专项34 比的应用-小升初奥数思维提升讲义

经典奥数系列——比的应用 10种类型讲、练、测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌ 1.按比例分配问题的解题方法: （1）把比看作份数，先求出每一份的方法来解答。解题步骤: ①求出总份数 ②求出每一份是多少 ③求出各部分相应的具体数量 （2）转化成分数乘法来解答。解题步骤: ①先根据比求出总份数 ②再求出各部分量占总量的几分之几 ③求出各部分的数量 2.按比例分配问题常用解题方法的应用: （1）已知各部分量的比和其中一部分的量，求另外几个部分量（单比） （2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的和或差，求各部分量（和比、差比） （3）已知两个不同量之间的比和第三种量，先把两个比合并成一个比，再求量（复比） 【和比问题】 QQ农场有一块长方形菜地,长与宽之比为4:3，周长为140米,这块菜地的面积是多少平方米? 【分析】两个数的和比问题 （1）长方形面①积=长×宽，所以求长方形的面积，要先求出长与宽 （2）长+宽=周长÷2=140÷2=70（米） （3）长:宽=4:3 （4）按比分配，长=70÷（4+3）×4=40（米），宽=70-40=30（米） （5）面积=40×30=1200（平方米） 【答案】1200平方米 【易错提示】 长、宽之比4:3，按比分配的和必须是一组长与宽的和，而不是两组长与宽之和（周长） 1.等腰三角形顶角与一个底角的比为5:2,它的顶角和底角各多少度？ 2.一批冰箱,卖出18台,卖出的台数与剩下的台数比是3:2.求一共多少台冰箱? 3.如图,一个正方形被分成3个相同的长方形,如果其中一个长方形的周长是16厘米，则正方形的周长是多少厘米? 【连比问题】 某农场有5656公顷作物田,其中粮田与棉田之间的比是7:2,棉田与其他作物面积的比是6:1,每种作物各是多少公顷? 【分析】 （1）此题为三个数的和比问题，必须知道三个数的和及这三个数的连比，按比分配即可求解。 （2）粮田+棉田+其它作物=5656（公顷） （3）粮田：棉田=7:2=21:6（扩比） 棉田：其它作物=6:1 得，粮田：棉田：其它作物=21:6:1 （4）每份面积：5656÷（21+6+1）=5656÷28=202（公顷） （5）粮田面积：202×21=4242（公顷） 棉田面积：202×6=1212（公顷） 其它作物面积：202×1=202（公顷） 【答案】4242,1212,202 【方法总结】当遇到三个数的和时，就要考虑求出三个数的比，然后按比分配求个部分的量；三个数的连比，主要抓住两个比中相同的量的份数关系，运用最小公倍数把这两个比中相同的量转化为同份数的量，再把这两个比合并为三个数的连比。 1.永和小学180名学生,分成三组去参加植树活动,已知第一小组与第二小组人数比是2:3,第二小组与第三小组人数比是3:5，这三个小组各有多少人? 2.学校新进了一批球,其中排球与篮球个数的比是9:10,足球与篮球个数比为5:8，已知篮球与排球共76个,求篮球比足球多多少个? 3.长方体棱长之和是528分米,长与宽的比为2:1,宽与高的比为3:2,那么长方体的体积是多少? 【倒数比】 制造一个零件,甲需6分钟,乙需5分钟,丙需4.5分钟,现在有1590个零件的制造任务分配给他们,要求在相同时间内完成，每人应该分配到多少个零件? 【分析】 （1）甲、乙、丙工作效率之比（1÷6）：（1÷5）：（1÷4.5）=15:18：20 （2）甲+乙+丙=1590 （3）每份零件个数：1590÷（15+18+20）=30（个） （4）甲：30×15=450（个） 乙：30×18=540（个） 丙：30×20=600（个） 【答案】450,540,600 1.加工一个零件,甲需3分钟,乙需3.5分钟,丙需4分钟,现在有1825个零件,如果规定同样的时间完成,那么甲、乙、丙各应加工多少个? 2.加工一个零件,甲需4分钟,乙需4.5分钟,丙需5分钟,现有2420个零件需要加工,如果规定三人在同一时间内完成,那么，他们各应加工多少个零件? 3.育才小学六年级学生分三批去参观科技馆,第一批和第二批人数比为5:4,第二批和第三批人数比是3:2,已知第一批比第二、三批的人数总和少15人,求六年级去科技馆参观的有多少人? 【抓不变量：和不变】 甲、乙两校原有图书本数的比是7:5，如果甲校给乙校650本,那么甲、乙两校图书本数的比就是3:4,原来甲校有图书多少本? 【分析】三种方法解决：扩比，转化单位1，方程法 方法一：扩比（转化为相同的总份数） （1）甲：乙=7:5=49:35（共84份） 甲：乙=3:4=36:48（共84份） （2）甲减少的份数：49-36=13（份），减少的量是650本 （3）每份的本数：650÷13=50（本） （4）原来甲校图书本数：50×49=2450（本） 方法二：转化单位1（以两校总本数为单位1） （1）甲、乙两校原有图书本数的比是7:5，转化为“甲校图书本数占两校总本数的” （2）甲、乙两校图书本数的比就是3:4, 转化为“甲校图书本数占两校总本数的” （3）总本数的的比总本数的多650本； （4）总本数：650÷（-）=650÷=4200（本） （5）甲校本数：4200×=2450（本） 方法三：列比例方程 解：设甲、乙两校的本数分别是7x本，5x本。 列出方程式： （7x-650）：（5x+650）=3:4 4（7x-650）=3（5x+650） 28x-2600=15x+1950 13x=4550 X=350 甲校本数：350×7=2450（本） 【答案】2450本 1.上、下两层书架放书本数比为4:3,如果从上层取出80本放到下层,则本数比为4:5,那么上、下两层书架原来分别放有图书多少本? 2.甲、乙两个建筑队,原有水泥重量比为4:3,当甲队给乙队54吨水泥后,甲、乙两队水泥重量之比为3:4,甲、乙两队原有水泥各多少吨? 3.小明读一本书,已读的和未读的页数比为1:5,如果再读30页,则已读的和未读的页数比为3:5,这本书共多少页? 【单位1相同】 两块一样重的合金,一块合金中铜与锌的比是3:4,另一块合金中铜与锌的比是2:3，现将两块合金熔合成一块,新合金中铜与锌的比是多少? 【分析】 （1）两块合金质量相同，所得分数可以直接相加减 （2）第一块合金中铜占，锌占 （3）第二块合金中铜占，锌占 （4）新合金中铜与锌的含量比是（+）：（+）=29:41 【答案】29:41 1.两个相同的杯子装满酒精溶液,一个瓶中酒精与水的体积比是 3:1,另一个瓶中酒精与水的体积比是2:1。若把两瓶酒精溶液混合,则混合后的酒精与水的体积之比是多少? 2.有两杯一样重的盐水,第一杯中盐与盐水的比是4:5,第二杯中盐与盐水的比2:7。若把这两杯盐水混合,混合溶液中盐与水的比是多少? 3.将一批零件平均分给甲、乙两人完成。甲已完成的与剩下的比是2:3,乙已完成的与剩下的比是4:5。这批零件已完成的占总数量的几分之几? 【等式换比】 两个书架,甲书架存书的等于乙架的,甲架比乙架多存120本,乙书架存书多少本? 【分析】差比问题 （1）甲：乙=：=8:5 （2）甲-乙=120 （3）每份本数：120÷（8-5）=40（本） （4）乙书架本数：40×5=200（本） 【答案】200本 1.学校图书室文艺书本数的是科技书本数的,科技书比文艺书多250本,文艺书有多少本? 2.盒子里有两种不同颜色的棋子,黑子颗数的等于白子颗数的,已知黑子和白子一共138 颗,两种棋子各有多少颗? 3.分数的分子、分母加上a以后,分子与分母的比为19:7,求a是多少? 【方程解题】 甲、乙两个学生考试分数比是5:4,如果甲少得16分,乙多得16分,则他们的分数比是3:4,甲、乙两人原来各得多少分? 【分析】 （1）解：设甲、乙两人原来各得5x，4x分。 （2）列出方程，（5x-16）：（4x+16）=3:4 4（5x-16）=3（4x+16） 20x-64=12x+48 8x=112 x=14 （3）甲得分：5x=5×14=70（分），乙得分：4×14=56（分） 扩比方法： 甲：乙=5:4=35:28 甲：乙=3:4=27:36 每份分数：16÷（35-27）=2（分） 甲：2×35=70（分） 乙：2×28=56（分） 【答案】70,56 1.兄弟两人每月收入的比是4:3,支出钱数的比是18:13,全月他们两个人都余360元,两个人每月收人各多少元? 2.甲、乙两个建筑队原来水泥重量比是4:3,甲队取走20吨后，甲、乙两队水泥重量比上是16:15,原来甲队有多少吨水泥? 3.某校六(1)班有若千人,一次大课间活动,李老师先安排15名女生出去跳舞,这时教室里剩下的男、女生人数的比是5:2,接着又安排18名男生出去参加乒乓球训练,这时教室里剩下的男、女生人数的比是1:4。这所学校六(1)班原来有多少人? 【复比】 某高速公路收费站对过往车辆的收费标准:大客车30元/次,小客车15元/次,小轿车10元/次。某日,通过此收费站的大客车和小客车的数量比是5:6,小客车和小轿车的数量比是4:11,收取小轿车的通行费比大客车多210元。当天,有多少辆小轿车通过此收费站? 【解析】 （1）大客车和小客车的数量比是5:6=10:12 （2）小客车和小轿车的数量比是4:11=12:33 （3）大客车、小客车、小轿车的数量比是10:12：33 （4）大客车、小客车、小轿车的单价通行费之比是30:15:10 （5）大客车、小客车、小轿车的通行总价比是10×30:12×15：33×10=10:6:11（ （6）小轿车通行费：210÷（11-10）×11=2310（元） （7）小轿车数量：2310÷10=231（辆） 【答案】231 1.某校原有科技书、文艺书共630本,其中科技书与文艺书的比是1:4,后来又买进一些科技书,这时科技书与文艺书的比是3:7，后来又买进多少本科技书? 2.一个等腰三角形一个顶角与一个底角的比是5:2,它的顶角是多少度? 3.一段路,分为上坡、平路、下坡三段,各段路程长的比依次是1:2:3,某人走这三段路所用时间比依次是4:5:6。已知他上坡时速度是每小时走3千米,路程全长50千米,此人走完全程用了多少时间? 【稍复杂1】 某校六年级三个班的人数相等,一班的男生人数和二班的女生人数相等,三班的男生人数是全部男生人数的,那么女生总人数与全年级人数的比是多少? 【分析】 （1）一班的男生人数和二班的女生人数相等，则一班的女生人数和二班的男生人数相等 （2）则一班男生人数+二班男生人数=一个班人数 （3）因为六年级三个班的人数相等，所以一班男生人数+二班男生人数占总人数的 （4）三班的男生人数是全部男生人数的,所以一、二班男生人数之和占全部男生人数的 （5）得：全部男生人数的等于总人数的 （6）全部男生人数等于总人数的÷= （7）全部女生人数等于总人数的1-= 【答案】 1.三盒黑白棋中棋子总数相等,已知第一个盒子中黑子的枚数和第二个盒子中白子的枚数相等,第三个盒子中黑子的枚数是全部黑子枚数的,那么白子总枚数与全部棋子枚数的比是多少? 2.某校五年级三个班的人数相等,一班的男生人数和二班的女生人数相等,三班的男生人数是全部男生人数的,那么女生总人数与全年级人数的比是多少? 3.某校一年级共有9个班,每班人数相等,已知一班的男生人数比二、三两个班的女生总数多1人；四、五、六三个班的女生总人数比七、八、九三个班的男生总人数多1人，那么该校一年级中男、女人数比是多少? 【稍复杂2】 甲、乙两个班人数相等,各有一些同学参加兴趣组,甲班参加的人数恰好是乙班没有参加人数的,而乙班参加人数是甲班没参加人数的,求甲班没有参加的人数是乙班没有参加人数的几分之几? 【分析】 （1）两班人数相等 ‌（2）甲班参加人数=乙班未参加人数的​， ‌（3）乙班参加人数=甲班未参加人数的​ （4）∵甲班参加人数+甲班未参加人数= 乙班参加人数+乙班未参加人数。 （5）∴乙班未参加人数的+甲班未参加人数=甲班未参加人数的​+乙班未参加人数 ‌（6）甲班未参加人数-甲班未参加人数的​= +乙班未参加人数-乙班未参加人数的 （7）得到：甲班未参加人数的​=乙班未参加人数的 （8）甲班为参加人数：乙班为参加人数=：=8：9= 【答案】 1.在一个城市中,中学生数是居民的，大学生数是中学生数的,那么占大学生总数的的理工科大学生是居民数的几分之几? 2.甲、乙两个相同的瓶子装满酒精溶液，甲瓶中酒精与乙瓶中水的体积之比是3:2,而乙瓶中酒精与甲瓶中水的体积之比是5:3,甲、乙两瓶中酒精的体积比是多少? 3.在一群人中,如果去了15名女生,那么剩下的男、女人数比为2:1,在这之后,如果去了45名男生,那么剩下的男、女人数比为1:5,原先有多少名女生? 共20题 满分100分 测试时间：70分钟 一、填空题 1. 一个长方体的棱长总和是400厘米,长、宽、高的比是5:3:2,这个长方体的表面积是 平方厘米，体积是 立方分米。 2.已知一个等腰三角形的周长是40厘米,有两条边的长度比是1:2,底边长 。 3.有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝合而成的,黑皮可看做正五边形,白皮可看做正六边形,每块白皮有三条边和黑皮缝在一起,则黑皮有 块。 4.甲书架上的书是乙书架上的,两个书架上各增加154本书后,甲书架上的书是乙书架上的,甲、乙两书架上原来各有 、 本书， 5. 三个分数的和是3,它们的分母相同,分子的比是2:3:4,求最小的分数是 。 6. 有三批货物共价值 152万元,第一、第二、第三批货物的重量比为2:4:3,单价比为6:5:2,这三批货物分别价值 万元、 万元和 万元。 7. 甲、乙两名同学的积分同样多,甲给乙 10分,甲、乙两人的积分之比是2:3。那么甲原来有 分。 8.甲加工组与乙加工组的人数比为5:3,从甲组调14人到乙组,现在甲组与乙组的人数比是1:2。两个组原来各有 人。 9. 欧欧和小美进行百米赛跑,第一局,欧欧一路领先抵达终点时,小美距离终点还差10米;第二局,把欧欧的起跑线向后移动了10米,若两人的速度保持不变,则第二局胜的 是 。 10. 甲、乙两个长方形的周长相等,甲的长与宽的比是7:5,乙的长与宽的比是2:1,则甲、乙两个长方形的面积之比为 。 二，解决问题 11.大、小两个圆的面积比为9:1,周长相差12.56厘米,大、小两个圆的面积之和是多少？ 12. 甲、乙两个容积相同的瓶子分别装满盐水,已知甲瓶中盐、水的比是2:9,乙瓶中盐、水的比是3:10，现在把甲、乙两瓶盐水混合在一起,则混合盐水中,盐与盐水的比是多少？ 13. 甲、乙两个容积相同的瓶子里装满了酒精溶液,甲瓶中酒精和水的比是3:1,乙瓶中酒精和水的比是5:1。若把两瓶酒精溶液混合后,酒精与水的比是多少? 14.车过河需缴渡河费3元,马过河需缴渡河费2元人过河需缴渡河费1元。某天过河的车和马的数目之比为2:9,马和人的数目之比是3:7,共收得渡河费945元。求这天渡河的车、马、人的数目各是多少? 15. 甲、乙两桶油共340千克,如果甲用去,乙用去后,两桶油剩下的重量相等,原来甲、乙两桶油各多少千克? 16. 甲、乙两人进行百米赛跑,当甲到达终点时,乙在甲后面 20 米。如果甲、乙两人的速度保持不变,要使甲乙两人同时到达终点，甲的起跑线要比原来向后移动多少米? 17. 甲堆煤比乙堆多20吨,如果甲堆运出64吨,乙堆运出32吨,则甲、乙两堆煤现在的吨数比是3:4,原来甲堆煤有多少吨? 18. 某商贩按大个鸡蛋每个1.80元,小个鸡蛋每个1.40元卖出了一批鸡蛋，共收入1070元。已知他卖出的大个鸡蛋与小个鸡蛋的个数之比是8:5。他卖出大个鸡蛋与小个鸡蛋各多少个? 19. 甲、乙两个筑路队合修一条公路,两队一起完工后共得工程款9.6万元。已知甲5天筑的路与乙7天筑的路一样多,若按工作量分配工程款,两队合修各分得多少元工程款? 20.某商店服装柜有A、B、C三种型号的影,单价的比为3:4:5,某日销售件数的比为8:9:12,销售总额为48000元。畑A 型 48 元/件,B型 64 元/件,C型80元/件。三种型号的衬衫各售出多少件？ 【巩固提升】参考答案 1.等腰三角形顶角与一个底角的比为5:2,它的顶角和底角各多少度？ 【答案】100°，40° 【解析】和比问题 根据等腰三角形的特点，可知顶角：底角：底角=5:2:2，三个角的度数之和为180度，按比分配求出顶角和底角。 解： 顶角为180°÷（5+2+2）×5=100° 底角为180°÷（5+2+2）×2=40° 2.一批冰箱,卖出18台,卖出的台数与剩下的台数比是3:2.求一共多少台冰箱? 【答案】30 【解析】单比问题（已知单一的量与两个量的比） 总数量：18÷3×（3+2）=30（台） 3.如图,一个正方形被分成3个相同的长方形,如果其中一个长方形的周长是16厘米，则正方形的周长是多少厘米? 【答案】24 【解析】和比问题 从图中可知，小长方形的长：宽=3:1 长+宽=16÷2=8（厘米） 长：8÷（3+1）×3=6（厘米） 正方形周长：6×4=24（厘米） 1.永和小学180名学生,分成三组去参加植树活动,已知第一小组与第二小组人数比是2:3,第二小组与第三小组人数比是3:5，这三个小组各有多少人? 【答案】36,54,90 【解析】 第一小组：第二小组=2:3 第二小组：第三小组=3:5 合并为第一小组：第二小组：第三小组=2:3:5 每份人数：180÷（2+3+5）=18（人） 第一小组：18×2=36（人） 第二小组：18×3=54（人） 第三小组：18×5=90（人） 2.学校新进了一批球,其中排球与篮球个数的比是9:10,足球与篮球个数比为5:8，已知篮球与排球共76个,求篮球比足球多多少个? 【答案】15 【解析】[10，8]=40 排球：篮球=9:10=36:40 足球：篮球=5:8=25:40 排球：篮球：足球=36:40:25 每份个数=76÷（36+40）=1（个） 篮球-足球=1×（40-25）=15（个） 3.长方体棱长之和是528分米,长与宽的比为2:1,宽与高的比为3:2,那么长方体的体积是多少? 【答案】66208立方分米 【解析】 长：宽=2:1=6:3 宽：高=3:2 长：宽：高=6:3:2 长+宽+高=528÷4=132（分米） 132÷（6+3+2）=12（分米） 长×宽×高=（12×6）×（12×3）×（12×2）=62208（立方分米） 1.加工一个零件,甲需3分钟,乙需3.5分钟,丙需4分钟,现在有1825个零件,如果规定同样的时间完成,那么甲、乙、丙各应加工多少个? 【答案】700,600,525 【解析】 甲、乙、丙工作效率之比为：：=28:24:21 每份个数：1825÷（28+24+21）=25（个） 甲：25×28=700（个） 乙：25×24=600（个） 丙：25×21=525（个） 2.加工一个零件,甲需4分钟,乙需4.5分钟,丙需5分钟,现有2420个零件需要加工,如果规定三人在同一时间内完成,那么，他们各应加工多少个零件? 【答案】900,800，720 【解析】 甲、乙、丙工作效率之比为：：=45:40:36 每份个数：2420÷（45+40+36）=20（个） 甲：20×45=900（个） 乙：20×40=800（个） 丙：20×36=720（个） 3.育才小学六年级学生分三批去参观科技馆,第一批和第二批人数比为5:4,第二批和第三批人数比是3:2,已知第一批比第二、三批的人数总和少15人,求六年级去科技馆参观的有多少人? 【答案】105 【解析】连比 第一批：第二批=5:4=15:12 第二批：第三批=3:2=12:8 第一批：第二批：第三批=15:12:8 每份的人数：15÷（12+8-15）=3（人） 总人数：3×（15+12+8）=105（人） 1.上、下两层书架放书本数比为4:3,如果从上层取出80本放到下层,则本数比为4:5,那么上、下两层书架原来分别放有图书多少本? 【答案】360，270 【解析】 总本数：80÷（-）=630（本） 上层本数：630÷（4+3）×4=360（本） 下层本数：630-360=270（本） 2.甲、乙两个建筑队,原有水泥重量比为4:3,当甲队给乙队54吨水泥后,甲、乙两队水泥重量之比为3:4,甲、乙两队原有水泥各多少吨? 【答案】216,162 【解析】 总吨数：54÷（-）=630（本）=378（本） 甲队水泥吨数：378×=216（吨） 乙堆水泥吨数：378-216=162（吨） 3.小明读一本书,已读的和未读的页数比为1:5,如果再读30页,则已读的和未读的页数比为3:5,这本书共多少页? 【答案】144 【解析】 30÷（-）=144（页） 1.两个相同的杯子装满酒精溶液,一个瓶中酒精与水的体积比是 3:1,另一个瓶中酒精与水的体积比是2:1。若把两瓶酒精溶液混合,则混合后的酒精与水的体积之比是多少? 【答案】17:12 【解析】 酒精：水=（+）：（+）=17:12 2.有两杯一样重的盐水,第一杯中盐与盐水的比是4:5,第二杯中盐与盐水的比2:7。若把这两杯盐水混合,混合溶液中盐与水的比是多少? 【答案】1:2 【解析】 盐：水=（+）：（+）=1:2 3.将一批零件平均分给甲、乙两人完成。甲已完成的与剩下的比是2:3,乙已完成的与剩下的比是4:5。这批零件已完成的占总数量的几分之几? 【答案】 【解析】 += 1.学校图书室文艺书本数的是科技书本数的,科技书比文艺书多250本,文艺书有多少本? 【答案】150 【解析】差比 文艺书：科技书=：=3:8 250÷（8-3）×3=150（本） 2.盒子里有两种不同颜色的棋子,黑子颗数的等于白子颗数的,已知黑子和白子一共138 颗,两种棋子各有多少颗? 【答案】90,48 【解析】和比问题 黑：白=：=15:8 每份颗数：138÷（15+8）=6（颗） 黑子：15×6=90（颗） 白子：8×6=48（颗） 3.分数的分子、分母加上a以后,分子与分母的比为19:7,求a是多少? 【答案】9 【解析】差比问题 分子、分母加上a以后，分子与分母的差不变，为29-5=24 24÷（19-7）=2 a=7×2-5=9 1.兄弟两人每月收入的比是4:3,支出钱数的比是18:13,全月他们两个人都余360元,两个人每月收人各多少元? 【答案】600，450 【解析】 解：设兄弟两人每月收入是4x，3x元。 （4x-360）：（3x-360）=18:13 13（4x-360）=18（3x-360） 42x-4680=54x-6480 12x=1800 x=150 兄：4x=4×150=600（元） 弟：3x=3×150=450（元） 2.甲、乙两个建筑队原来水泥重量比是4:3,甲队取走20吨后，甲、乙两队水泥重量比上是16:15,原来甲队有多少吨水泥? 【答案】100 【解析】 解：设甲、乙两个建筑队原来水泥重量是4x吨，3x吨。 （4x-20）：3x=16:15 60x-300=48x 12x=300 x=25 甲队：4x=4×25=100（吨） 3.某校六(1)班有若千人,一次大课间活动,李老师先安排15名女生出去跳舞,这时教室里剩下的男、女生人数的比是5:2,接着又安排18名男生出去参加乒乓球训练,这时教室里剩下的男、女生人数的比是1:4。这所学校六(1)班原来有多少人? 【答案】43人 【解析】 解：设李老师先安排15名女生出去跳舞,这时教室里剩下的男、女生人数分别是5x人，2x人。 （5x-18）:2x=1:4 2x=20x-72 18x=72 X=4 原来全班人数：5x+2x+15=7x+15=7×4+15=43（人） 1.某校原有科技书、文艺书共630本,其中科技书与文艺书的比是1:4,后来又买进一些科技书,这时科技书与文艺书的比是3:7，后来又买进多少本科技书? 【答案】90本 【解析】 630÷（1+4）=126（本） 科技书：126×1=126（本） 文艺书：126×4=504（本）文艺书本数不变 买进科技书本数：504÷7×3-126=90（本） 2.一个等腰三角形一个顶角与一个底角的比是5:2,它的顶角是多少度? 【答案】100° 【解析】 180°÷（5+2+2）×5=100° 3.一段路,分为上坡、平路、下坡三段,各段路程长的比依次是1:2:3,某人走这三段路所用时间比依次是4:5:6。已知他上坡时速度是每小时走3千米,路程全长50千米,此人走完全程用了多少时间? 【分析】 （1）全长50千米 （2）上坡、平路、下坡三段,各段路程长的比依次是1:2:3 （3）上坡路长：50÷（1+2+3）×1=（千米） （4）三段路所用时间比依次是4:5:6 （5）上坡路长时间：÷3=（小时） （6）总时间：÷4×（4+5+6）=（小时） 【答案】小时 1.三盒黑白棋中棋子总数相等,已知第一个盒子中黑子的枚数和第二个盒子中白子的枚数相等,第三个盒子中黑子的枚数是全部黑子枚数的,那么白子总枚数与全部棋子枚数的比是多少? 【答案】 【解析】 第一盒和第二盒的黑棋子占棋子总数的,又占全部黑子的1-=, 黑子×=棋子总数× 黑子：总数=：=5:9 即黑子占总数的，那么白子占总数的。 2.某校五年级三个班的人数相等,一班的男生人数和二班的女生人数相等,三班的男生人数是全部男生人数的,那么女生总人数与全年级人数的比是多少? 【答案】 【解析】 总人数×=男生人数×（1-） 男生：总人数=：=7:15 男生占全年级人数的，那么女生占年级人数的1-= 3.某校一年级共有9个班,每班人数相等,已知一班的男生人数比二、三两个班的女生总数多1人；四、五、六三个班的女生总人数比七、八、九三个班的男生总人数多1人，那么该校一年级中男、女人数比是多少? 【答案】5:4 【解析】 解: 设每班A人 （1）一班男-(二,三)班女=1; （2）一班男+一班女=A; （3）得出 1,2,3 班级女生和为A-1; ① （4）那么 1,2,3 班级男生和为3A-(A-1)=2A+1; ② （5）四五六女生--七八九男生=1 （6）四五六女生+四五六男生=3A; （7）得出，四五六男+七八九男生= 3A-1 ③ （8）那么四五六女+七八九女生和为6A-(3A-1)=3A+1; ④ （9）故男女生比例为 [②+③]:[①+④]=(2A+1)+(3A-1):(A-1)+(3A+1)=5A:4A=5:4 1.在一个城市中,中学生数是居民的，大学生数是中学生数的,那么占大学生总数的的理工科大学生是居民数的几分之几? 【答案】 【解析】 中学生：居民=1:5=4:20 大学生：中学生=1:4 大学生：居民=1:20 1×÷20= 2.甲、乙两个相同的瓶子装满酒精溶液，甲瓶中酒精与乙瓶中水的体积之比是3:2,而乙瓶中酒精与甲瓶中水的体积之比是5:3,甲、乙两瓶中酒精的体积比是多少? 【答案】6:5 【解析】 甲瓶中酒精与乙瓶中水的体积之比是3:2， 乙瓶中酒精与甲瓶中水的体积之比是5:3， 甲酒精+甲水=乙酒精+乙水 甲酒精+乙酒精=乙酒精+甲酒精 甲酒精=乙酒精 甲酒精：乙酒精=：=6:5 3.在一群人中,如果去了15名女生,那么剩下的男、女人数比为2:1,在这之后,如果去了45名男生,那么剩下的男、女人数比为1:5,原先有多少名女生? 【答案】40 【解析】 后面女生人数：45÷（-）=45÷=25（人） 原来女生人数：25+15=40（人） 【综合测试】参考答案 （共20题 满分100分 测试时间：70分钟） 一、填空题 1. 一个长方体的棱长总和是400厘米,长、宽、高的比是5:3:2,这个长方体的表面积是 平方厘米，体积是 立方分米。 【答案】6200,30 【解析】400÷4=100（厘米） 100÷（5+3+2）=10（厘米） 长：10×5=50（厘米） 宽：10×3=30（厘米） 高：10×2=20（厘米） 表面积：（50×30+50×20+30×20）×2=6200（平方厘米） 体积：50×30×20=30000（立方厘米）=30立方分米 2.已知一个等腰三角形的周长是40厘米,有两条边的长度比是1:2,底边长 。 【答案】8厘米 【解析】考查按比分配和三角形三边关系 排除三边之比为1:1:2（不符合三边关系） 三边之比为1:2:2 底边：40÷（1+2+2）×1=8（厘米） 3.有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝合而成的,黑皮可看做正五边形,白皮可看做正六边形,每块白皮有三条边和黑皮缝在一起,则黑皮有 块。 【答案】12 【解析】因每块白皮有三条边和黑皮连在一起，所以黑皮的边数可以根据白皮的边数确定；另外黑皮的边数还可以根据一块黑皮有5条边，n块黑皮就有5n条边来确定，根据黑皮的边数一定，列方程即可。 解：设白皮有x块，则黑皮有（32-x）块， 依题意可列方程为： 3x=5（32-x）， 3x=160-5x， 8x=160， x=20． 32-20=12（块）． 答：黑皮有12块． 列方程解应用题的关键是寻找正确的等量关系。 4.甲书架上的书是乙书架上的,两个书架上各增加154本书后,甲书架上的书是乙书架上的,甲、乙两书架上原来各有 、 本书， 【答案】44,77 【解析】差不变 乙-甲： 154÷（-） =154÷ =33（本） 甲：33×=44（本） 乙：44÷=77（本） 5. 三个分数的和是3,它们的分母相同,分子的比是2:3:4,求最小的分数是 。 【答案】 【解析】和比问题 3= 27÷（2+3+4）=3 最小分数：= 6. 有三批货物共价值 152万元,第一、第二、第三批货物的重量比为2:4:3,单价比为6:5:2,这三批货物分别价值 万元、 万元和 万元。 【答案】48,80,24 【解析】复比问题 它们的总价之比为（2×6）：（4×5）：（3×2）=6:10:3 152÷（6+10+3）=8 三批货物价值依次为：8×6=48（万元），8×10=80（元），8×3=24（万元） 7. 甲、乙两名同学的积分同样多,甲给乙 10分,甲、乙两人的积分之比是2:3。那么甲原来有 分。 【答案】 【解析】差比问题 甲、乙两名同学的积分同样多,甲给乙10分后，乙比甲多10×2=20（分） 20÷（3-2）×（3+2）÷2=50（分） 8.甲加工组与乙加工组的人数比为5:3,从甲组调14人到乙组,现在甲组与乙组的人数比是1:2。两个组原来各有 人。 【答案】30,18 【解析】和不变 甲+乙： 14÷（-） =14÷ =48（人） 甲：48×=30（人） 乙：48×=18（人） 9. 欧欧和小美进行百米赛跑,第一局,欧欧一路领先抵达终点时,小美距离终点还差10米；第二局,把欧欧的起跑线向后移动了10米,若两人的速度保持不变,则第二局胜的 是 。 【答案】欧欧 【解析】 欧欧与小美速度比为100：（100-10）=10:9 （100+10）÷10×9=99（米） 99＜100 答：欧欧获胜 10. 甲、乙两个长方形的周长相等,甲的长与宽的比是7:5,乙的长与宽的比是2:1,则甲、乙两个长方形的面积之比为 。 【答案】35:32 【解析】两个相等的单位1 甲的面积：×= 乙的面积：×= ：=35:32 答：35:32 二，解决问题 11.大、小两个圆的面积比为9:1,周长相差12.56厘米,大、小两个圆的面积之和是多少？ 【答案】25.12平方厘米 【解析】先求出两个圆的周长比，再按比分配周长 大、小两个圆的面积比为9:1=（3×3）：（1×1） 大、小两个圆的周长比为3:1 面积和：12.56÷（3-1）×（3+1）=25.12（平方厘米） 12. 甲、乙两个容积相同的瓶子分别装满盐水,已知甲瓶中盐、水的比是2:9,乙瓶中盐、水的比是3:10，现在把甲、乙两瓶盐水混合在一起,则混合盐水中,盐与盐水的比是多少？ 【答案】59:256 【解析】两个单位1相等 盐：盐水=（+）:2=59:286 13. 甲、乙两个容积相同的瓶子里装满了酒精溶液,甲瓶中酒精和水的比是3:1,乙瓶中酒精和水的比是5:1。若把两瓶酒精溶液混合后,酒精与水的比是多少? 【答案】19:5 【解析】 （+）：（+） =19:5 14.车过河需缴渡河费3元,马过河需缴渡河费2元,人过河需缴渡河费1元。某天过河的车和马的数目之比为2:9,马和人的数目之比是3:7,共收得渡河费945元。求这天渡河的车、马、人的数目各是多少? 【答案】42,189,1327 【解析】复比问题 车：马=2:9 马：人=3:7=9:21 数目比为车：马：人=2:9:21 单价比为车：马：人=3:2:1 总价比为车：马：人=（2×3）:（9×2）:（1×21）=2:6:7 945÷（2+6+7）=63（元） 车辆数目：63×2÷3=42（辆） 马的数目：63×6÷2=189（只） 人的数目：63×21÷1=1327（人） 15. 甲、乙两桶油共340千克,如果甲用去,乙用去后,两桶油剩下的重量相等,原来甲、乙两桶油各多少千克? 【答案】180,160 【解析】∵剩下的重量相等 ∴甲×（1-）=乙×（1-） 甲：乙=：=9:8 340÷（8+9）=20（千克） 甲：20×9=180（千克） 乙：20×8=160（千克） 16. 甲、乙两人进行百米赛跑,当甲到达终点时,乙在甲后面 20 米。如果甲、乙两人的速度保持不变,要使甲、乙两人同时到达终点，甲的起跑线要比原来向后移动多少米? 【答案】25米 【解析】 100：（100-20）=5:4 100÷4×5-100 =125-100 =25（米） 17.甲堆煤比乙堆多20吨,如果甲堆运出64吨,乙堆运出32吨,则甲、乙两堆煤现在的吨数比是3:4,原来甲堆煤有多少吨? 【答案】36 【解析】差比问题 现在甲比乙少差64-20-32=12（吨） 12÷（4-3）×3=36（吨） 18.某商贩按大个鸡蛋每个1.80元,小个鸡蛋每个1.40元卖出了一批鸡蛋，共收入1070元。已知他卖出的大个鸡蛋与小个鸡蛋的个数之比是8:5。他卖出大个鸡蛋与小个鸡蛋各多少个? 【答案】400,1800 【解析】 总价之比为（8×1.8）：（5×1.4）=14.4:7=72:35 1070÷（72+35）=10（个） 大鸡蛋个数：72×10÷1.8=400（个） 小鸡蛋个数：72×35÷1.4=1800（个） 19. 甲、乙两个筑路队合修一条公路,两队一起完工后共得工程款9.6万元。已知甲5天筑的路与乙7天筑的路一样多,若按工作量分配工程款,两队合修各分得多少元工程款? 【答案】5.6万元，4万元 【解析】 甲5天筑的路与乙7天筑的路一样多,则甲与乙的工作效率之比为7:5 同时做，工作效率之比与工作量成正比例，即工作量之比为7:5 9.6÷（7+5）=0.8（万元） 甲：0.8×7=5.6（万元） 乙：0.8×5=4（万元） 20.某商店服装柜有A、B、C三种型号的影,单价的比为3:4:5,某日销售件数的比为8:9:12,销售总额为48000元。畑A 型 48 元/件,B型 64 元/件,C80元/件。三种型号的衬衫各售出多少件？ 【答案】200,225,300 【解析】复比问题 总价比为（3×8）：（4×9）（5×12）=2:3:5 A型衬衫件数：48000÷（2+3+5）×2÷48=200（件） B型衬衫件数:48000÷(2+3+5)×3÷64=225（件） C型衬衫件数:48000÷(2+3+5)×5÷80=300（件） 14 学科网（北京）股份有限公司 $$