专项32 分数应用题-小升初奥数思维提升讲义

经典奥数系列——分数应用题 13种类型讲、练、测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌ 一、解答分数应用题,首先要确定单位“1”，在单位“1”确定以后，一个具体数量总与一个抽象分数(分率)相对应，这种对应关系叫“量率对应”。量率对应是解答分数应用题的根本思想。 二、量率对应法的基本数量关系式:对应量÷对应分率=单位“1”的量。 三、在解分数应用题时，常常会出现题中有几个不同的单位“1”，这时需要经过分析将它们转化成统一的单位“1”，然后进行解答。 下面是三种常见类型的转化。 1.从分数的意义出发，把分数转变成份数进行“率”的转化； 2.直接运用分率计算进行“率”的转化； 3.通过恒等变形，进行“率”的转化。 量率对应（单位“1”相同） 一堆煤,第一次用去，正好是4吨，第二次又用去这堆煤的，还剩多少吨煤? 【解析】 （1）目标：求剩下的煤的质量 （2）方法：煤的总质量-第一次用去煤的质量-第二次用去煤的质量=剩下的煤质量 （3）过程：先求出煤的总质量，再求出第二次用去质量 （4）技巧：运用量率对应解题思路，第一次用去总质量的，正好是4吨。总质量为4÷=16（吨），第二次用去的质量为16×=8（吨） （5）完全解题：4÷×（1--）=16×=4（吨） （6）答案：4吨 1.一桶油第一次用去,正好是10 升，第二次又用去这桶油的,还剩多少升油? 2.一袋糖分给甲、乙、丙三个小朋友,甲分得总数的多10块,乙分得总数的多8块,剩下的15块全部分给了丙,这袋糖共多少块? 3.水果市场运来香蕉、苹果、梨三种水果,其中香蕉、苹果共30吨,梨占水果总重的,水果市场一共运来多少吨水果? 量率对应（单位“1”不同） 一堆货物,第一天运了这批货物的，第二天运了第一天的，剩120 吨没有运，这堆货物有多少吨? 【解析】 （1）目标：这堆货物总质量 （2）方法：剩下的量÷剩下的量的分率=总质量（即单位“1”的量） （3）过程： 关键是求出剩下的120吨货物对应的分率，1-第一天运走分率-第二天运走的分率=剩下的分率 （4）技巧：运用转化单位“1”，先把第二天运的分率转化为以“总质量”为单位“1”，直接转化单位“1”，×= （5）完全解题：120÷[1- - ×]=120÷=240（吨） （6）答案：240吨 1.小华三天看完一本书,第一天看了，第二天看了余下的,第二天比第一天多看了90页,这本书共多少页? 2.一段路,第一次修了,第二次修了余下的,还剩400米没修,这段路长多少米? 3.食堂运来2吨煤,第一天用去,第二天用去剩下的,还剩多少吨? 量率对应（转化单位“1”） 某厂计划生产一批零件,第一次完成计划的,第二次完成计划的,第三次完成170个,结果超过计划的,计划生产零件多少个? 【解析】 （1）目标：求单位“1”的量（计划生产零件多少个） （2）方法：第三次完成个数÷第三次完成的分率=单位1的量（计划个数） （3）过程：第三次完成的分率=总分率-第一次分率-第二次分率 （4）技巧：完成的总分率为1+ （5）完全解题：170÷（1+ - -）=170÷=300（个） （6）答案：300 1.工厂运来一堆煤,第一天用去总数的,第二天用去总数的,第三天如果用去430吨,就超过这堆煤总数的,这堆煤总共多少吨? 2.一批树苗,高年级学生植了总数的还多25棵,中年级植的棵数是高年级的，正好植完,这批树苗有多少棵? 3.果园里原来种有苹果树和梨树共360棵,其中苹果树占,后来又种了一些苹果树,这时苹果树占两种树总数的,后来又种了多少棵苹果树? 量率对应（重叠问题） 小李四天加工完一批零件,第一天和第二天共加工了 60个,第二、三、四天共加工了80个,已知第二天加工的个数占总数的,这批零件一共多少个? 【解析】 （1）目标：求单位“1”的量（这批零件总个数） （2）方法：完成的零件数÷完成的分率=单位“1”的量 （3）过程：完成的零件数为60+80=140（个），相当于总零件的1+= （4）技巧：运用量率对应关系求出单位“1”的量 （5）完全解题：（60+80）÷（1+）=140÷=120（个） （6）答案：120个 1.甲、乙、丙、丁四个数,甲、乙之和是160,乙、丙、丁之和是230,已知乙占四个数总和的,这四个数的和是多少? 2.小红4 天读一本书共 600 页,第一天第二天读了总数的,第二天、第三天读了总数的,第四天读了总数的,小红第二天读了多少页? 3.某工厂有三个车间,第一车间人数占三个车间人数的,第二车间人数是第三车间的,第一车间比第二车间少40人,三个车间一共多少人? 量率对应（抓不变量） 甲、乙、丙、丁四人共植树60棵,甲植的树是其余三人的,乙植树的棵数是其余三人的,丙植树棵数是其余三人的,丁植树多少棵? 【解析】 （1）目标：求部分量（丁植树的棵树） （2）方法：丁植树的棵树=总棵数×丁植树棵数所占的分率 （3）过程：丁植树棵树的分率=总分率-甲的分率-乙的分率-丙的分率 （4）技巧：运用转化单位1的方法，把甲、乙、丙、丁所植树棵树占总棵数的分率求出即可；甲、乙、丙、丁植树棵树占总数的分率依次为：，，，1-（++） （5）完全解题：60×[1-（++）] =60×=13（棵） （6）答案：13 1.在救灾活动中,甲班捐款是乙班的，乙班捐的是丙班的,丙班捐的是丁班的，四个班共捐3960元,甲班捐多少元? 2.四个小组加工一批零件,第一小组所加工的等于其余小组的,第二小组加工的等于其他小组的,第三小组加工的是其余小组的,第四小组加工了650个,这批零件共多少个? 3.甲、乙、丙三队合修一条公路,甲修的等于乙、丙的和,乙修的是甲、丙总和的,甲比乙多修4.8千米,甲修了多少干米? 转化单位1（直接转化） 修一条路,第一天修了全长的,第二天修了余下的,第二天修了全长的几分之几? 【解析】 （1）目标：求第二天的分率（修了全长的几分之几） （2）方法：第二天分率=余下全长的分率× （3）过程：余下全长的1-=，第二天修了全长的的 （4）技巧：此题为转化单位“1”的题型。第二天的分率为×= （5）完全解题：（1-）×= （6）答案： 1. 橘子的千克数是香蕉的,苹果的千克数是橘子的,苹果的千克数是香蕉的几分之几? 2.甲数比乙数多乙数的,乙数比甲数少甲数的几分之几? 3.一批货物,第一天运了这批货物的，第二天运了第一天的,第一天比第二天多运60吨,这批货物共多少吨? 转化单位“1”（总量不变） 五(3)班原计划抽调的人去参加植树活动,临时又有2人主动参加,使实际参加活动的人数是余下人数的,原计划抽调多少人去参加植树活动? 【解析】 （1）目标：求单位“1”的量（原计划人数） （2）方法：单位“1”的量=2人÷2人所对应的分率 （3）过程：2人所对应点的分率=现在参加分率-原来参加的分率 （4）技巧：抓不变量转化单位“1”，参加和为参加的人数前后发生变化，它们的差也随着变化，唯一不变的是它们的和。所以应该以“原计划的总人数”为单位。把实际参加活动的人数是余下人数的，转化为实际参加活动的人数占原计划总人数的，所以2人所对应的分率为-= （5）完全解题：2÷（-）=24（人） （6）答案：24人 1.某车间有工人50名,后来又调进女工6名,这时女工人数是男工人数的,这个车间原有多少名女工? 2.某校图书馆故事书和文艺书共630本,其中故事书占,后来又买来一些文艺书,这时文艺书占两种书总数的，又买来多少本文艺书? 3.某班学生某天上课缺席人数是出席人数的,后因又有一个学生请假,于是缺席人数等于出席人数的,这个班一共有多少学生? 转化单位“1”（多个量的总数不变） 某厂三个车间加工一批零件,第一车间加工了总数的,第二车间加工了1200个，第三车间加工的个数是第一、二车间总和的,这批零件共多少个? 【解析】 （1）目标：求单位“1”的量（这批零件总个数） （2）方法：较复杂的转化单位“1”的问题。 （3）过程：先转化单位“1”，第三车间加工的个数是第一、二车间总和的，即第三车间加工的个数是（总数的+1200个零件）的，转化为第三车间加工的个数是总数的的加上1200个零件的，即第三车间加工的个数是总数的×=，加上1200×=400个零件。 （4）技巧：则1200+400个零件占总数的1- -= （5）完全解题：（1200+1200×）÷（1--）=1600÷=2880（个） （6）答案：2880个 1.甲、乙、丙三人合作加工一批零件,甲加工了乙、丙总数的,乙加工了甲、丙总数的,丙加工了60个,求这批零件共多少个? 2.甲、乙、丙三队合修了一条公路,甲修的等于乙、丙的和,乙修的等于甲、丙总和的,丙修了1600 米,甲修了多少米? 3.甲、乙、丙、丁共植树180棵,甲植的棵数是其余三人的,乙植的是其余三人的，丙植的是其余三人的,丁植树多少棵? 转化单位“1”（恒等式变换） 星光文具店运来的钢笔比铅笔多1700支,其中钢笔支数的与铅笔的支数相同，星光文具店共运来多少支笔? 【解析】 （1）目标：钢笔和铅笔的总支数 （2）方法：笔的总支数=钢笔支数+铅笔支数；单位“1”的量=多的支数÷多的分率 （3）过程：以“钢笔支数”为单位“1”，则铅笔的分率为÷ （4）技巧：转化单位“1”，1700支所对应的分率占钢笔的1-÷=，再运用差倍问题方法解题即可 （5）完全解题： 钢笔支数：1700÷（1-÷）=15300（支），铅笔支数：15300-1700=13600（支） 总支数：15300+13600=28900（支） （6）答案：28900 等式换比方法： 钢笔×=铅笔×（运用乘法交换律或比例的基本性质转化为比） 钢笔：铅笔=：=9:8 总支数：1700÷（9-8）×（9+8）=28900（支） 1.甲、乙两数和是540,甲数的等于乙数的,求甲、乙两数各是多少？ 2.甲、乙两组共108人,甲组人数的与乙组人数的相等,甲组比乙组少多少人? 3.某校共有学生465人,其中女生的比男生的少20人,男生多少人? 转化单位“1”（多种方法变换） 甲数是乙数的,乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的和是123,甲、乙、丙三个数各是多少? 方法一： 【解析】 （1）目标：求各部分数量（甲乙丙） （2）方法：和倍问题，和÷（分率之和）=单位“1”的量 （3）过程：以“丙”为单位“1”的量，则乙的分率是，甲的分率是×= （4）完全解题： 丙：123÷（1++×）=123÷=48 乙：48×=40 甲：40×=35 （5）答案：35,40,48 方法二： 【解析】 （1）目标：求各部分数量（甲乙丙） （2）方法：按比分配，每份数=和÷（甲乙丙的份数和） （3）过程：先求出每份的量，再分别求出甲乙丙即可。 （4）完全解题： 甲：乙=7:8 乙：丙=5:6 甲：乙：丙=（7×5）：（8×5）：（8×6）=35:40:48 每份数：123÷（35+40+48）=1 甲：1×35=35 乙：1×40=40 丙：1×48=48 （5）答案：35,40,48 方法三： 【解析】 （1）目标：求各部分数量（甲乙丙） （2）方法： 统一以“乙数”为单位“1”，求出单位“1”的量=和÷份数和=每份量 （3）过程： 甲数是乙数的, 乙数是丙数的（转换为丙数是乙数的 （4）完全解题： 乙数：123÷（1++）=123÷=40 甲数：40×=35 丙数：40×=48 （5）答案：35,40,48 1.甲数是乙数的,乙数是丙数的，甲、乙、丙的和是216,甲、乙、丙各是多少? 2.橘子重量是苹果的,苹果重量是梨的,橘子和梨共重 70千克,苹果多少千克？ 3.某小学三年级人数是四年级的,四年级人数是五年级的，三年级人数是三、四、五年级人数的几分之几? 抓不变量（部分量不变） 果园里有梨树和桃树共800棵,其中梨树占,后来又种了一些梨树,现在梨树占两种树总数的,后来又种了多少棵梨树? 【解析】 （1）目标： 来又种了多少棵梨树? （2）方法：梨树棵树为变量，桃树棵树为不变量，所以以不变量（桃树棵树）为单位“1” （3）过程：先求出桃树的棵树，再求出桃树棵树所对应的分率，运用量率对应关系求出后来的单位“1”的量，即总棵数，最后减去原来的总棵数，得到又栽种的梨树的棵树。 （4）完全解题： 后来总棵数：800×（1-）÷（1-）=1000（棵） 又栽种的梨树棵树：1000-800=200（棵） （5）答案：200棵 1.一包糖,水果糖占总个数的，放入18块奶糖后，水果糖占总共的，水果糖有多少块? 2.某厂有240名工人，其中女工占，后来又调进若干名女工，这时女工占现有人数的,调进女工多少名? 3. 仓库运来含水量为90%的一种水果100千克,一星期后再测发现含水量降低了,变成80%,现在这批水果的总质量是多少千克? 抓不变量（总量不变） 小红看一本书,已经看过的是剩下的,后来她又看了8页,于是看过的页数是剩下页数的,这本书有多少页? 【解析】 （1）目标：求单位“1”的量（这本书的总页数 ） （2）方法：已知量÷已知量所对应的分率=单位“1”的量 （3）过程：转化单位“1”，看了的页数和剩下的页数都是变量，它们的差随着变化，唯有它们的和不变，即总页数是不变的。 转化单位“1”的方法： 已经看过的是剩下的（转化为已经看了总页数的） 看过的总页数是剩下页数的（转化为已经看了总页数的） 8页量所对应的分率为- （4）完全解题：8÷（-）=336（页） （5）答案：336页 1.甲筐的苹果重量是乙筐的,甲给乙6 千克后,甲筐重量是乙筐的,甲筐原有多少千克苹果? 2.修路队修一段公路,已修的是未修的,如果再修200米,则已修的恰好是未修的,这条公路共有多少米? 3.五(3)班有学生36人,其中男生占，后来又转进若干名男生,这时男生占,后来转来多少名男生? 抓不变量（差量不变） 甲、乙两筐苹果重量比是7:5,如果两筐苹果各增加55千克,那么它们的重量比是6:5,甲筐原有苹果多少千克? 方法一：转化单位1 【分析】 （1）目标：甲筐原有苹果多少千克? （2）方法：差不变，其余的量都发生了变化。55÷对应分率=单位1的量 （3）过程： 甲、乙两筐苹果重量比是7:5，转化为（甲筐苹果是甲乙两筐苹果质量差的）； 甲、乙两筐苹果重量比是6:5, 转化为（甲筐苹果是甲乙两筐苹果质量差的）； 55千克所对应的分率为- （4）完全解题： 甲乙两筐苹果的质量之差：55÷（-）=55÷=22（千克） 甲筐苹果质量：22×=77（千克） （5）答案：77千克 方法二： 解：设甲、乙两筐的苹果质量为7x千克，5x千克。 （7x+55）：（5x+55）=6:5 6（5x+55）=5（7x+55） 30x+330=35x+275 35x-30x=330-275 5x=55 X=11 甲筐苹果质量：7x=7×11=77（千克） 1.甲、乙两种商品价格比为7:3,如果它们的价格分别上涨140元,那么它们的价格比是7:4.甲商品原来的价格是多少元? 2.一个真分数,分子、分母之和为49,分子加上4,分母减去4后,得到的新分数约简为,求原分数。 3.某工厂男女工人数比为20:13,后来男工、女工同时增加了60人,现在男女工人数比为10:7,原来有多少男工? 共20题 满分100分 测试时间：70分钟 1.甲、乙两人去看电影,一张票价格是甲所有钱的,是乙所有钱的,当买完票以后,甲剩下的钱比乙剩下的多3元,甲、乙两人原来各有多少钱? 2.装订一种练习本,如果已装订120本,剩下的纸是这批纸的,如果装订185本,则还剩下1350张纸,这批纸共多少张? 3.一本书,第一天看了它的,第二天看了剩下的,还剩20页没看,这本书共多少页? 4.小红看一本 120页的故事书,第一天看了全书的,第二天看了剩下的,第三天应从第几页开始看? 5.大桥中学有女生600人,男生比女生多,教师人数是女生的,大桥中学共有师生多少人? 6.一本书,第一天看了总页数的,第二天看了剩下的,还剩40页未看,这本书共多少页? 7.一本书120页,第一天看了全书的，第二天看了剩下的,第三天应从第几页开始看? 8.学校图书馆原有故事书和文艺书共540本,其中文艺书比故事书少,最近又买来一批文艺书,这时文艺书和故事书的本数比是9:10,又买来多少本文艺书? 9.学校故事书占全部图书的,又买来800本故事书,这时故事书占总数的,原来共有多少本书? 10.一堆糖果,其中牛皮糖占,再放人32块奶糖后,牛皮糖只占,问牛皮糖有多少块? 11.阅览室里,女生占全室人数的,后来又进来5名女生,这时女生占全室人数的，阅览室原有多少人? 12.甲、乙两人原有钱的比是3:4,后来甲又给乙50元,这时甲的钱是乙的,原来两人各有多少元钱? 13.饲养场养了白猪、黑猪共500头,白猪占,后来又购进一些白猪,这时白猪占，问购进多少头白猪? 14.姐弟两人各有钱若干,如果姐给弟30元,则弟弟的钱数是姐姐的，已知弟原来有钱50元,姐姐原来有多少元? 15.红星小学五年级学生中,男生占，后来又转来15名男生,这样男生占五年级总人数的,五年级原有学生多少人? 16.某小学的戏剧社有学生 108 人,从中选男生人数的和3 名女生去参加演出,剩下的男、女生人数恰好相等,则该戏剧社共有男生多少人？ 17.学校锅炉房里原来存有大、小两堆煤,共重48吨,现给小堆加上8吨,从大堆里用去,两堆煤的重量正好相等,求大、小两堆煤原来各多少吨? 18.六(1)班有66名学生,选出 10名女生和男生的去参加数学竞赛,剩下的男生人数是女生人数的2倍,该班的男、女生各多少名? 19.小明很喜欢看书他第一天看完全书的,第二天比第一天多看16页,这时还剩下96页没有看完，请求出这本书一共有多少页。 20.红光小学为“希望工程’捐款,五、六年级捐款数占全校的55%，其中六年级学生捐款3600元，五年级学生捐款数占全校的。全校共捐款多少元? 【巩固提升】参考答案 1.一桶油第一次用去,正好是10 升，第二次又用去这桶油的,还剩多少升油? 【解析】量率对应 10÷×（1--） =80-10-20 =50（升） 【答案】50 2.一袋糖分给甲、乙、丙三个小朋友,甲分得总数的多10块,乙分得总数的多8块,剩下的15块全部分给了丙,这袋糖共多少块? 【解析】多加少减型量率对应 （15+8+10）÷（1--） =33÷ =60（块） 【答案】60块 3.水果市场运来香蕉、苹果、梨三种水果,其中香蕉、苹果共30吨,梨占水果总重的,水果市场一共运来多少吨水果? 【解析】量率对应 30÷（1-） =30÷ =40（吨） 【答案】40吨 1.小华三天看完一本书,第一天看了，第二天看了余下的,第二天比第一天多看了90页,这本书共多少页? 【解析】转化单位1后，再运用量率对应求出单位“1”的量。 90÷[（1-）×-] =9÷ =45（页） 【答案】45页 2.一段路,第一次修了,第二次修了余下的,还剩400米没修,这段路长多少米? 【解析】转化单位1后，再运用量率对应求出单位“1”的量。 400÷[1--（1-）×] =400÷ =2000（米） 【答案】2000米 或运用还原问题解决： 400÷（1-）÷（1-） =400÷÷ =2000（米） 3.食堂运来2吨煤,第一天用去,第二天用去剩下的,还剩多少吨? 【解析】单位“1”的量已知，求剩下的量 2×（1-）×（1-） =2× =1.2（吨） 【答案】1.2吨 1.工厂运来一堆煤,第一天用去总数的,第二天用去总数的,第三天如果用去430吨,就超过这堆煤总数的,这堆煤总共多少吨? 【解析】量率对应求单位“1”的量 430÷（1+--） =430÷ =600（吨） 【答案】600吨 2.一批树苗,高年级学生植了总数的还多25棵,中年级植的棵数是高年级的，正好植完,这批树苗有多少棵? 【解析】转化单位“1”，再运用量率对应求单位“1”的量 25÷（-） =25÷ =600（棵） 【答案】600棵 3.果园里原来种有苹果树和梨树共360棵,其中苹果树占,后来又种了一些苹果树,这时苹果树占两种树总数的,后来又种了多少棵苹果树? 【解析】梨树棵数位不变量，以“梨树棵数”位单位“1” 360×（1-）÷（1-） =360×÷ =400（棵） 【答案】400棵 1.甲、乙、丙、丁四个数,甲、乙之和是160,乙、丙、丁之和是230,已知乙占四个数总和的,这四个数的和是多少? 【解析】量率对应 （160+230）÷（1+） =390÷ =260 【答案】260 2.小红4 天读一本书共 600 页,第一天第二天读了总数的,第二天、第三天读了总数的,第四天读了总数的,小红第二天读了多少页? 【解析】量率对应（重叠问题） 600×（++-1） =600× =20（页） 【答案】20页 3.某工厂有三个车间,第一车间人数占三个车间人数的,第二车间人数是第三车间的,第一车间比第二车间少40人,三个车间一共多少人? 【解析】直接运用量率对应即可 40÷（-） =40÷ =80（人） 【答案】80人 1.在救灾活动中,甲班捐款是乙班的，乙班捐的是丙班的,丙班捐的是丁班的，四个班共捐3960元,甲班捐多少元? 【解析】转化单位“1” 以丁班为单位“1” 丙的分率为 乙的分率为×= 甲的分率为×= 丁：3960÷（1+++） =3960÷ =2880（元） 甲：2880×=120（运） 【答案】120元 2.四个小组加工一批零件,第一小组所加工的等于其余小组的,第二小组加工的等于其他小组的,第三小组加工的是其余小组的,第四小组加工了650个,这批零件共多少个? 【解析】抓不变量转化单位“1”；以四个小组加工的总零件数为单位“1” 量率对应： 总数：650÷（1---） =650÷ =300（个） 【答案】300个 3.甲、乙、丙三队合修一条公路,甲修的等于乙、丙的和,乙修的是甲、丙总和的,甲比乙多修4.8千米,甲修了多少干米? 【解析】转化单位“1” 甲修的等于乙、丙的和，转化为甲修了总数的 乙修的是甲、丙总和的，转化为乙修了总数的 4.8÷（-） =4.8÷ =14.4（千米） 【答案】14.4千米 1. 橘子的千克数是香蕉的,苹果的千克数是橘子的,苹果的千克数是香蕉的几分之几? 【解析】直接转换 苹果的千克数是橘子的，橘子的千克数是香蕉的, 苹果的千克数是香蕉的×= 【答案】 2.甲数比乙数多乙数的,乙数比甲数少甲数的几分之几? 【解析】 甲数比乙数多乙数的，则甲是乙的1+=11:6 则乙数比甲数少（11-6）÷11= 或：÷（1+）=÷= 【答案】 3.一批货物,第一天运了这批货物的，第二天运了第一天的,第一天比第二天多运60吨,这批货物共多少吨? 【解析】转化单位“1” 第一天运了这批货物的， 第二天运了第一天的，转化为第二天运了这批货物的，即×= 运用量率对应解决即可：60÷（-）=400（千克） 【答案】400千克 1.某车间有工人50名,后来又调进女工6名,这时女工人数是男工人数的,这个车间原有多少名女工? 【解析】直接运用量率对应即可 男：（50+6）÷（1+） =56÷ =32（人） 女：50-32=18（人） 或女：男=3:4 （50+6）÷（3+4）×3-6 =24-6 =18（人） 【答案】18人 2.某校图书馆故事书和文艺书共630本,其中故事书占,后来又买来一些文艺书,这时文艺书占两种书总数的，又买来多少本文艺书? 【解析】抓不变量（故事书本数不变） 总本数：630×÷（1-） =90÷ =720（本） 买来文艺书本数：720-630=90（本） 【答案】90本 3.某班学生某天上课缺席人数是出席人数的,后因又有一个学生请假,于是缺席人数等于出席人数的,这个班一共有多少学生? 【解析】抓不变量（总人数一定） 缺席人数是出席人数的,转化为“缺席人数占全班人数的” 缺席人数是出席人数的,转化为“缺席人数占全班人数的” 后面缺席人数比前面多1人 运用量率对应解决即可 1÷（-） =1÷ =42（人） 【答案】42人 1.甲、乙、丙三人合作加工一批零件,甲加工了乙、丙总数的,乙加工了甲、丙总数的,丙加工了60个,求这批零件共多少个? 【解析】抓不变量转化单位“1”（甲、乙、丙加工总零件数不变），应该以“零件总数”为单位“1”。 甲加工了乙、丙总数的,转化为“甲加工了这批零件的” 乙加工了甲、丙总数的, 转化为“乙加工了这批零件的” 则丙加工了这批零件的1-- 运用量率对应解题： 这批零件：60÷（1--） =60÷ =144（个） 【答案】144个 2.甲、乙、丙三队合修了一条公路,甲修的等于乙、丙的和,乙修的等于甲、丙总和的,丙修了1600米,甲修了多少米? 【解析】转化单位“1” 甲修的等于乙、丙的和,转化为“甲修了这条公路的” 乙修的等于甲、丙总和的, 转化为“乙修了这条公路的” 丙修了这条公路的1-- 运用量率对应解题： 这条公路全长：1600÷（1--） =1600÷ =6400（米） 甲：6400÷2=3200（米） 【答案】3200米 3.甲、乙、丙、丁共植树180棵,甲植的棵数是其余三人的,乙植的是其余三人的，丙植的是其余三人的,丁植树多少棵? 【解析】转化单位“1”（树的棵数不变） 180×（1---） =180× =39（棵） 【答案】39棵 1.甲、乙两数和是540,甲数的等于乙数的,求甲、乙两数各是多少？ 【解析】等式换比 甲：乙=：=4:5 和比问题：540÷（4+5）=60 甲：60×4=240 乙：60×5=300 【答案】240,300 2.甲、乙两组共108人,甲组人数的与乙组人数的相等,甲组比乙组少多少人? 【解析】同上 甲：乙=4:5 108÷（4+5）=12（人） 甲-乙=12×（5-4）=12（人） 【答案】12人 3.某校共有学生465人,其中女生的比男生的少20人,男生多少人? 【解析】 某校共有学生465人，所以女生的与男生的一共有465×=310（人）, 因为女生的比男生的少20人， 转化为男生的少20人与男生的一共有310人。 则男生的与男生的一共有310+20=330人 男：330÷（+） =330÷ =225（人） 或方程法解题 解：设男生有x人，则女生有465-x人。 x-（465-x）=20 左右两边同时乘15化简得：12x-10（465-x）=300 22x=4950 X=4950÷22 X=225 【答案】225人 1.甲数是乙数的,乙数是丙数的，甲、乙、丙的和是216,甲、乙、丙各是多少? 【解析】以“丙”为单位“1”的量 丙：1 乙： 甲：×= 丙：216÷（1++） =216÷ =96 乙：96×=72 甲：96×=48 【答案】48,72,96 2.橘子重量是苹果的,苹果重量是梨的,橘子和梨共重 70千克,苹果多少千克？ 【解析】以“梨的质量”为单位“1”的量 梨：70÷（1+×） =70÷ =56（千克） 苹果：56×=42（千克） 【答案】42千克 3.某小学三年级人数是四年级的,四年级人数是五年级的，三年级人数是三、四、五年级人数的几分之几? 【解析】 五年级：单位“1” 四年级： 三年级：× ×÷（1++×） =÷ = 或 三：四=9:10 四：五=5：4=10:8 三：四：五=9:10:8 三÷（三+四+五）=9÷（9+10+8）= 【答案】 1.一包糖,水果糖占总个数的，放入18块奶糖后，水果糖占总共的，水果糖有多少块? 【解析】水果糖的颗数为不变量 转化单位“1”： 水果糖占总个数的，总数是水果糖的3倍 水果糖占总共的，总数是水果糖的倍 水果糖：18÷（-3） =18÷ =12（块） 【答案】12块 2.某厂有240名工人，其中女工占，后来又调进若干名女工，这时女工占现有人数的,调进女工多少名? 【解析】男工人数不变 现在总人数：240×（1-）÷（1-） =240×÷ =90× =290（人） 调进女工人数：290-240=50（人） 【答案】50人 3. 仓库运来含水量为90%的一种水果100千克,一星期后再测发现含水量降低了,变成80%,现在这批水果的总质量是多少千克? 【解析】果肉含量不变 100×（1-90%）÷（1-80%） =10÷0.2 =50（千克） 【答案】50千克 1.甲筐的苹果重量是乙筐的,甲给乙6 千克后,甲筐重量是乙筐的,甲筐原有多少千克苹果? 【解析】总量不变 6÷（-） =6÷ =112（千克） 甲：112×=48（千克） 【答案】48千克 2.修路队修一段公路,已修的是未修的,如果再修200米,则已修的恰好是未修的,这条公路共有多少米? 【解析】全长不变 200÷（-） =200÷ =6300（米） 【答案】6300米 3.五(3)班有学生36人,其中男生占，后来又转进若干名男生,这时男生占,后来转来多少名男生? 【解析】女人人数不变 现在总人数：36×（1-）÷（1-） =20÷ =50（人） 转进男生：50-36=14（人） 【答案】14人 1.甲、乙两种商品价格比为7:3,如果它们的价格分别上涨140元,那么它们的价格比是7:4.甲商品原来的价格是多少元? 【解析】差不变（扩比） 甲：乙=7:3=21:9（相差12份） 甲：乙=7:4=28:16（相差12份） 甲增加了28-21=7份，即上涨140元 甲：140÷（28-21）×21=420（元） 或转化单位“1” 甲乙相差的钱数： 140÷（-） =240（元） 甲：240×=420（元） 【答案】420元 2.一个真分数,分子、分母之和为49,分子加上4,分母减去4后,得到的新分数约简为,求原分数。 【解析】分子与分母之和不变 和倍：49÷（3+4）=7 分子：7×3=21 分母：7×4=28 原分数：= 【答案】 3.某工厂男女工人数比为20:13,后来男工、女工同时增加了60人,现在男女工人数比为10:7,原来有多少男工? 【解析】同时增加，则男、女人数之差不变。 扩比方法： 男：女=20：13=60:39（相差21份） 男：女=10:7=70:49（相差21份） 男增加70-60=10份，即60人 男工原来人数：60÷（70-60）×60=360（人） 或转化单位“1”方法 差：60÷（-） =60÷ =126（人） 126×=360（人） 或方程法解题 解：设男女工人原有人数分别是20x，13x人。 （20x+60）：（13x+60）=10：7 7（20x+60）=10（13x+60） 140x+420=130x+600 10x=180 X=18 甲：20x=18×20=360（人） 【答案】360人 【综合测试】参考答案 共20题 满分100分 测试时间：70分钟 1.甲、乙两人去看电影,一张票价格是甲所有钱的,是乙所有钱的,当买完票以后,甲剩下的钱比乙剩下的多3元,甲、乙两人原来各有多少钱? 【解析】等式换比 甲×=乙× 甲：乙=：=5:2 甲：3×（5-2）×5=5（元） 乙：3×（5-2）×2=2（元） 【答案】5元，2元 2.装订一种练习本,如果已装订120本,剩下的纸是这批纸的,如果装订185本,则还剩下1350张纸,这批纸共多少张? 【解析】量率对应 这批纸的总本数：120÷（1-）=200（本） 每本纸张张数：1350÷（200-185）=90（张） 总张数：90×200=18000（张） 【答案】18000张 3.一本书,第一天看了它的,第二天看了剩下的,还剩20页没看,这本书共多少页? 【解析】还原问题 20÷（1-）÷（1-） =20÷÷ =60（页） 转化单位“1” 20÷[1--（1-）×] =20÷ =60（页） 【答案】60页 4.小红看一本 120页的故事书,第一天看了全书的,第二天看了剩下的,第三天应从第几页开始看? 【解析】单位“1”的量已知 120×=60（页） 60×=30（页） 60+30+1=91（页） 【答案】91页 5.大桥中学有女生600人,男生比女生多,教师人数是女生的,大桥中学共有师生多少人? 【解析】单位1的量已知 男生：600×（1+）=1100（人） 教师：600×=200（人） 师生：1100+600+200=1900（人） 【答案】1900人 6.一本书,第一天看了总页数的,第二天看了剩下的,还剩40页未看,这本书共多少页? 【解析】还原问题 40÷（1-）÷（1-） =40÷÷ =120（页） 【答案】120页 7.一本书120页,第一天看了全书的，第二天看了剩下的,第三天应从第几页开始看? 【解析】 第一天：120×=40（页） 第二天：（120-40）×=40（页） 40+40+1=81（人） 【答案】81页 8.学校图书馆原有故事书和文艺书共540本,其中文艺书比故事书少,最近又买来一批文艺书,这时文艺书和故事书的本数比是9:10,又买来多少本文艺书? 【解析】故事书本数不变 故事书：540÷（1-+1）=300（本） 现在总本数：300÷10×（9+10）=570（本） 买来文艺书本数：570-540=30（本） 【答案】30本 9.学校故事书占全部图书的,又买来800本故事书,这时故事书占总数的,原来共有多少本书? 【解析】其它类图书本数不变 转化单位1： 学校故事书占全部图书的,转化为：故事书是其它类图书的 这时故事书占总数的, 转化为：这时故事书是其它类图书的 其他类图书本数： 800÷（-） =800÷ =1600（本） 原来图书：1600×+1600=4000（本） 【答案】4000本 10.一堆糖果,其中牛皮糖占,再放人32块奶糖后,牛皮糖只占,问牛皮糖有多少块? 【解析】牛皮糖块数不变 牛皮糖：32÷（-） =32÷ =18（块） 【答案】18块 11.阅览室里,女生占全室人数的,后来又进来5名女生,这时女生占全室人数的，阅览室原有多少人? 【解析】阅览室男生人数不变 男：5÷（-） =5÷ =40（人） 原来总人数：40÷（1-）=60（人） 【答案】60人 12.甲、乙两人原有钱的比是3:4,后来甲又给乙50元,这时甲的钱是乙的,原来两人各有多少元钱? 【解析】和不变 扩比方法： 3:4=9:12（共21份） 1:2=7:14（共21份） 甲给了乙50元后，少了9-7=2份的钱，每份的钱数为50÷2=25元 甲：50÷（9-7）×9=225（元） 乙：50÷（9-7）×12=300（元） 【答案】225元，300元 13.饲养场养了白猪、黑猪共500头,白猪占,后来又购进一些白猪,这时白猪占，问购进多少头白猪? 【解析】黑猪头数不变 现在总头数： 500×（1-）÷（1-） =300÷ =900（头） 900-500=400（头） 【答案】400头 14.姐弟两人各有钱若干,如果姐给弟30元,则弟弟的钱数是姐姐的，已知弟原来有钱50元,姐姐原来有多少元? 【解析】量率对应 （50+30）÷+30 =150（元） 【答案】150元 15.红星小学五年级学生中,男生占，后来又转来15名男生,这样男生占五年级总人数的,五年级原有学生多少人? 【解析】女生人数不变 女生人数： 15÷（-） =15÷ =150（人） 原来总人数：150÷（1-）=360（人） 【答案】360人 16.某小学的戏剧社有学生 108 人,从中选男生人数的和3 名女生去参加演出,剩下的男、女生人数恰好相等,则该戏剧社共有男生多少人？ 【解析】假设法解题 男生人数： （108-3）÷（1+1-） =105÷ =55（人） 【答案】55人 17.学校锅炉房里原来存有大、小两堆煤,共重48吨,现给小堆加上8吨,从大堆里用去,两堆煤的重量正好相等,求大、小两堆煤原来各多少吨? 【解析】假设法解题 大堆煤质量： （48+8）÷（1+1-） =56÷ =32（吨） 小堆煤质量：48-32=16（吨） 【答案】32吨，16吨 18.六(1)班有66名学生,选出 10名女生和男生的去参加数学竞赛,剩下的男生人数是女生人数的2倍,该班的男、女生各多少名? 【解析】解设法解题 男生人数： （66-10）÷[1+（1-）÷2] =56÷ =40（人） 女生人数：66-40=26（人） 【答案】40人，26人 19.小明很喜欢看书他第一天看完全书的,第二天比第一天多看16页,这时还剩下96页没有看完，请求出这本书一共有多少页。 【解析】量率对应 （96+16）÷（1--） =112÷ =336（页） 【答案】336页 20.红光小学为“希望工程’捐款,五、六年级捐款数占全校的55%，其中六年级学生捐款3600元，五年级学生捐款数占全校的。全校共捐款多少元? 【解析】量率对应 3600÷（55%-） =3600÷0.3 =12000（元） 【答案】12000元 14 学科网（北京）股份有限公司 $$