精品解析：福建省泉州第五中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

泉州五中2024-2025学年第二学期期末考试卷 高二数学 2025.7 满分150分，时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 2. 已知函数的图象如图所示，则（ ）． A. 0 B. l C. 2 D. 3. 已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的回归直线的斜率为3．则在新的经验回归方程下，样本的残差为（ ） A. B. C. 0.1 D. 0.2 4. 若随机变量，随机变量，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，学校安排A，B，C，D 4名学生去甲、乙、丙三个社区宣讲，每个学生去且只去一个社区，每个社区至少有1名学生，其中学生A不能去甲社区，则不同安排方式的总数是（ ） A. 20 B. 24 C. 32 D. 36 6. 某仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器，第一、二车间生产电器的产品比例为，已知第一车间的电器次品率为3％，第二车间的电器次品率为8％．今有一客户从电器仓库中随机提一台产品，设此产品是次品的概率为；若此产品是次品，则此次品来自第一车间的概率为，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知，则下列选项中错误的是（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 8. 若不等式对任意恒成立，则正实数t的最大值是（ ） A. B. e C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 向量共线的单位向量为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 点A到直线BC的距离为 10. 已知函数，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线方程为 C. 若方程有两个相异实根，，且，则实数m的值等于 D. 已知函数无最小值，则a的取值范围是 11. 甲乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷．下列选项中正确的是（ ） A. “甲乙两人各掷一次，所掷点数的差不超过3”的概率为 B. “在甲掷出6点后，乙下一次掷骰子掷出6点”的概率为 C. “首次连续2次出现6点时需掷骰子的次数”的期望为36 D. “甲先掷出6点”的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中的系数等于______. 13. 两封信随机投入三个空邮箱中，则邮箱的信件数的方差________. 14. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，它们的离心率分别为，，点为它们的一个交点，且，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年春节档一部国产动画电影《哪吒之魔童闹海》横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截至3月20日，该电影已进入全球票房榜前五．经权威电影机构调查，得到其前5周的票房数据如下表： 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 周次代码 l 2 3 4 5 票房总额/亿元 40 35 25 37 7 （1）求关于的线性回归方程； （2）该电影机构为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了90名观影人员，得到下表： 是否成年 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 40 50 成年人 10 40 合计 90 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年有关？ 附：①，， 在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，，； ②，其中． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 如图，在四棱台中，．底面ABCD为菱形，，点E为的中点．，连接AC、BD，设交点为O，连接． （1）求证：； （2）若，且二面角大小为60°，求三棱锥外接球的表面积． 17. 已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为．F为E的右焦点，P为E上一点，轴，的半径为PF． （1）求椭圆E和的方程； （2）若直线l：与交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由． 18. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．我校团委拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会．已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等． （1）若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为p， ①设，记甲同学答完前三道题得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望； ②若甲同学答完前四道题得8分的概率为，求甲同学答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； （2）若甲同学答对每道题的概率均为，因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时甲同学答题累计得分为2，记甲答题累计得分为n的概率为， （ⅰ）求证：是等比数列； （ⅱ）求的最大值． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求证：对任意实数，； （3）是否存在实数m，使得恒成立？若存在，求m的取值集合，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2024-2025学年第二学期期末考试卷 高二数学 2025.7 满分150分，时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比即可求得. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，， 得，整理得，解得， 所以. 故选：C 2. 已知函数的图象如图所示，则（ ）． A. 0 B. l C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定函数及图象，求出解析式，利用导数求出其极值点即可. 【详解】由图象知，是函数的3个零点，则， 求导得，是函数的两个极值点，即为函数的两个变号零点， 而，所以. 故选：D 3. 已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的回归直线的斜率为3．则在新的经验回归方程下，样本的残差为（ ） A. B. C. 0.1 D. 0.2 【答案】B 【解析】 【分析】利用线性回归方程必过样本中心点这个性质来求解，结合残差为实际值减去预测值，即可作出判断. 【详解】由回归直线方程为必过点，所以， 由于去掉两个样本点和后， 得到新的样本数据的平均数为： 因为新的回归直线的斜率为3，根据必过点， 可得回归直线方程为：，即， 当时，， 在新的经验回归方程下，样本的残差为， 故选：B. 4. 若随机变量，随机变量，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性，结合已知求出，进而求出及的值. 【详解】由，，得， 由，，得，解得， 所以. 故选：D 5. 为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，学校安排A，B，C，D 4名学生去甲、乙、丙三个社区宣讲，每个学生去且只去一个社区，每个社区至少有1名学生，其中学生A不能去甲社区，则不同安排方式的总数是（ ） A. 20 B. 24 C. 32 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知将4人分为1，1，2三组共计种分法，分好的组去三个社区，总共种分法；假设A必须去甲社区，则有两种分法:①三人去乙、丙两个社区或②三人去甲、乙、丙社区；所以总的安排方式为：. 【详解】A，B，C，D 4名学生去甲、乙、丙三个社区，每个社区至少有1名学生 可将4人分为1，1，2三组，共有种分法. 总分法为 令学生A必须去甲社区，则有两种分法:三人去乙、丙两个社区或三人去甲、乙、丙社区,则共有： 学生A不能去甲社区的不同安排方式为： 故选:B. 6. 某仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器，第一、二车间生产电器的产品比例为，已知第一车间的电器次品率为3％，第二车间的电器次品率为8％．今有一客户从电器仓库中随机提一台产品，设此产品是次品的概率为；若此产品是次品，则此次品来自第一车间的概率为，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算判断. 【详解】依题意，由全概率公式得， 由条件概率公式得. 故选：D 7. 已知，则下列选项中错误的是（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，求出分析判断AB；赋值计算判断CD. 【详解】展开式的通项公式为， 对于A，，A正确； 对于B，当时，，解得，当时， 即有，因此的最大值为，B正确； 对于C，当分别取时，，则，C错误； 对于D，当分别取时，，则， 而，因此，D正确. 故选：C 8. 若不等式对任意恒成立，则正实数t的最大值是（ ） A. B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知不等式变形得出，分、、三种情况讨论，解不等式，结合恒成立可求出的取值范围. 【详解】因为，，不等式， 令，求导得，当且仅当取等号，在上递增， 当时，，恒成立，则； 当时，，由，得或，此时或； 当时，，由恒成立，的取值集合为， 则，此时则，因此正实数t的取值范围是或， 所以的最大值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 向量共线的单位向量为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 点A到直线BC的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数量积为零判断向量垂直，判断选项A；根据向量除以模长求单位向量，判断选项B；根据投影向量公式：判断选项C；根据向量夹角公式，计算点A到直线BC的距离，判断选项D. 【详解】，， ，故，故A正确； ， ， 所求单位向量为：或，故B错误； ，， ，， ，故C正确； 由，可得， 所以点A到的距离为，故D错. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线方程为 C. 若方程有两个相异实根，，且，则实数m的值等于 D. 已知函数无最小值，则a的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】求出导数计算判断A；求出切线方程判断B；结合三次函数性质求出方程有2个根时的，再验证判断C；作出函数图象及直线，数形结合判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于A，，A正确； 对于B，，曲线在点处的切线方程为，B错误； 对于C，当或时，；当时，， 函数在上递增，函数值集合为，在上递减，函数值集合为， 在上递增，函数值集合为，方程， 当，即时，直线与曲线有两个交点，即方程有两个根， 当时，，解得，，则， 当时，，解得，，不符合题意， 因此方程有两个相异实根，，且，则实数m的值等于，C错误； 对于D，作出函数的图象与直线， 由图知，当时，函数有最小值；当时，函数有最小值， 当时，函数没有最小值，因此a的取值范围是，D正确. 故选：AD 11. 甲乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷．下列选项中正确的是（ ） A. “甲乙两人各掷一次，所掷点数的差不超过3”的概率为 B. “在甲掷出6点后，乙下一次掷骰子掷出6点”的概率为 C. “首次连续2次出现6点时需掷骰子的次数”的期望为36 D. “甲先掷出6点”的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用古典概率，结合对立事件的概率公式计算判断AB；设首次连续两次出现点的期望次数为，结合题意分析得出关于的方程，求解判断C；求出“甲第次首次掷出点，且在甲第次掷骰子前两人都没有掷出点”的概率，结合等比数列的求和公式判断D. 【详解】对于A，甲乙两人各掷一次共有36个不同结果， 点数差超过3的有，6个不同结果， 因此所掷点数的差不超过3”的概率为，A正确； 对于B，在甲掷出点后，乙下一次掷出点不受前面的影响，其概率为，B正确； 对于C，设首次连续两次出现点的期望次数为，若第一次没有掷出点，则需重新开始， 期望次数为；若第一次掷出点，第二次没有掷出点，则需重新开始， 期望次数为；若第一次、第二次都掷出点，则期望次数为， 则，解得，C错误； 对于D，设甲第次首次掷出点，且在甲第次掷骰子前两人都没有掷出点， 设其概率为，则，，则数列是首项为， 公比为的等比数列，数列的前项和为， 当时，，即“甲先掷出点”的概率为，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中的系数等于______. 【答案】-20 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为-1，从而得到的系数. 【详解】展开式的通项， 令得， 故展开式中的系数等于， 故答案为：. 13. 两封信随机投入三个空邮箱中，则邮箱的信件数的方差________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得的所有可能取值为0，1，2，然后分别求出其对应的概率，从而可求出数学期望，进而可求出方差 【详解】解：由题意可得的所有可能取值为0，1，2，则 ，，， 所以， 所以， 故答案为： 14. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，它们的离心率分别为，，点为它们的一个交点，且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的定义求出用表示，在中，根据余弦定理可得找到的关系，然后整理成离心率解决. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点， 则，，解得，，如图： 在中，根据余弦定理可得， 整理得，即， 设，，则有，， 所以，即有，所以， 所以， 设，则，且， 所以，因为在上单调递减， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年春节档一部国产动画电影《哪吒之魔童闹海》横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截至3月20日，该电影已进入全球票房榜前五．经权威电影机构调查，得到其前5周的票房数据如下表： 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 周次代码 l 2 3 4 5 票房总额/亿元 40 35 25 37 7 （1）求关于的线性回归方程； （2）该电影机构为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了90名观影人员，得到下表： 是否成年 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 40 50 成年人 10 40 合计 90 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年有关？ 附：①，， 在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，，； ②，其中． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） （2）列联表如下： 是否成年 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 10 40 50 成年人 10 30 40 合计 20 70 90 不能 【解析】 【分析】（1）由前5周的票房数据，分别求得，利用回归系数的公式和样本点的坐标，求得，即可得到所求的线性回归方程； （2）根据题意，得出列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论． 【小问1详解】 由前5周的票房，可得 ，， 又，， 所以， 则， 故所求的线性回归方程为. 【小问2详解】 由题意，未成年人总数为50，喜欢的有40人，则不喜欢的有10人； 成年人总数为40，不喜欢的有10人，则喜欢的有30人， 可得列联表如下： 是否成年 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 10 40 50 成年人 10 30 40 合计 20 70 90 所以 故依据小概率值的独立性检验，不能认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年有关． 16. 如图，在四棱台中，．底面ABCD为菱形，，点E为的中点．，连接AC、BD，设交点为O，连接． （1）求证：； （2）若，且二面角大小为60°，求三棱锥外接球的表面积． 【答案】（1）证明：由题可知，故四边形为平行四边形， 所以，又平面，故平面． 以菱形中心O为原点，为x轴正向，为y轴负向，z轴垂直于底面， 设，结合四棱台的性质，上底面为边长为的菱形，则 下底面：、、、， 上底面：设高度为h，则，，， 则，，得. 因为，， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）以菱形中心O为原点，为x轴正向，为y轴负向，z轴垂直于底面，设，列出各点坐标，得出，进一步证明； （2）设，根据法向量夹角余弦求出h，然后根据长方体的性质可得所求外接球的直径进而可得表面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故,，为直角三角形，二面角是平面与底面的夹角. 设，底面的法向量可取， 设平面法向量，又，，， 则，， 所以，令，则. 所以， 因为，解方程得：. 由长方体的性质可知三棱锥外接球直径就是以为三条棱的长方体的体对角线，故三棱锥外接球直径长为， 所以三棱锥外接球的表面积为. 17. 已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为．F为E的右焦点，P为E上一点，轴，的半径为PF． （1）求椭圆E和的方程； （2）若直线l：与交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由． 【答案】（1）椭圆的方程为，的方程为； （2） 由在圆上得，设，， 则，同理， 若，则，即， 因此， 由得， 因为， 所以， 于是，即，无解， 所以不存在k使. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出得椭圆的方程，再求出的方程. （2）设出、的坐标，求出、，根据条件得到，利用韦达定理代入即可得到结论． 【小问1详解】 设椭圆的方程为，由离心率，得， 由以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，得， 解得，椭圆的方程为：，， 由轴，得，所以的方程为：. 【小问2详解】 略 18. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．我校团委拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会．已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等． （1）若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为p， ①设，记甲同学答完前三道题得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望； ②若甲同学答完前四道题得8分的概率为，求甲同学答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； （2）若甲同学答对每道题的概率均为，因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时甲同学答题累计得分为2，记甲答题累计得分为n的概率为， （ⅰ）求证：是等比数列； （ⅱ）求的最大值． 【答案】（1）①随机变量X的分布列见解析，期望；② （2）（ⅰ）证明：对，得分n的递推： 最后一题答错（概率）：之前得分，故含； 最后一题答对（概率）：之前得分，故含. 即. 所以 初始项：，，故. 因此，是以为首项，为公比的等比数列. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）①已知答对概率，那么答错概率为，设答对题数为k，得分，依次计算出时的概率，得出随机变量X的分布列，并计算出期望；②已知甲得8分（连对4题）概率，得出答对每题的概率为，进一步计算出至少答对3题的概率. （2）（ⅰ）对，得分n进行递推，得出，计算，得出是以为首项，为公比的等比数列；（ⅱ）由差数列累加求和得： ，判断奇数项和偶数项的单调性，推出的最大值为. 【小问1详解】 ①已知答对概率，则答错概率.设答对题数为k，得分，故取值为3，4，5，6： 所以随机变量X的分布列为： X 3 4 5 6 P 期望. ②已知甲得8分（答对4题）概率为，得.则其至少答对3题的概率： 【小问2详解】 （ⅰ）略； （ⅱ）由差数列累加求和： ， 偶数项（）: 为负，正数，且随着n增大，正数减小，故为最大值； 奇数项（）：为正，正数，随着n增大，正数减小，趋近于0，故最大值趋近于. 综上，为最大值，计算，即最大值为. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求证：对任意实数，； （3）是否存在实数m，使得恒成立？若存在，求m的取值集合，若不存在，说明理由． 【答案】（1）递增区间，递减区间； （2）证明：令函数，求出得， 函数在上单调递增，则，即， 当时，， 当时， 所以对任意实数，. （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）求出，再利用导数求出单调区间. （2）利用导数证明，再分段结合利用和差化积及不等式性质推理得证. （3）设，利用导数分类讨论函数是否恒大于0. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 由，得，由，得， 所以的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 求导得，设， 求导得，设， 求导得，设，，， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，，则， ①时，，， 函数在R上递增，又，则当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在R上的最小值为，因此恒成立； ②时，， 当时，，在上单调递增， 若，则当时，，在单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 因此，不符合题意； 若，而函数在上单调递增且， 则存在，使得，则当时，， 在上单调递增，当时，， 在上单调递减，当时，， 函数在上单调递增，因此，不符合题意； ③时，， 当时，，在上单调递增， 若，则当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递减， 因此，不符合题意； 若，而函数在上单调递增且， 则存在，使得，则当时，， 在上单调递减，当时，， 在上单调递减，当时，， 函数在上单调递减，因此，不符合题意， 所以的取值集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $