湖南省常德市2026届新高三上学期起点考试数学试题

常德市2026届高三起点考试试题卷 数学 命题人 注意事项： 1.本试卷共6页，其中试题卷4页，答题卡2页.满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（其中为虚数单位），则（ ） A. 2 B. C. D. 10 3. 已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，则（ ） A. 14 B. 30 C. 42 D. 60 4. 双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的一个零点 B. 是函数的极小值点 C. 是函数的极大值点 D. 函数在区间上单调递增 6. 将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为，则（ ） 111 001 011 010 000 111 110 111 101 010 000 101 011 010 001 011 100 101 001 011 A. B. C. D. 0 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 将6名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生不安排到甲地且与学生不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为（ ） A. 260 B. 280 C. 360 D. 390 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 10. 下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知随机事件发生的概率满足，且事件与互斥，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与相互独立 C. D. 若与相互独立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，则_____． 13. 二项式的展开式中，含项的系数是_____．（用数字作答） 14. 某种食品的袋装质量服从正态分布，随机抽取10000袋，则袋装质量在区间的约有_____袋．（质量单位：） 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，求： （1）“所选3人中女生人数”的概率； （2）的分布列、均值与方差． 16. 在中，已知分别为三个内角的对边，且． （1）求角； （2）若，求面积的最大值． 17. 已知椭圆是椭圆的左、右顶点，点是椭圆上的任意一点（不与重合），直线与直线的斜率分别为． （1）证明：直线与直线的斜率之积为定值； （2）若，求的面积． 18. 如图，四棱锥中，为正三角形，，， 为线段的中点． （1）在平面内，过点作平面的平行线，并证明； （2）若，证明：平面平面； （3）若四点在以为半径的球面上，求四棱锥的体积． 19. 设函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； （3）设，点是函数与的一个交点，且函数与在点处的切线互相垂直，求证：存在唯一的满足题意，且． 常德市2026届高三起点考试试题卷 数学 命题人 注意事项： 1.本试卷共6页，其中试题卷4页，答题卡2页.满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】84 【14题答案】 【答案】8186 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 ，， 【16题答案】 【答案】（1） （2）． 【17题答案】 【答案】（1） 证明：由题意，设点， 则， 又由点在椭圆上，可得，即， 所以，即直线与直线的斜率之积为定值； （2） 【18题答案】 【答案】（1） 如图，连接，直线即为直线， 取的中点，连接，则， 而，则， 四边形为平行四边形，因此，又平面平面， 所以平面. （2） 由，且，得， 又为正三角形，则， 又，则，， 而，于是，又平面， 则直线平面，又平面， 所以平面平面. （3）. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 证明：因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，，则， 当时，因为，所以， 所以，不合题意； 当时，因为，所以，所以， 所以在上单调递增， 故要使对任意的恒成立，只需， 即，得. 所以的取值范围为. 因为，， 且函数与在点处的切线互相垂直， 所以，即，① 又点是函数与的一个交点，所以，② 联立①②消去得，即 当，因为，所以，且，这与②式相矛盾， 所以在上没有满足题意； 当时，设， 则， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上至多有一个零点， 因为， ， 因为函数的图象在连续不断， 所以函数在上有唯一一个零点， 即只有唯一的， 使得成立，且， 综上所述：存在唯一的满足题意，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $