福建省泉州第五中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

泉州五中2024-2025学年第二学期期末考试卷 高二数学 2025.7 满分150分，时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 2. 已知函数的图象如图所示，则（ ）． A. 0 B. l C. 2 D. 3. 已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的回归直线的斜率为3．则在新的经验回归方程下，样本的残差为（ ） A. B. C. 0.1 D. 0.2 4. 若随机变量，随机变量，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，学校安排A，B，C，D 4名学生去甲、乙、丙三个社区宣讲，每个学生去且只去一个社区，每个社区至少有1名学生，其中学生A不能去甲社区，则不同安排方式的总数是（ ） A. 20 B. 24 C. 32 D. 36 6. 某仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器，第一、二车间生产电器的产品比例为，已知第一车间的电器次品率为3％，第二车间的电器次品率为8％．今有一客户从电器仓库中随机提一台产品，设此产品是次品的概率为；若此产品是次品，则此次品来自第一车间的概率为，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知，则下列选项中错误的是（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 8. 若不等式对任意恒成立，则正实数t的最大值是（ ） A. B. e C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 向量共线的单位向量为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 点A到直线BC的距离为 10. 已知函数，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线方程为 C. 若方程有两个相异实根，，且，则实数m的值等于 D. 已知函数无最小值，则a的取值范围是 11. 甲乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷．下列选项中正确的是（ ） A. “甲乙两人各掷一次，所掷点数的差不超过3”的概率为 B. “在甲掷出6点后，乙下一次掷骰子掷出6点”的概率为 C. “首次连续2次出现6点时需掷骰子的次数”的期望为36 D. “甲先掷出6点”的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中的系数等于______. 13. 两封信随机投入三个空邮箱中，则邮箱的信件数的方差________. 14. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，它们的离心率分别为，，点为它们的一个交点，且，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年春节档一部国产动画电影《哪吒之魔童闹海》横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截至3月20日，该电影已进入全球票房榜前五．经权威电影机构调查，得到其前5周的票房数据如下表： 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 周次代码 l 2 3 4 5 票房总额/亿元 40 35 25 37 7 （1）求关于的线性回归方程； （2）该电影机构为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了90名观影人员，得到下表： 是否成年 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 40 50 成年人 10 40 合计 90 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年有关？ 附：①，， 在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，，； ②，其中． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 如图，在四棱台中，．底面ABCD为菱形，，点E为的中点．，连接AC、BD，设交点为O，连接． （1）求证：； （2）若，且二面角大小为60°，求三棱锥外接球的表面积． 17. 已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为．F为E的右焦点，P为E上一点，轴，的半径为PF． （1）求椭圆E和的方程； （2）若直线l：与交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由． 18. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．我校团委拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会．已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等． （1）若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为p， ①设，记甲同学答完前三道题得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望； ②若甲同学答完前四道题得8分的概率为，求甲同学答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； （2）若甲同学答对每道题的概率均为，因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时甲同学答题累计得分为2，记甲答题累计得分为n的概率为， （ⅰ）求证：是等比数列； （ⅱ）求的最大值． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求证：对任意实数，； （3）是否存在实数m，使得恒成立？若存在，求m的取值集合，若不存在，说明理由． 泉州五中2024-2025学年第二学期期末考试卷 高二数学 2025.7 满分150分，时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】-20 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）列联表如下： 是否成年 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 10 40 50 成年人 10 30 40 合计 20 70 90 不能 【16题答案】 【答案】（1）证明：由题可知，故四边形为平行四边形， 所以，又平面，故平面． 以菱形中心O为原点，为x轴正向，为y轴负向，z轴垂直于底面， 设，结合四棱台的性质，上底面为边长为的菱形，则 下底面：、、、， 上底面：设高度为h，则，，， 则，，得. 因为，， 故. （2） 【17题答案】 【答案】（1）椭圆的方程为，的方程为； （2） 由在圆上得，设，， 则，同理， 若，则，即， 因此， 由得， 因为， 所以， 于是，即，无解， 所以不存在k使. 【18题答案】 【答案】（1）①随机变量X的分布列见解析，期望；② （2）（ⅰ）证明：对，得分n的递推： 最后一题答错（概率）：之前得分，故含； 最后一题答对（概率）：之前得分，故含. 即. 所以 初始项：，，故. 因此，是以为首项，为公比的等比数列. （ⅱ） 【19题答案】 【答案】（1）递增区间，递减区间； （2）证明：令函数，求出得， 函数在上单调递增，则，即， 当时，， 当时， 所以对任意实数，. （3）存在，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $