精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2024—2025学年 高三上学期开学考试数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知某质点从直角坐标系xOy中的点出发，沿以O为圆心，2为半径的圆周作逆时针方向的匀速圆周运动到达B点，若B在y轴上的射影为C，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列为等比数列，公比为q（），前n项和为，则“”是“数列是单调递增数列”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. △的三个内角，的对边分别为且，则角 A. B. C. D. 7. 若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 9. 已知函数是定义域为的单调函数，且满足对任意的，都有，则（ ） A. B. 若关于的方程（）有2个不相等的实数根，则 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围为 D. 若函数满足对任意的实数，且，都有成立，则实数的取值范围为 10. 已知函数的图象如图所示，点，在曲线上，若，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递减 11. 已知定义在上的函数的图象连续不间断，当，且当时，，则下列说法正确的是（） A. B. 在上单调递增，在上单调递减 C. 若，则 D. 若是在内的两个零点，且，则 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知函数若，则实数___________. 13. 我们知道对内任意的m，n，都有，且在上单调递增．设函数满足①对定义域内任意的m，n，都有②在上单调递减，写出满足以上两个条件的一个函数________． 14. 已知函数，若对任意，且，都有，则________． 四､解答题：本大题共 5 小题，共 80 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角所对的边分别是．已知，． （1）求角； （2）若是中上的一点，且满足，求与的面积之比的取值范围． 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）若，求的值； （3）若，点D在边AB上，，.求面积. 17. 已知函数. （1）证明：在上是减函数； （2）当时，求最大值和最小值． 18. 已知函数. （1）设，求函数的单调区间； （2）若，设为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为，证明：. 19 已知数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）记数列前项和为，求实数的值，使得数列是等差数列； （3）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中．如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”．判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省常德市汉寿县第一中学2024—2025学年 高三上学期开学考试数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定形式写出命题即可得解. 【详解】特称命题的否定方法是：“先改变量词，然后否定结论”， 即命题：“，”的否定是“，”. 故选：B. 【点睛】此题考查求特称命题的否定，关键在于熟练掌握特称命题的否定形式，按照要求进行改写. 2. 已知某质点从直角坐标系xOy中的点出发，沿以O为圆心，2为半径的圆周作逆时针方向的匀速圆周运动到达B点，若B在y轴上的射影为C，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数定义，代入运算整理． 【详解】设点得坐标为，根据三角函数定义可知：，则 ∴ 故选：C． 【点睛】 3. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式，结合特殊值，即可判断函数图象. 【详解】设，则， 故为上偶函数，故排除B． 又，，排除C、D． 故选：A． 【点睛】本题考查图象识别，注意从函数的奇偶性、单调性和特殊点函数值的正负等方面去判断，本题属于中档题. 4. 已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知有两个不等的实数解，转化为方程有两个实根，再次转化为的图象与有两个不同的交点，然后利用导数的单调区间，画出的图象，结合图象求解即可. 【详解】的定义域为，则， 因为有两个极值，所以有两个不等的实数解， 由，得， 令，， 则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以的图象如图所示， 由图可知当时，的图象与的图象有两个不同的交点，即有两个极值， 因为是的真子集， 所以“有两个极值”的一个必要不充分条件是， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的极值，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为两函数图象有两个交点，考查数形结合的思想，属于较难题. 5. 已知数列为等比数列，公比为q（），前n项和为，则“”是“数列是单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】解法一：通项法：若，则，所以或，． ①若，当时，是递增数列，所以是递增数列； 当时，是递减数列，所以是递增数列． ②若是递减数列，所以是递增数列． 所以“”是“数列是单调递增数列的充分条件． 若是单调递增数列，则，所以，因为， 所以，所以“”是“数列是单调递增数列”的必要条件． 由上可知：“”是“数列是单调递增数列”的充要条件． 解法二：定义法， 若是单调递增数列， 则，所以． 若，则 所以“”是“数列是单调递增数列”的充要条件故选：C 6. △的三个内角，的对边分别为且，则角 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 又A为三角形的内角， 则A=60°． 故选C 7. 若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，并利用导数研究其单调性，结合单调性可得恒成立，故，进而构造，求其最小值，即可求的最大值. 【详解】因为，，， 所以，即， 令， 则，所以在上单调递增， 由，可得，， 则恒成立，所以， 令，，令，得， 当，，在上单调递减， 在，，在单调递增， 所以，所以，解得， 所以的最大值为. 故选：C. 【点睛】本题解决的关键在于将条件不等式转化为两侧结构相同的形式，构造函数利用函数性质化简不等式， 再根据不等式与函数的关系将不等式恒成立问题转化为函数最值问题. 8. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出当时，的值域为.由题意可知，当时，有解，此时，所以，故，然后根据的单调性对分和两种情况进行讨论即可求解. 【详解】解：由题意，当时，， 又函数的值域是， 当时，有解，此时，所以，所以， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又， ①若，则，所以，此时，符合题意； ②若，则，所以，要使， 只须，即； 综上，. 故选：B. 二､多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 9. 已知函数是定义域为的单调函数，且满足对任意的，都有，则（ ） A. B. 若关于的方程（）有2个不相等的实数根，则 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围为 D. 若函数满足对任意的实数，且，都有成立，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用已知条件求出函数的解析式，选项A，将代入计算即可，选项B将根代入中化简即可，选项C由值域为任意实数得到满足条件的不等式，解出即可，选项D利用函数单调性建立不等式组解出即可. 【详解】令，则， 函数是定义域为的单调函数， 因为，所以，解得， 所以． 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：若关于的方程（）有2个不相等的实数根， 则，即， 因为，所以， 所以，故B选项正确； 对于选项C：函数的值域为， 则， 即或，故C不正确， 对于选项D：由函数满足对任意的实数， 且，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，故D选项正确， 故选：ABD. 10. 已知函数的图象如图所示，点，在曲线上，若，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两点间距离公式，结合正弦型函数的周期性、单调性、对称性逐一判断即可. 【详解】由图可知， 由，解得（负值舍去）， 所以，解得，A正确； 则，将点代入得，，即， 由于在的增区间上，且，所以，B错误； 因为，令，，解得，，取，则关于点对称，C正确； 令，，解得，，取，则在上单调递减，D错误. 故选：AC 11. 已知定义在上的函数的图象连续不间断，当，且当时，，则下列说法正确的是（） A. B. 在上单调递增，在上单调递减 C. 若，则 D. 若是在内的两个零点，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项，令，可求；选项，对两边求导，结合得，，可判断单调性；C选项，的大小关系进行分类讨论，利用函数单调性，证明不等式；D选项，证明，利用函数单调性，证明且，可得结论. 【详解】选项，令，则有，所以，故正确. 选项，对两边求导，得， 所以，代入， 得当时，，所以. 又因为，所以，. 因此，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故错误. C选项，对的大小关系进行分类讨论： ①当时，在上单调递减，所以，显然有； ②当时，在上单调递增，不符合题意； ③当时，当时，. 令， 又因为，所以， 因此. 因为，由的单调性得，. 故C正确. 选项，因为， 所以. 先证，即证，即， 只需证，即证. 事实上，，因此得证. 此时有. 因为，又，所以， 因为，又，所以. 综上，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知函数若，则实数___________. 【答案】2 【解析】 【分析】先计算，再计算即得解. 详解】解：，所以. 故答案为：2 13. 我们知道对内任意的m，n，都有，且在上单调递增．设函数满足①对定义域内任意的m，n，都有②在上单调递减，写出满足以上两个条件的一个函数________． 【答案】或（或者换成别的大于1的底数或者函数乘以一个正数）（答案不唯一） 【解析】 【分析】通过分析，结合题干和对数函数性质可以得到答案. 【详解】在上单调递减， 假设当定义域为，，， 根据，结合题干关系，可设函数为符合要求， 或者对于，也满足，在上单调递减. 故答案为：或（或者换成别的大于1的底数或者函数乘以一个正数）（答案不唯一） 14. 已知函数，若对任意，且，都有，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意可得在上单调递增，从而可得在上恒成立，从而可得在上恒成立，再证明在上恒成立，即可求解. 【详解】对任意且，都有， 不妨设，对任意且，都有， 对任意且，都有， 设，对任意且，都有， 在上单调递增， 在上恒成立， 在上恒成立， 显然时，在上不恒成立，， 在上恒成立， 在上恒成立， 又在上恒成立，证明如下: 设，， 当时，单调递减; 当时，单调递增， ，即， 在上恒成立， 故. 故答案为：4. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造得在上单调递增，再利用导数和分离参数法并利用经典不等式即可得到答案. 四､解答题：本大题共 5 小题，共 80 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角所对的边分别是．已知，． （1）求角； （2）若是中上的一点，且满足，求与的面积之比的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，即可求出，从而得解； （2）依题意可得平分，由面积公式得到，再由正弦定理将边化角，最后转化为关于的三角函数，由的范围求出函数的值域，即可得解. 【小问1详解】 ，， ， 又，， ，又，， 【小问2详解】 ，， ，即平分， 所以， 又，，且 ，，， ． 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C对边，且. （1）求A； （2）若，求的值； （3）若，点D在边AB上，，.求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理求解即可； (2)利用二倍角公式求解即可； (3)利用向量数量积运算求出b，利用面积公式即可求解； 【小问1详解】 由，得, 又因， 所以，， 即. 【小问2详解】 若，则， 则, 则; 【小问3详解】 由， 所以， 由（1）知，所以，所以在直角三角形中，， 如图 因为，所以, 平方得， 则， 所以直角三角形的面积. 17. 已知函数. （1）证明：在上是减函数； （2）当时，求的最大值和最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）最大值为1，最小值为-35 【解析】 【分析】（1）利用定义法或者导数法可以判定单调性； （2）结合单调性可知函数的最大值和最小值 【小问1详解】 方法一定义法：任取，则 所以，由，所以 即，所以在上是减函数 方法二导数法：，当时， 所以在上是减函数 【小问2详解】 由（1）可知，函数在单调递增，在单调递减， 所以，，所以 所以函数的最大值为1，最小值为-35 18. 已知函数. （1）设，求函数的单调区间； （2）若，设为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为，证明：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】分析：（1）先求导，再对a分类讨论，利用导数求函数的单调区间. （2）利用分析法证明. 详解：(1) , ①时， 定义域为 当时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递增； ②时，定义域为 当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减. （2） ，故在定义域上单调递增， 只需证，即证,（*） 因为，， 不妨设 ，则 . ，从而在上单调递减， 故，即（*）式成立. 点睛：本题的难点在第（2）问，由于综合法证明比较困难，所以本题利用了分析法解答.对于比较复杂的导数问题，大家在今后的学习中可以借鉴这种方法. 19. 已知数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求实数的值，使得数列是等差数列； （3）对于数列，规定为数列一阶差分数列，其中．如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”．判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明． 【答案】（1） （2） （3）数列是“绝对差异数列”，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得是以3为首项，2为公比的等比数列，结合通项公式化简可得数列成等差数列，首项为，公差为，从而得到数列的通项公式； （2）利用错位相减法求出，由等差数列得定义化简可得值； （3）由“绝对差异数列”得定义结合已知条件化简可得结论. 【小问1详解】 因为，所以． 因为，所以， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列． 于是， 所以，即， 所以数列成等差数列，其首项为，公差为． 于是， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 ， 所以． 因为 所以，所以． 当时，因为， 所以，所以数列是等差数列． 【小问3详解】 因为， 所以． 因为， 所以数列是递增数列， 所以数列是“绝对差异数列”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$