专题01 有理数及其运算（专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题01 有理数及其运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、有理数的分类 1 题型二、相反数、绝对值、倒数 2 题型三、用数轴上的点表示有理数（常考点） 2 题型四、有理数的加法运算 3 题型五、有理数的减法运算 3 题型六、有理数的加减混合运算 4 题型七、有理数的乘法运算 4 题型八、有理数的乘方运算 5 题型九、有理数的除法运算 5 题型十、有理数的乘除运算（重点） 5 题型十一、有理数的混合运算（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、有理数的分类 1．把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 2．把下列各数填入相应的大括号里． ，，，，，， 整数集合：{            } 分数集合：{            } 正数集合：{            } 负数集合：{            } 3．把下列各数填入相应的集合里：，0，，3，，， ①正有理数集合：｛ ｝ ②负有理数集合：｛ ｝ ③分  数 集 合：｛ ｝ ④非负 数 集合：｛ ｝ ⑤非正整数集合：｛ ｝ 4．把下列各数分别填入相应的横线上： ，0，，，，，， 正有理数：______． 非负整数：______． 分数：______． 并用数轴上的点表示以上非正整数，用“”把这些非正整数连接起来． 题型二、相反数、绝对值、倒数 5． 的相反数是（ ） A． B． C． D． 6．下列各数中，与互为倒数的是（   ） A．2025 B． C． D． 7．下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 8． ， 题型三、用数轴上的点表示有理数（常考点） 9.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”将它们连接起来． 0，，，，， 10.在直线上表示下列各数：，2，，2.5，． 11.先在数轴上表示下列各数，再把它们按照从小到大的顺序排列，并用“”连接 3.5， ，， 0， 12.把下列各数用数轴上的点表示出来，并用“”号把它们连接起来：，2，0，，4． 题型四、有理数的加法运算 13．已知，且，求的相反数． 14．阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 15．计算： (1)； (2)． 题型五、有理数的减法运算 16．计算： (1)； (2)； (3)． 17．计算：． 18．计算 (1) (2) 19．已知，，回答下列问题： (1)由，，可得____________，____________； (2)若，求的值． 题型六、有理数的加减混合运算 20.学习情境·过程性纠错请指出下面计算错在哪一步（   ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 21.如图所示的手机截屏内容是某同学完成的作业，他的得分是 ． 姓名：_____________    得分：_____________ 计算（每小题25分，共100分）： ①； ②； ③； ④． 22.规定图形表示运算，图形表示运算，则＋= ．（直接写出答案） 题型七、有理数的乘法运算 24.张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）． A． B． C． 25.计算： ． 26.计算：． 27.脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ 题型八、有理数的乘方运算 28.在中，是正数的是（　　） A． B． C． D． 29.下列各组数中，运算结果相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 30.的底数是 ，指数是 ． 31.把“8”写成（a，n均为正整数）的形式是 ． 32.杨老师在黑板上写下“”，读作： ，计算的结果是 ． 33.相传，古印度有位国王很喜欢下国际象棋．有一天，他想要重赏国际象棋的发明者．发明者说∶“陛下，我不要您的重赏，只要您在我的棋盘上赏一些麦子就可以．在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2倍，直到放满第64个格子就行了．”国王觉得这个要求很容易满足，就欣然答应了．然而，当人们开始在棋盘上放麦粒时，国王才发现问题的严重性． 提问∶你知道是为什么吗？ 【思考1】 (1)边长为a的正方形的面积为___________ (2)棱长为a的正方体的体积为___________ (3)这两个过程有什么简单的写法吗？（类比单位的写法） (4)这种写法读作什么呢？ 题型九、有理数的除法运算 34.如果“”，那么“( )”．计算的结果是( )． 35.计算： ． 36.如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 37.将十进制数36化为七进制数为 ． 题型十、有理数的乘除运算 38.有一间客厅，用面积是36平方分米的方砖铺地，需要96块．如果改用边长是80厘米的方砖铺地，需要（    ）块 A．24 B．34 C．44 D．54 39.计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 40.《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的． A． B． C． D． 41.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．若只用到达，则平均速度为 ． 42.一辆变速自行车前轮有3种不同的齿数，后轮有4种不同的齿数，一共有 种组合，如果前轮有32齿，后轮有20齿，那么前轮转一圈，后轮转 圈． 43.如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 44.一个服装厂计划加工2480套服装，每天加工100套，工作了20天．提高工作效率后，每天可多加工20套．还要加工多少天才能完成任务？ 45.计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十一、有理数的混合运算 46.计算：； 47.计算： 48.计算： 49.计算： 50.如图所示，若输入的分数是，则输出的分数是 ． 51.如图，如果开始输入，那么最后输出的结果是 ． 1．（24-25七年级上·青海西宁·期中）在中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·中考）弹簧与单摆都是物理学中一个极具启发性的基础模型．在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统，在车船、机床、建筑、民生乃至航天工业中都有重要的应用．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列7个数，，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）实数，互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级上·广东深圳·期末）的相反数是 ． 6．（2025·湖南长沙·中考）郑州二七纪念塔高63米，共14层，是为了纪念1923年2月7日在郑州牺牲的工人运动领袖而建立的，象征着工人阶级不屈不挠的斗争精神．假期期间小余和妈妈在二七纪念塔3楼，若上2层到达5楼记为，10分钟后，他们到达1楼，可以记为 ． 7．（24-25七年级上·北京石景山·期中）若，则的值为 ；若，则是 数． 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是 ， 三、解答题 9．（24-25七年级上·河南商丘·期中）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 10．（24-25七年级上·重庆綦江·期末）已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示： (1)在数轴上表示出数，的相反数的位置； (2)若数与其相反数相距12个单位长度，则数表示的数是 ； (3)在（2）的条件下，若表示数的点与表示数的相反数的点相距3个单位长度，求数表示的数． 11．（24-25七年级上·宁夏·期中）在数轴上有三个点A，B，C，如图所示． (1)A点表示的数是 ，B点表示的数距离原点有 个单位长度． (2)在数轴上表示有理数和． (3)将点C向左平移2个单位得到数m，则表示数m的点与点A 的距离是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数及其运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、有理数的分类 1 题型二、相反数、绝对值、倒数 2 题型三、用数轴上的点表示有理数（常考点） 2 题型四、有理数的加法运算 3 题型五、有理数的减法运算 3 题型六、有理数的加减混合运算 4 题型七、有理数的乘法运算 4 题型八、有理数的乘方运算 5 题型九、有理数的除法运算 5 题型十、有理数的乘除运算（重点） 5 题型十一、有理数的混合运算（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、有理数的分类 1．把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 【答案】见解析 【分析】本题主要查了有理数的分类．根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：如图： 2．把下列各数填入相应的大括号里． ，，，，，， 整数集合：{            } 分数集合：{            } 正数集合：{            } 负数集合：{            } 【答案】整数集合：分数集合： 正数集合：负数集合： 【分析】先将各数据进行化简，然后按照整数、分数、正数、负数进行归纳即可． 【详解】解：由题意得 ，，，， 整数集合：，分数集合：， 正数集合：，负数集合：． 故答案为：整数集合：， 分数集合：， 正数集合：， 负数集合：． 【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键在于对整数，分数，正数以及负数概念的理解情况． 3．把下列各数填入相应的集合里：，0，，3，，， ①正有理数集合：｛ ｝ ②负有理数集合：｛ ｝ ③分  数 集 合：｛ ｝ ④非负 数 集合：｛ ｝ ⑤非正整数集合：｛ ｝ 【答案】，3；，，，；，，；0，，3；0，， 【分析】本题考查有理数的分类，根据正有理数、负有理数、分数、非负数、非正整数的定义进行判断即可． 【详解】解：①正有理数集合：｛，3， ｝ ②负有理数集合：｛，，，， ｝ ③分数集合：｛，，，｝ ④非负数集合：｛0，，3， ｝ ⑤非正整数集合：｛0，，，｝ 故答案为：，3；，，，；，，；0，，3；0，，． 4．把下列各数分别填入相应的横线上： ，0，，，，，， 正有理数：______． 非负整数：______． 分数：______． 并用数轴上的点表示以上非正整数，用“”把这些非正整数连接起来． 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值、有理数大小比较，根据正有理数、非负整数的概念求解可得，将数轴上的点表示以上非正整数，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：，，，， 正有理数：，，； 非负整数：0，； 分数：，，； 用数轴上的点表示以上非正整数如图所示： ， 由数轴可得：． 题型二、相反数、绝对值、倒数 5． 的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和求一个数的相反数，先计算，再根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】解：，则的相反数是， 故选：D． 6．下列各数中，与互为倒数的是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，解题的关键是掌握倒数的定义． 利用倒数的定义进行求解即可． 【详解】解：的倒数为2025， 故选：A． 7．下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用相反数的定义化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 8． ， 【答案】 2 【分析】本题考查的是化简绝对值及化简多重符号，熟练掌握绝对值性质及化简多重符号的方法是解题关键，根据绝对值及相反数定义直接计算即可． 【详解】解：； ； ； ， 故答案为：，，，． 题型三、用数轴上的点表示有理数（常考点） 9.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”将它们连接起来． 0，，，，， 【答案】数轴见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据数轴比较大小，熟练掌握以上知识点是解题的关键．直接利用已知数在数轴上表示，进而由右边的数比左边的数大比较大小得出答案． 【详解】解：如图所示，即为所求： 由数轴可知，用“”将它们连接起来为：． 10.在直线上表示下列各数：，2，，2.5，． 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可．熟练掌握用数轴表示有理数的方法是解题关键． 【详解】解：画出数轴并在数轴上表示出各数如图所示： 11.先在数轴上表示下列各数，再把它们按照从小到大的顺序排列，并用“”连接 3.5， ，， 0， 【答案】数轴见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了有理数比较大小、数轴等知识点，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案，熟练掌握利用了数轴比较有理数的大小的方法是解决此题的关键． 【详解】解∶如图， 按照小到大排列，并用“<”连接如下： ． 12.把下列各数用数轴上的点表示出来，并用“”号把它们连接起来：，2，0，，4． 【答案】，图见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】在数轴上表示各个数，再比较即可． 本题考查了数轴和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 【详解】解：用数轴上的点表示如图所示， 由数轴可知：． 题型四、有理数的加法运算 13．已知，且，求的相反数． 【答案】或3 【分析】根据绝对值的性质，偶次方的性质可得a和b的值，再进一步可得的值，最后求出其相反数即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以或． 因为， 所以． 所以或． 因为，所以异号， 所以或． 当时，； 当时，． 故的相反数为或3． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，非负数的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 14．阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1） ， ； （2） ， ． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法法则和运算律的运用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． （2）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五、有理数的减法运算 16．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8； (2)0； (3)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算； （2）根据有理数的减法运算法则计算； （3）根据有理数的减法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 17．计算：． 【答案】6 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1.5 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）先化简绝对值，再计算减法即可； （2）先去括号，再计算加减即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 19．已知，，回答下列问题： (1)由，，可得____________，____________； (2)若，求的值． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】（）根据绝对值的意义即可求解； （）由（）得：，，根据确定出与的值，即可求出的值； 此题考查了有理数的减法及绝对值，正确理解绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（）得：，， ∵， ∴， 当，时，； 当，时，； 综上，或． 题型六、有理数的加减混合运算 20.学习情境·过程性纠错请指出下面计算错在哪一步（   ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，根据有理数的减法运算法则判断出②错误，然后进行计算即可得解，熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解决此题的关键． 【详解】 ① ② ③ ④ ∴错在②的第二个括号内的运算， 故选：B． 21.如图所示的手机截屏内容是某同学完成的作业，他的得分是 ． 姓名：_____________    得分：_____________ 计算（每小题25分，共100分）： ①； ②； ③； ④． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟记运算法则是解题的关键．根据有理数的加减运算法则逐个计算判断即可． 【详解】①，正确， ，②错误． ③，③正确， ④，④正确， 故①③④正确，得分， 故答案为： 22.规定图形表示运算，图形表示运算，则＋= ．（直接写出答案） 【答案】0 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：0． 23.大家都知道，九点五十五分可以说成十点差五分．这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，198写成；7683写成，，总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义并熟练加以运用．先根据新定义计算出，再计算可得答案． 【详解】解：由题意知 ， 故选：A． 题型七、有理数的乘法运算 24.张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）． A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法运算的灵活应用，以及通过分解、转化等方法解决实际问题的能力，解题的关键是在避免直接使用数字“9”的情况下，等价表示．据题意，由于计算器的“9”键损坏，需将转换为不含数字9的表达式进行计算，同时验证各选项是否与原式等价． 【详解】解：选项A、，计算正确，故此选项不符合题意； 选项B、正确拆分应为，但选项B直接减去0.1，无法得到正确答案，故此选项符合题意； 选项C、根据乘法结合律，，计算正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 25.计算： ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，简便计算的方法，逆用乘法的分配律将原式变为，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：2025． 26.计算：． 【答案】 【分析】本题了考查逆用乘法分配律的运用．先把分数化为小数，再运用乘法分配律进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 27.脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ 【答案】；； 【分析】本题考查乘法交换律和结合律、拆分计算法、通过约分简化分数乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①根据乘法交换律把变成，再按顺序计算；②把改写成，然后根据加法交换律，加法结合律，把变成，再按顺序计算；③根据乘法交换律把变成，再按顺序计算． 【详解】解：① ② ③ ． 题型八、有理数的乘方运算 28.在中，是正数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，绝对值，正负数的定义，根据乘方法则，绝对值的意义分别计算各选项的值，判断其正负性即可． 【详解】解：； 故是正数的是； 故选D． 29.下列各组数中，运算结果相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘方，分别计算各选项中两个表达式的值，比较是否相等． 【详解】解：A.，，结果不相等，故选项A不符合题意； B.，，结果相等，故选项B符合题意； C.，，结果不相等，故选项C不符合题意； D.，，结果不相等，故选项D不符合题意； 故选：B． 30.的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数．根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：的底数是，指数是3． 故答案为：，3． 31.把“8”写成（a，n均为正整数）的形式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘方幂的概念理解，根据乘方的定义，底数是相同的因数，指数是相同因数的个数，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：或． 32.杨老师在黑板上写下“”，读作： ，计算的结果是 ． 【答案】 3的平方的相反数 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解,有理数的乘方运算，正确理解有理数的乘方运算法则是解题的关键．根据有理数幂的意义，即可正确解答，根据有理数的乘方运算法则即可计算结果． 【详解】解：“”，读作：3的平方的相反数； 故答案为：3的平方的相反数； ． 故答案为：． 33.相传，古印度有位国王很喜欢下国际象棋．有一天，他想要重赏国际象棋的发明者．发明者说∶“陛下，我不要您的重赏，只要您在我的棋盘上赏一些麦子就可以．在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2倍，直到放满第64个格子就行了．”国王觉得这个要求很容易满足，就欣然答应了．然而，当人们开始在棋盘上放麦粒时，国王才发现问题的严重性． 提问∶你知道是为什么吗？ 【思考1】 (1)边长为a的正方形的面积为___________ (2)棱长为a的正方体的体积为___________ (3)这两个过程有什么简单的写法吗？（类比单位的写法） (4)这种写法读作什么呢？ 【答案】(1) (2) (3)； (4)读作a的二次方；读作a的三次方． 【分析】本题主要查了有理数的乘方： （1）根据正方形的面积公式解答即可； （2）根据正方形的体积公式解答即可； （3）利用乘方的形式书写即可； （4）根据乘方读法解答即可． 【详解】（1）解：边长为a的正方形的面积为； 故答案为： （2）解：棱长为a的正方体的体积为； 故答案为： （3）解：这两个过程的简单的写法分别为；； （4）解：读作a的二次方；读作a的三次方． 题型九、有理数的除法运算 34.如果“”，那么“( )”．计算的结果是( )． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，倒数的定义，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）因为，，与互为倒数，所以的商和的商互为倒数，而C的倒数是，由此可得答案． （2）先将除数化成假分数，分子用相乘的形式表示，即，再把除法变成乘法求解即可． 【详解】解：（1）如果“”，那么“”； （2） ， 故答案为：，． 35.计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键； 根据有理数的除法法则计算即可求解； 【详解】解：； 故答案为： 36.如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法、除法运算法则，熟知两种运算的法则是正确解答此题的关键． 根据有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可作出判断． 【详解】解：， ，同为正或同为负， ， ，同为负，即：，； 故选：C． 37.将十进制数36化为七进制数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了进位制之间的转化，解题的关键是掌握“除k取余法”． 把所给的十进制数除以7，得到商和余数，继续除以7，直到商为0，把余数倒序写下来即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型十、有理数的乘除运算 38.有一间客厅，用面积是36平方分米的方砖铺地，需要96块．如果改用边长是80厘米的方砖铺地，需要（    ）块 A．24 B．34 C．44 D．54 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘除法计算的应用，先求出房间的面积，再用房间的面积除以边长为80厘米的方砖面积即可得到答案． 【详解】解：， 所以需要54块， 故选：D． 39.计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶C． 40.《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分数除法的计算方法，根据《九章算术》的方法，分数除以分数需先通分使分母相同，再将分子直接相除，熟练掌握通分和分子直接相除的方法是解题的关键．通过以上知识点，逐个选项进行分析，判断是否符合此步骤． 【详解】解：选项A：将分数转化为小数后计算，未通分，不符合题意； 选项B：通过乘以倒数计算，属于常规分数除法，未通分，不符合题意； 选项C：通过分子分母同乘一个数使除数变为1，属于商不变规律的应用，未通分成同分母，不符合题意； 选项D：将和通分为和，再直接相除分子9和8，完全符合题目所述方法； 故选：D． 41.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．若只用到达，则平均速度为 ． 【答案】120 【分析】本题主要考查了有理数乘除法的实际应用，根据路程等于速度乘以时间求出甲、乙两地的距离，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案． 【详解】解；， 所以平均速度为， 故答案为：120． 42.一辆变速自行车前轮有3种不同的齿数，后轮有4种不同的齿数，一共有 种组合，如果前轮有32齿，后轮有20齿，那么前轮转一圈，后轮转 圈． 【答案】 12 1.6 【分析】本题考查有理数的乘除，理解题意是解答的关键．根据每个前齿轮与4中后齿轮有4种搭配方法求解即可；再根据前后轮的齿数与其转的圈数的乘积相同列算式求解即可． 【详解】解：由题意，一共有（种）组合； 若前轮转一圈，则后轮转（圈）， 故答案为：12；1.6． 43.如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【详解】解：， ，输出； 故答案为：128． 44.一个服装厂计划加工2480套服装，每天加工100套，工作了20天．提高工作效率后，每天可多加工20套．还要加工多少天才能完成任务？ 【答案】还要加工4天才能完成任务 【分析】本题属于工程问题，需通过计算已完成的量和剩余量，结合提高后的工作效率，求出所需天数．解题的关键点在于准确计算剩余工作量及提高后的效率，并正确应用除法运算得出天数． 【详解】解：（天）． 答：还要加工4天才能完成任务． 45.计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将带分数化为假分数后与相乘并约分计算． （4）把带分数化为假分数，将除法变乘法后从左到右依次计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 题型十一、有理数的混合运算 46.计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解： ． 47.计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解： ． 48.计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案． 【详解】解： ． 49.计算： 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将带分数化为假分数，再计算乘方，然后计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号内运算． 【详解】解： 50.如图所示，若输入的分数是，则输出的分数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算．按照程序把3代入进行计算，若小于或等于，再代入计算即可求解． 【详解】解：当输入的数值为时，输出结果为： ． 故答案为：． 51.如图，如果开始输入，那么最后输出的结果是 ． 【答案】2 【分析】根据题意，得，当时，，继续代入计算， 当时，，解答即可． 本题考查了程序式的计算，正确理解程序式的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 当时，，继续代入计算， 当时，， 符合题意，输出2． 故答案为：2． 1．（24-25七年级上·青海西宁·期中）在中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据相反数和绝对值的定义化简后，再根据“负数小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”判断即可． 【详解】解：，，， 又， ， 即在中，最小的数是， 故选：B． 2．（2025·湖南长沙·中考）弹簧与单摆都是物理学中一个极具启发性的基础模型．在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统，在车船、机床、建筑、民生乃至航天工业中都有重要的应用．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数的应用，根据正负数是表示具有相反意义的量，结合题意求解即可． 【详解】解：若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作， 故选：A． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列7个数，，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是根据有理数的定义（整数和分数，即有限小数或无限循环小数），逐一判断各数是否属于有理数． 【详解】解：，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6）中， ：分数形式，属于有理数． 1.010010001：有限小数，属于有理数． ：分数形式，化为小数是无限循环小数，属于有理数． 0：整数，属于有理数． ：整数，属于有理数． ：有限小数，属于有理数． （每两个2之间依次多一个6）：虽然有一定规律，但无限不循环，属于无理数． 综上，前6个数均为有理数，共， 故选：D． 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）实数，互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数的定义，利用数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大逐项分析即可． 【详解】解：A．，互为相反数，，，，，故A错误； B．，互为相反数，，，故B错误； C．，互为相反数，，故C错误； D．，互为相反数，，，故D正确． 故选∶D． 二、填空题 5．（24-25七年级上·广东深圳·期末）的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数是， 故答案为： 6．（2025·湖南长沙·中考）郑州二七纪念塔高63米，共14层，是为了纪念1923年2月7日在郑州牺牲的工人运动领袖而建立的，象征着工人阶级不屈不挠的斗争精神．假期期间小余和妈妈在二七纪念塔3楼，若上2层到达5楼记为，10分钟后，他们到达1楼，可以记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若在3楼的基础上向上爬楼用“”表示，那么在3层的基础上下楼就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：假期期间小余和妈妈在二七纪念塔3楼，若上2层到达5楼记为，10分钟后，他们到达1楼，可以记为， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·北京石景山·期中）若，则的值为 ；若，则是 数． 【答案】 非正 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键，根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解： 若，则的值为， 若，则是非正数， 故答案为：，非正． 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是 ， 【答案】1或5 【分析】本题考查了数轴，利用数轴知识解答． 【详解】解：∵点A表示数3，且点A、B的距离为4， ∴， ∴点B表示数为7或， ∵C为线段 的中点 ∴ ， ， ∴点C在数轴上表示的数是1或5． 故答案为：1或5． 三、解答题 9．（24-25七年级上·河南商丘·期中）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 【答案】见解析 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意不是有理数．根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可． 【详解】解：正数集合…； 负分数集合…； 非负整数集合…； 有理数集合… 10．（24-25七年级上·重庆綦江·期末）已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示： (1)在数轴上表示出数，的相反数的位置； (2)若数与其相反数相距12个单位长度，则数表示的数是 ； (3)在（2）的条件下，若表示数的点与表示数的相反数的点相距3个单位长度，求数表示的数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)3 【分析】本题考查了数轴与相反数，掌握a的相反数为是解题的关键． （1）根据互为相反数的点到原点的距离相等在数轴上表示出，； （2）先得到b表示的点到原点的距离为6，然后根据数轴表示数的方法得到b表示的数； （3）由（2）得表示数的相反数为，再利用数a表示的点与数b的相反数表示的点相距3个单位长度，然后根据数轴表示数的方法得到a表示的数． 【详解】（1）解：数，的相反数的位置如图， （2）解：数与其相反数相距12个单位长度，则表示的点到原点的距离为6， 所以表示的数是； 故答案为：； （3）解：由（2）得表示数的相反数为， 而表示数的点与表示数的相反数的点相距3个单位长度，且， 所以表示的数是3． 故答案为：3． 11．（24-25七年级上·宁夏·期中）在数轴上有三个点A，B，C，如图所示． (1)A点表示的数是 ，B点表示的数距离原点有 个单位长度． (2)在数轴上表示有理数和． (3)将点C向左平移2个单位得到数m，则表示数m的点与点A 的距离是多少？ 【答案】(1)，2 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点．熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点是解题的关键． （1）根据在数轴上表示数进行作答即可； （2）在数轴上表示出有理数即可； （3）由数轴可知，点C表示的数为3，然后求解平移后点所对的数即可． 【详解】（1）解：由题意得：A点表示的数是， 由题意得：B点表示的数距离原点有2个单位长度， 故答案为：，2； （2）， 在数轴上表示有理数和，如下图： （3）由题意得：点C表示的数为3， ， ∴点C向左平移2个单位得到数m为1， ， 表示数m的点与点A 的距离是3 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$