平面向量的基本定理与坐标表示讲义-2026届高三数学一轮复习

平面向量的基本定理与坐标表示 课前学习任务 一、必备知识 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，满足____，我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底． 2．向量的坐标运算 (1) 向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝____，λa＝____，|a|＝． (2) 向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝____． 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，则a，b共线⇔____． 4．“爪形三角形” 在△ABC中，D是BC上的点，且＝λ，则＝λ＋(1－λ)．特别地，若D为线段BC的中点，则＝＋． *5．奔驰定理 如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC＋S△PAC＋S△PAB·＝0． 　　 二、练基础 1．(人A必二P60习题T6)在下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝ 2．(人A必二P27练习T1改)在△ABC中，已知AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ 3．(人A必二P33练习T2)当x＝____时，a＝(2,3)与b＝(x，－6)共线． 4．(人A必二P33练习T1)已知a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则－2a＋4b＝____，4a＋3b＝____． 5．(人A必二P33练习T5)已知点O(0,0)，向量＝(2,3)，＝(6，－3)，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标为____． 课堂核心考点 考点一 平面向量基本定理的应用 例1　(1) 在平行四边形ABCD中，＝，＝，若＝m＋n，则m＋n＝(　　) A． B． C． D．1 (2) 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且＝，＝3，F为DE的中点，则＝(　　) A．－＋ B．＋ C．＋ D．＋ ． 变式1　(1) (多选)已知等腰梯形ABCD满足AB∥CD，AC与BD交于点P，且AB＝2CD＝2BC，则(　　) A．＝2 B．||＝3|| C．＝＋ D．＝＋ (2) 在正六边形ABCDEF中，用和表示，则＝(　　) A．－＋ B．－＋ C．－＋ D．－＋ 考点二 向量的坐标表示及运算 例2　(1) 已知点A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，＝，＝，求点E，F及向量的坐标． (2) 在平面直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图所示，已知|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分别求向量a，b的坐标． 变式2　已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，·＝5，2＝10． (1) 求点D的坐标； (2) 若点D在第二象限，试用，表示； (3) 设＝(m,2)，若(3＋)⊥，求的坐标． 考点三 向量共线的坐标表示 例3　(1)已知向量a＝(m，2m＋3)，b＝(1,4m＋1)，则“m＝－”是“a与b共线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 (2) 如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC和OB的交点P的坐标为____． 变式3　(1) 已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件 (2) 设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0．若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．9 课后提升练 1．(人A必二P30例5改编)已知□ABCD的三个顶点为A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为(　 　) A．(1,4) B．(1,5) C．(2,4) D．(2,5) 2．在□ABCD中，＝，＝2，＝x＋(1－x)，x∈R．若AP∥MN，则x＝(　　) A． B． C． D． 3(多选)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(－3,4)，则下列命题为真命题的是(　　) A．若a∥b，则tanθ＝－ B．若a⊥b，则sinθ＝ C．|a－b|的最大值为6 D．若a·(a－b)＝0，则|a－b|＝2 4．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝____． 答案解析 课前学习任务 1. a＝λ1e1＋λ2e2 2. (1) (x1－x2，y1－y2)　(λx1，λy1) (2) ② 3. x1y2＝x2y1 1. B　【解析】 对于A，因为零向量与任何向量平行，所以选项A中的两个向量不可以作为基底；对于B，e1＝(－1，2)与e2＝(5，7)对应坐标不成比例，两向量不共线，可以作为基底；对于C，e1＝(3，5)，e2＝(6，10)，e1＝e2，两向量共线，不可以作为基底；对于D，e1＝(2，－3)，e2＝，e1＝4e2，两向量共线，不可以作为基底． 2. A　【解析】 由题意知＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，则＝－. 3. －4　【解析】 因为a＝(2，3)，b＝(x，－6)，a∥b，所以2×(－6)－3x＝0，解得x＝－4，所以当x＝－4时，a与b共线． 4. (－6，－8)　(12，5)　【解析】 因为a＝(3，2)，b＝(0，－1)，所以－2a＋4b＝－2(3，2)＋4(0，－1)＝(－6，－4)＋(0，－4)＝(－6，－8)，4a＋3b＝4(3，2)＋3(0，－1)＝(12，8)＋(0，－3)＝(12，5). 5. 或　【解析】 因为＝(2，3)，＝(6，－3)，所以＝－＝(4，－6).因为点P是线段AB的三等分点，所以＝＝或＝＝，所以＝＋＝＋＝(2，3)＋＝或＝＋＝＋＝(2，3)＋＝，故点P的坐标为(，－1)或(，1). 课堂核心考点 例1　(1) B　【解析】 如图，因为＝＝(＋)＝＝＝＋＝m＋n，所以m＝，n＝，所以m＋n＝. (例1(1)) (2) C　【解析】 因为F为DE的中点，所以＝(＋)，又＝，＝3，所以＝(＋)＝＋＝＋＋(－)＝＋. 变式1　(1) AC　【解析】 如图，因为AB∥CD，且AC与BD交于点P，所以△APB∽△CPD.又AB＝2CD＝2BC，则＝＝＝2，即AP＝2PC，PB＝2PD，则＝2，故A正确；又四边形ABCD是等腰梯形，故AP＝PB，即||＝2||，故B错误；由PB＝2PD，则＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故C正确；＝＝＝＋，故D错误． (变式1(1)) (2) B　【解析】 设正六边形的边长为2，如图，设AD与EC交于点O，则有OD＝1，AO＝3，所以＝＋＝(＋)＋(＋)＝－＋. 　　 (变式1(2)) 例2　【解答】(1) 设点E(a，b)，＝，即(a＋1，b)＝(2，2)，解得故E.设点F(c，d)，＝，即(c－3，d＋1)＝(－2，3)，解得故F，＝. (2) 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2).由于∠AOx＝45°，所以a1＝|a|cos 45°＝4×＝2，a2＝|a|sin 45°＝4×＝2.由已知可以求得向量b的方向相对于x轴正方向逆时针转角120°，所以b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，b2＝|b|sin 120°＝3×＝.故a＝(2，2)，b＝(－，). 变式2　【解答】 (1) 设D(x，y)，＝(1，2)，＝(x＋1，y).由题得即解得或所以点D的坐标为(－2，3)或(2，1). (2) 因为点D在第二象限，所以D(－2，3)，所以＝(－1，3).因为＝(－2，1)，设＝m＋n，则(－2，1)＝m(1，2)＋n(－1，3)，即有解得所以＝－＋. (3) 因为3＋＝3(1，2)＋(－2，1)＝(1，7)，＝(m，2)，(3＋)⊥，所以(3＋)·＝0，即m＋14＝0，解得m＝－14，所以＝(－14，2). 例3　(1) A　【解析】 若a与b共线，则m(4m＋1)－(2m＋3)＝0，解得m＝－或m＝1，所以“m＝－”是“a与b共线”的充分不必要条件． (2) (3，3)　【解析】 因为与共线，故设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝(4λ－4，4λ)，＝(2－4，6－0)＝(－2，6).由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝(4λ，4λ)＝(3，3).故点P的坐标是(3，3). 变式3　(1) C　【解析】 对于A，当a⊥b时，a·b＝0，所以 x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，所以必要性不成立，故A错误；对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对于B，当a∥b时，2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误． (2) D　【解析】 因为＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，所以＝(a－1，1)，＝(－b－1，2).又因为A，B，C三点共线，所以，共线，即2(a－1)＋(b＋1)＝0，得2a＋b＝1.又因为a>0，b>0，所以＋＝(2a＋b)＝＋＋5≥9，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，所以＋的最小值为9. 课后提升练 1. B 　【解析】 设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得故D(1，5). 2. C　【解析】 如图，因为＝，＝2，所以＝－＝－＝＋＝＋.又AP∥MN，所以＝λ＝λ＋λ＝x＋(1－x)，则解得λ＝，x＝. (第2题) 3.ACD　【解析】 对于A，因为a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－3，4)，a∥b，则4cos θ＝－3sin θ，解得tan θ＝－，故A正确；对于B，因为a⊥b，则－3cos θ＋4sin θ＝0，解得tan θ＝，所以＝，sin2θ＋cos2θ＝1，解得sin θ＝±，故B错误；对于C，因为|a|＝＝1，|b|＝＝5，而|a－b|≤|a|＋|b|＝6，当且仅当a，b反向时等号成立，此时4cosθ＝－3sin θ，sin2θ＋cos2θ＝1，解得或当sin θ＝，cos θ＝－时，a，b同向，舍去；当sin θ＝－，cos θ＝时，满足a，b反向，故C正确；对于D，若a·(a－b)＝0，则a2－a·b＝0，即cos2θ＋sin2θ＋3cosθ－4sin θ＝0，所以4sin θ－3cos θ＝1，则|a－b|＝＝＝＝＝2，故D正确． 4. －4　【解析】 根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(0，4)－(1，6)＝(－1，－2)，b＝(7，2)－(1，6)＝(6，－4)，c＝(2，0)－(7，2)＝(－5，－2)，所以λa＋μb＝λ(－1，－2)＋μ(6，－4)＝(－λ＋6μ，－2λ－4μ).因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以(－5，－2)＝(－λ＋6μ，－2λ－4μ)，所以解得所以＝－4. (第4题) 学科网（北京）股份有限公司 $$