1.2 提公因式法 课件2024-—2025学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

1.2 提公因式法 学习目标 1. 理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别 和联系；（重点） 2. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法 分解因式.（难点） 1.运用前面所学的知识填空： (1) m(a+b+c)= ； (2) (x+1)(x-1)= ； (3) (a+b)2 = . ma+mb+mc x2 -1 a2 +2ab+b2 (1) ma+mb+mc=( )( ) (2) x2 -1 =( )( ) (3) a2 +2ab+b2 =( )2 2.根据等式的性质填空： m a+b+c x+1 x-1 a+b 比一比，这些式子 有什么共同点？ 都是多项式化为几个整式的积的形式 旧知回顾 问题引入 如图，一块草坪被分成三部分，你能用不同的方式表示草坪的总面积吗？ a b c m 方法一：m(a + b + c) 方法二：ma + mb + mc m(a + b + c) = ma + mb + mc 整式乘法 ? 导入新课 定义： 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. x2-1 (x+1)(x-1) 因式分解 整式乘法 x2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征：左边是多项式， 右边是几个整式的乘积 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是方向相反的变形，即 在下列等式中，从左到右的变形哪些是因式分解，哪些不是的，不是的请说明为什么？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x2-1=(x+1)(x-1) (2x+1)2=4x2+4x+1 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式，而不是单项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 我是法官 探究新知：公因式 (1)分别找出多项式 ac+ bc3x2 +xmb2 + nb-b各项所含的相同因式 (2)尝试将它们写成几个因式的乘积，并与同伴进行交流。 请同学们类比1.5×2.3+1.5×3.7=1.5（2.3+3.7）的因式分解过程思考下列问题： 探究新知：公因式  ab+ bc各项所含的相同因式为：b 3x2 +x各项所含的相同因式为：x mb2 + nb-b各项所含的相同因式为：b 我们把多项式各项都含有的相同因式叫做这个多项式的公因式。 (1)分别找出多项式 ab+ bc3x2 +xmb2 + nb-b各项所含的相同因式 探究新知：公因式 (2)尝试将 ab+ bc3x2 +xmb2 + nb-b写成几个因式的乘积。  ab+ bc=b∙a+b ∙c=b(a+c) 3x2 +x=x ∙3x+x ∙ 1=x(3x+1) mb2 + nb-b=b ∙mb+b ∙n-b ∙1=b(mb+n-1) 原理：逆用单项式与多项式的乘法法则。 关键：找到公因式 确定公因式的方法“三定” ①定系数：各项系数的最大公因数. ②定字母：各项的相同字母 ③定指数：相同字母最低次幂. 重要结论：方法步骤 2x2+6x3=2x2∙1+ 2x2∙ 3x=2x2（1+ 3x） 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。 全部相同因式的积（提尽） 因式分解之基本方法—提公因式法 二 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式. 相同因式p 这个多项式有什么特点？ pa+pb+pc 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数： 2.定字母： 3.定指数： 公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 例 找 5x 3 y– 10 x 2y 2 的公因式. 系数：最大公约数 5 字母：相同的字母 x y 所以公因式是5x 2y 指数：相同字母的最低次幂 x的最低次数是 2， y的最低次数是1 火眼金睛 找一找：下列各多项式的公因式是什么？ 3 a a2 3mn -2xy (1) 3x + 6y (2) ab - 2ac (3) a2 - a3 (4) 9m2n - 6mn (5) - 6x2y - 8xy2 典例精析 (1) 8a3b2 + 12ab3c； 例2 把下列各式分解因式： 分析：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积. (2) 2a(b + c) - 3(b + c). 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 解：(1) 8a3b2 + 12ab3c = 4ab2 · 2a2 + 4ab2 · 3bc = 4ab2(2a2 + 3bc). 如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？ （另一个因式将是 2a2b + 3b2c， 它还有公因式是 b.） (2) 2a(b + c) - 3(b + c) = (b + c)(2a - 3). 如何检验因式分解 的结果是否正确？ （做整式乘法运算去检验.） 因式分解： (1) 3a3c2＋12ab3c； (2) a(3b－3c)＋3(c－b)； (3) (a＋b)(a－b)－a－b. 针对训练 (3) 原式＝(a＋b)(a－b－1). 解：(1) 原式＝3ac(a2c＋4b3). (2) 原式＝3(b－c)(a－1). 因式分解：12x2y + 18xy2. 解：原式 = 3xy(4x + 6y). 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式 2 注意：公因式要提尽. 正确解：原式 = 6xy(2x + 3y). 小明的解答有误吗？ 当堂检测 1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（　　） A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2 2.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（　　） A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 C D 3.把下列各式分解因式： (1)8m2n+2mn=_____________； (2)12xyz-9x2y2=_____________； (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=_____________； （4）-x3y3-x2y2-xy=_______________； (5)(x-y)2+y(y-x)=_____________. $$