精品解析：湖南省常德市2026届新高三上学期起点考试数学试题

常德市2026届高三起点考试试题卷 数学 命题人 注意事项： 1.本试卷共6页，其中试题卷4页，答题卡2页.满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确集合，再根据交集的概念求. 【详解】由，所以. 所以. 故选：D 2. 若复数（其中为虚数单位），则（ ） A. 2 B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先根据复数的乘法运算确定复数，在求复数的模. 方法二，根据复数模的性质，可求复数的模. 【详解】方法一：因为，所以. 方法二：因为，所以. 故选：C 3. 已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，则（ ） A. 14 B. 30 C. 42 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式计算即得 【详解】因为等差数列的首项，公差为， 所以 故选：B. 4. 双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，双曲线的渐近线方程为，其与直线垂直，可得，再根据双曲线中的关系，即可求解. 【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以渐近线为，且，所以， 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 5. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的一个零点 B. 是函数的极小值点 C. 是函数的极大值点 D. 函数在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】由图可知为导函数的图象，导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可. 【详解】根据导函数的图像可知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 可知是函数的极值点，不足以说明是函数零点. 因为函数在上单调递增，可知不是函数极小值点，也不是函数的极大值点， 所以ABC不正确，故D正确. 故选：D. 6. 将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为，则（ ） 111 001 011 010 000 111 110 111 101 010 000 101 011 010 001 011 100 101 001 011 A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可直接得到“连掷三次，恰出现1次反面朝上”的概率；根据题中数据，列举出“连掷三次，恰出现1次反面朝上”所包含的情况，即可得出；即可的值. 【详解】由题意可得，将一枚质地均匀硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率； 由表中数据可得，“连掷三次，恰出现1次反面朝上”所包含的情况有：011，101，101，011，011，101，011共7组，所以. 所以. 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求得和得代入的展开式即得结果. 【详解】由得① 由，得，即② 所以，， 所以. 故选：C. 8. 将6名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生不安排到甲地且与学生不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为（ ） A. 260 B. 280 C. 360 D. 390 【答案】A 【解析】 【分析】分三地分别有1人、1人、4人，人、人、人，各有2人三种情况讨论，在每种情况中用总数减去去甲地和、去同一个地方的情况数，再加上、去甲地的情况数，即可得到答案. 【详解】（1）三地分别有1人、1人、4人共有种； ①去甲地，如果甲地有人，则有种，如果甲地有人，则有种，所以去甲地共有种； ②、去同一个地方，有种； ③、去甲地，有种； 所以，三地分别有1人、1人、4人的情况下，符合题意的共有种； （2）三地分别有人、人、人共有种； ①去甲地，如果甲地有人，有种，如果甲地有人，有种，如果甲地人，有种，所以去甲地共有种； ②、去同一个地方，如果这个地方有人，有种，如果这个地方有人，有种，所以、去同一个地方共有种； ③、去甲地，如果甲地有2人，则有种，如果甲地有3人，则有种，所以、去甲地共有种； 所以，三地分别有人、人、人的情况下，共有种； （3）三地各有2人，共有种； ①去甲地，有种； ②、去同一个地方，有种； ③、去甲地，有种； 所以，三地各有2人的情况下，符合题意的共有种； 综上，符合题意的安排方案共有种， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆台，棱柱，正棱锥，棱台的定义判断. 【详解】对于A，以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台，否则不是，A错； 对于B，下面的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，B错； 对于C，底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥，C错； 对于D，棱台可以看作是用平行于棱锥的底面的平面截棱锥所得，因此它的各侧棱延长后必交于一点，D正确， 故选：ABC. 10. 下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先用偶函数的定义判断各选项，再通过举反例或利用导数判断其在上的单调性即可. 【详解】对于A，，定义域为，， 所以是偶函数，且在上单调递增，故A正确； 对于B，，定义域为，， 所以是偶函数，当时， 令得，即在上单调递减，故B不正确； 对于C，，定义域为，， 所以是偶函数，， 所以上不单调递增，故C不正确； 对于D，，定义域为，， 所以是偶函数，当时，，恒成立， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：AD. 11. 已知随机事件发生的概率满足，且事件与互斥，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与相互独立 C. D. 若与相互独立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥得到，由计算可判断A；根据求出，结合的值可判断B；由A与互斥，得与互斥，求得可判断C；由与相互独立，可求，再结合求得，根据条件概率公式求得即可判断D. 【详解】对于A，与互斥，故，，则，故A正确； 对于B，，即，故，故，与相互独立，B正确； 对于C，A与互斥，故与互斥，故，C错误； 对于D，因为与相互独立，， 又，∴， ∴，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】将平方，用数量积的运算律展开结合即可得解. 【详解】∵ ∴ 由平方，得， ∴ 故答案为： 13. 二项式的展开式中，含项的系数是_____．（用数字作答） 【答案】84 【解析】 【分析】由二项式定理求解. 【详解】二项展开式通项公式为， 所以的系数为，即， 故答案为：84. 14. 某种食品的袋装质量服从正态分布，随机抽取10000袋，则袋装质量在区间的约有_____袋．（质量单位：） 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】8186 【解析】 【分析】先结合正态分布的性质求，再求即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 由. 故答案为：8186 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，求： （1）“所选3人中女生人数”概率； （2）的分布列、均值与方差． 【答案】（1） （2）分布列见解析，， 【解析】 【分析】（1）分和两种情况求得概率之和； （2）根据超几何分布求得概率，从而求得分布列、均值和方差. 【小问1详解】 “所选3人中女生人数”的概率. 【小问2详解】 因为从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，随机变量表示所选3人中女生的人数， 所以的可能取值为0，1，2 ，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以.， . 16. 在中，已知分别为三个内角的对边，且． （1）求角； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式将化成，结合角的取值范围，可求角. （2）利用余弦定理，结合基本不等式，可求的最大值，再利用三角形的面积公式，可求三角形面积的最大值. 【小问1详解】 因为，所以 又因为. 所以，故. 【小问2详解】 由余弦定理，，所以． 又因为，所以，即. 当且仅当时取等号． 所以面积. 所以面积的最大值为. 17. 已知椭圆是椭圆的左、右顶点，点是椭圆上的任意一点（不与重合），直线与直线的斜率分别为． （1）证明：直线与直线的斜率之积为定值； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由在椭圆上直接计算可得； （2）结合（1）可求得点坐标，再结合顶点坐标，可得三角形面积. 【小问1详解】 由题意，设点， 则， 又由点在椭圆上，可得，即， 所以，即直线与直线的斜率之积为定值； （说明：直接由二级结论得结果，给2分） 【小问2详解】 因为，解得：或， 当时，则，解得， 同理当时，解得， 所以的面积. 18. 如图，四棱锥中，为正三角形，，， 为线段的中点． （1）在平面内，过点作平面的平行线，并证明； （2）若，证明：平面平面； （3）若四点在以为半径的球面上，求四棱锥的体积． 【答案】（1）作图及证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）作出直线，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定，结合勾股定理的逆定理推理得证. （3）延长至，建立空间直角坐标系，求出点到平面的距离，进而求出锥体的体积. 【小问1详解】 如图，连接，直线即为直线， 取的中点，连接，则， 而，则， 四边形为平行四边形，因此，又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 由，且，得， 又为正三角形，则， 又，则，， 而，于是，又平面， 则直线平面，又平面， 所以平面平面. 【小问3详解】 延长至，使得，即，连接， 又，则四边形为正方形，连接， 过点作平面，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由四点在以为半径的球面上，由球的性质知球心在轴上，设点， 于是，解得，即， 又为正三角形，连接，则， 又平面， 于是平面，点在坐标平面内，设点，又， 则， 解得，因此四棱锥的高， 直角梯形的面积， 所以四棱锥的体积． 19. 设函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； （3）设，点是函数与的一个交点，且函数与在点处的切线互相垂直，求证：存在唯一的满足题意，且． 【答案】（1）（2）（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，根据直线方程的点斜式可得结果； （2）将问题转化为对任意的恒成立，令，求导后，对分类讨论，利用导数可求得结果； （3）根据导数的几何意义求出函数与在点处的切线的斜率，再根据切线垂直可得，根据点是函数与的一个交点，可得，消去可得，构造函数，利用导数可证结论成立. 【详解】（1）当时，，， ，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，，则， 当时，因为，所以， 所以，不合题意； 当时，因为，所以，所以， 所以在上单调递增， 故要使对任意的恒成立，只需， 即，得. 所以的取值范围为. （3）因为，， 且函数与在点处的切线互相垂直， 所以，即，① 又点是函数与的一个交点，所以，② 联立①②消去得，即 当，因为，所以，且，这与②式相矛盾， 所以在上没有满足题意； 当时，设， 则， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上至多有一个零点， 因为， ， 因为函数图象在连续不断， 所以函数在上有唯一一个零点， 即只有唯一的， 使得成立，且， 综上所述：存在唯一的满足题意，且． 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查了利用导数研究函数的零点问题，考查了两条直线垂直的斜率关系，考查了零点存在性定理，考查了分类讨论思想，考查了等价转化思想，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常德市2026届高三起点考试试题卷 数学 命题人 注意事项： 1.本试卷共6页，其中试题卷4页，答题卡2页.满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（其中为虚数单位），则（ ） A. 2 B. C. D. 10 3. 已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，则（ ） A. 14 B. 30 C. 42 D. 60 4. 双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的一个零点 B. 是函数的极小值点 C. 是函数的极大值点 D. 函数区间上单调递增 6. 将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为，则（ ） 111 001 011 010 000 111 110 111 101 010 000 101 011 010 001 011 100 101 001 011 A. B. C. D. 0 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 将6名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生不安排到甲地且与学生不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为（ ） A. 260 B. 280 C. 360 D. 390 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 10. 下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知随机事件发生的概率满足，且事件与互斥，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与相互独立 C. D. 若与相互独立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，则_____． 13. 二项式的展开式中，含项的系数是_____．（用数字作答） 14. 某种食品的袋装质量服从正态分布，随机抽取10000袋，则袋装质量在区间的约有_____袋．（质量单位：） 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，求： （1）“所选3人中女生人数”概率； （2）的分布列、均值与方差． 16. 在中，已知分别为三个内角的对边，且． （1）求角； （2）若，求面积最大值． 17. 已知椭圆是椭圆左、右顶点，点是椭圆上的任意一点（不与重合），直线与直线的斜率分别为． （1）证明：直线与直线的斜率之积为定值； （2）若，求的面积． 18. 如图，四棱锥中，为正三角形，，， 为线段的中点． （1）在平面内，过点作平面的平行线，并证明； （2）若，证明：平面平面； （3）若四点在以为半径的球面上，求四棱锥的体积． 19. 设函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； （3）设，点是函数与一个交点，且函数与在点处的切线互相垂直，求证：存在唯一的满足题意，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$