钟，照这样，如果要锯成6段，一共需要 分钟。 【答案】20 【解析】 12÷（4-1）×（6-1）=20（分钟） 3.甲、乙二人比赛爬楼梯，甲跑到第4层时，乙恰好跑到第3层，以这样的速度,甲跑到第 28 层时，乙跑到第 层。 【答案】19 【解析】 甲乙速度比（4-1）：（3-1）=3:2 乙：（28-1）÷3×2+1=19（层） 4.把三角形的一边减少20%，同时把这条边上的高增加20%，则新三角形的面积是原三角形面积的 %。 【答案】96 【解析】 底之比（1-20%）：1=4:5 高之比（1+20%）：1=6:5 面积比（4×6）：（5×5）=24:25 24÷25=96% 5.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字多5。若把它们调换位置，新得的两位数与原来两位数的比是3:8，则原来的两位数是 。 【答案】75 【解析】 解：设个位数字是x，则十位上数字是x+5 (10x+x+5):[ 10（x+5）+x]=3:8 （11x+5）：（11x+50）=3:8 8（11x+5）=3（11x+50） 88x+40=33x+150 55x=110 x=2 x+2=5+2=7 原来两位数：75 6. 如图，等边三角形ABC的边长是a，高是5，点P是等边三角形ABC内一点，DP⊥AB，PE⊥AC，PD=1.5，PE=2，则三角形BCP的面积等于 。 【答案】0.75a 【解析】 连接AP得到3个小三角形。 ×（5a-1.5a-2a）=0.75a 7. 如图，一个长方形被两条互相垂直的线段分割成甲、乙、丙、丁共4个小长方形，已知甲、乙、丁的面积分别是12,22,33，那么阴影三角形的面积是 。 【答案】33.5 【解析】 分割为3个三角形，阴影部分面积（12+22+33）÷2=33.5 8.右图四边形ABCD是一个平行四边形，CE的长度是BE的2倍,F是DC的中点，三角形ABE的面积是9平方厘米，那么三角形ADF的面积是 平方厘米。 【答案】 【解析】 三角形ABE面积：三角形AEC的面积=1:2（底高模型） 三角形ABC面积=三角形ACD面积=9÷1×（1+2）=27（平方厘米） 三角形ADF的面积等于三角形ACF的面积 三角形ADF的面积=27÷2=13.5（平方厘米） 9.如图中，BD=2EB，且阴影部分的面积为42平方厘米。ABC的面积是 平方厘米。 【答案】21 【解析】 BD=2EB，黑白部分面积之比为1:2 且阴影部分的面积为42平方厘米，则三角形ABC的面积为42÷2=21（平方厘米） 10. 小白兔和小黄兔有胡萝卜数的比为3:4，若小黄免给小白兔4个胡萝卜，则它们的胡萝卜一样多，则两只小兔共有个 胡萝卜。 【答案】56 【解析】差比问题 4×2÷（4-3）×（3+4）=56（个） 二、解决问题 11.甲、乙、丙三个粮仓共存粮 90 吨，已知甲、乙两仓存粮量之比是1:4，乙、丙两仓存粮量之比是1:2.5，则甲、乙两仓各存粮多少吨? 【答案】6,24 【解析】连比问题 甲：乙=1:4 乙：丙=1:2.5=2:5=4:10 甲：乙：丙=1:4:10 甲：90÷（1+4+10）×1=6（吨） 乙：90÷（1+4+10）×4=24（吨） 12. 某校六年级甲、乙两班学生人数相等，甲班男、女人数之比为4:5，乙班男生人数占全班人数的 60%，若把甲、乙两班合成一个新团队，则新团队男生人数比女生人数多4人，求新团队的总人数。 【答案】 【解析】 甲班男、女人数之比为4:5 乙班男、女人数之比为60%：（1-60%）=3:2 男：女=（+）：（+）=47:43 总人数：4÷（47-43）×（47+43）=90（人） 13.一个容器内已注满水,有大、中、小三个球,第一次放人小球,第二次取出小球,放人中球,第三次取出中球放人小球和大球,已知每次溢出的水量，第一次是第二次的,第二次比第三次多20%。求大、中、小球体积之比. 【答案】11:8:2 【解析】 小球：中球=1：（1+3）=1:4 第三次溢出3÷（1+20%）=2.5份 大球+小球份数=4+2.5=6.5 大球=6.5-1=5.5 大：中：小=5.5：4:1=11:8:2 14. 在一次测试中，有道题目全班得分率只有75%，其中女生的得分率是90%，已知女生和男生人数之比为2:3，请你算出男生的得分率是多少。 【答案】65% 【解析】设数法 女：男=2:3 全班得分人数：（2+3）×75%=3.75 女生得分人数：2×90%=1.8 男生得分人数：3.75-1.8=1.95 男生得分率：1.95÷3=0.65=65% 15. 一水果店里西瓜和甜瓜的个数之比是3:2，如果每天卖40个西瓜，30个甜瓜,若干天后,当甜瓜卖完时,西瓜还剩下 40个。水果店的西瓜和甜瓜各有多少个? 【答案】360个，240个 【解析】假设法 （1）西瓜和甜瓜之比3:2，相当于每天西瓜卖出3个，甜瓜卖出2个，则两种瓜同时卖完。 （2）即甜瓜每天卖出30个，西瓜每天卖出30÷2×3=45（个），则同时卖完； （3）但是实际上西瓜每天少卖出45-40=5（个），则还剩下40个，则卖出的天数为40÷5=8（天） （4）西瓜个数：8×40+40=360（个），甜瓜个数：8×30=240（个） 16. 某班原有学生 42人，其中男生占，转来女生若干人后，男生和女生人数的比是6：5，现在该班有多少人? 【答案】2人 【解析】抓不变量，男生人数不变 男生人数：42×=24（人），女生人数：42-24=18（人） 现在女生总人数：24÷6×5=20（人） 转来人数：20-18=2（人） 17. 一批货物，运走的与剩下的质量比为5:9，若再运走 62 吨，那么剩下的货物只占原有货物的，这批货物原有多少吨? 【答案】140吨 【解析】量率对应 62÷（-）=140（吨） 18. 果园里苹果树与桃树的数量比是7:3，工人每天给 31棵苹果树和15 棵桃树喷药，几天后，当给桃树喷完时，发现苹果树还有24棵没有喷药。果园里有这两种树各多少棵? 【答案】210棵，90棵 【解析】 桃树15棵 苹果树15÷3×7=35（棵） 24÷（35-31）=6（天） 苹果树：6×31+24=210（棵） 桃树：15×6=90（棵） 19. 两根不同长度的绳子，如果它们都剪掉同样的长度，剩下的长度比为2:1，如果它们再剪掉与上次相同的长度,剩下的长度比是3:1,求原来两根绳子的长度比。 【答案】5:3 【解析】差不变 第一次剩下的长度比为2:1=4:2（差为2） 第二次剩下的长度比是3:1（差为2） 减去了4-3=1份 原来长度之比为（4+1）：（2+1）=5:3 20. 一堆围棋子有黑、白两种颜色，拿走15 枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1，再拿走 45 枚黑棋子后，黑子与白子的个数之比为1∶5，问:开始时黑棋子、白棋子各有多少枚? 【答案】50枚，40枚 【解析】转化单位1 拿走15枚棋子后的白色棋子的个数：45÷（2 - ）=25（枚） 白棋子个数：25+15=40（枚） 黑棋子个数：25×2=50（枚） 14 学科网（北京）股份有限公司 $$