同步微点进阶强化训练12 指对运算-2025-2026学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

强化练12    指对运算 一、单选择题 （24-25高一上·江苏徐州·期中） 1．已知，则（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B （2022·浙江卷） 2．已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 3．设，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用指对数互换和幂的运算性质求得，再利用对数运算性质求得，进而求得的值. 【详解】由，，得， 则，则，则， 则. 故选：B 4．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换底公式可得，结合对数运算性质分析求解. 【详解】根据换底公式有，， 可得，整理得. 故C正确，检验可知其他选项均不符合. 故选：C. （2023高一上·安徽·竞赛） 5．已知，，，，则（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 【答案】D 【分析】利用换底公式转化，再利用基本不等式与已知条件结合，得出结果. 【详解】∵，∴，即， 由基本不等式可知，又因为， 所以，即满足基本不等式取等条件，即， 故选：D. （24-25高三上·江西赣州·期中） 6．已知函数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，即，再利用基本不等式求解. 【详解】由，函数在上单调递增， ， 所以，即， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. （23-24高一上·浙江杭州·期中） 7．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，根据指数和对数的运算性质可得和是方程的根，又由和均大于可得，即可求解的值. 【详解】令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得， 令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得， 所以和是方程的根， 由解得， 又因为，均大于，且函数单调递减，所以，， 所以， 故选：B （2024·全国·模拟预测） 8．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指对数运算法则得到，，，从而利用对数函数的性质分析判断得，，从而得解. 【详解】， ，， 因为，则， 所以，即； 而，，所以， 所以，即； 综上：. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用与比较大小，利用与比较大小，从而得解. 二、多选择题 （24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中） 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A：根据可完成计算，注意正负； B：根据可完成计算； C：根据可完成计算； D：先计算出的值，再根据可完成计算. 【详解】A：因为，所以， 显然，所以，故正确； B：因为，故正确； C：因为，故正确； D：因为，所以，所以，所以，故错误； 故选：ABC. 10．下列运算中，正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】利用指数运算及指数式与对数式互化计算判断A；利用根式运算计算判断B；利用换底公式计算判断C；举例说明判断D作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，因，则，B正确； 对于C，因，则，C不正确； 对于D，当时，成立，但无意义，D不正确. 故选：AB （2023·河北石家庄·模拟预测） 11．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指对数的运算律，分析每个不等式，判断正误. 【详解】因为，所以，A错误； 因为，，所以，B正确； 因为，， 所以，C错误； 因为，所以，D正确. 故选：BD. 三、填空题： （24-25高三上·安徽合肥·阶段练习） 12． 【答案】 【分析】根据指数幂运算、对数运算法则化简求值即可得到结果. 【详解】 . 故答案为：. 13．函数，定义使为整数的数叫做“企盼数”，则在区间上这样的“企盼数”共有 个． 【答案】9 【分析】令，利用对数的换底公式可得，再根据题中定义即可求解. 【详解】令， 利用对数的换底公式可得, 得到． 要使成为“企盼数”，则，． 由于，即， 因为，，，可取． 因此在区间上这样的“企盼数”共有9个． 故答案为：9 （23-24高一上·湖南长沙·期末） 14．借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）.根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于 . 【答案】 【分析】由，结合题意可得，当越来越大时，会无限趋近于，会无限趋近于，即可得解. 【详解】， 由越来越大时，会无限趋近于， 故越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近， 又越来越大时会无限趋近于，故会无限趋近于， 故会无限趋近于. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键在于将转化为，通过越来越大，会无限趋近于，可得越来越大，亦会无限趋近于. 四、解答题. （24-25高一上·上海浦东新·期中） 15．（1）计算的值； （2）已知，比较与的大小 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）利用根式和分数指数幂运算法则得到答案； （2）作差法比较大小. 【详解】（1）； （2）， 故，当且仅当时，等号成立. 16．化简并求值． (1)若，，求的值； (2)设，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数的幂的运算可得答案； （2）由，构造出，再由幂的运算法则可得答案. 【详解】（1）原式 ． 当，时， 原式； （2）因为，所以， 所以． 所以． （2023高一上·山东滨州·竞赛） 17．（1）已知，，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）23 【分析】（1）令，则，结合已知整理可得.换元，有，求解可得出.同理可得.然后根据函数的单调性，得出，代入化简即可得出答案； （2）平方可得，再次平方可得.然后根据立方和公式展开，代入即可得出答案. 【详解】（1）令，则， 由已知可得，， 两边同时除以，整理可得， 所以有. 令，有， 解得（舍去负值）， 所以，即. 设，则， 由可得，， 两边同时除以，整理可得. 令，有， 解得（舍去负值）， 所以，即. 因为为R上的单调递增函数，且， 所以. 所以，. （2）因为， 所以，， 所以，， 所以， 所以，. 又， 所以，， 所以，. （24-25高一上·江苏徐州·期中） 18．我们知道，任何一个正实数都可以表示成．当时，记的整数部分的位数为，例如；当时，记的非有效数字的个数为，例如． (1)求，，并写出的表达式（不必写出过程）； (2)若，且取，求以及； (3)已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)3，1， (2)30，，31 (3)猜想，证明见解析 【分析】（1）由新定义得解； （2）利用对数化简，把表示，根据新定义得解； （3）猜想，利用新定义证明即可. 【详解】（1），， 由题意，当时，整数部分的位数为， 当时，的非有效数字的位数为， 所以 （2）由，则， 所以， 故，，. （3）猜想：， 当时，为正整数且不可能是10的倍数， 所以存在，使得，此时， 而，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：理解所给新的定义，运用所给定义是此类拓展型题目的解题关键，对能力要求较高. （23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末） 19．已知，函数，． (1)若，，求； (2)若，，求m； (3)若，，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析； 【分析】（1）根据指数与对数的运算法则计算即可； （2）利用函数解析式及指数与对数的运算法则消元转化计算即可； （3）利用函数解析式得出，作商得，根据换元法设，则，结合函数单调性计算即可证明. 【详解】（1）若，，则依题意， 所以； （2）若，，则，， 所以； （3）若，，则，， 所以， 设，则， 易知，设，显然在R上单调递增， 又，即恰有一个根， 故，得证. 【点睛】思路点睛：第一二问，均借助函数解析式结合指数对数的运算法则计算即可；第三问利用函数解析式得出，要证，显然作商可得结构，利用换元法设，得，借助函数的单调性计算即可证明. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、单选择题 （24-25高一上·江苏徐州·期中） 1．已知，则（    ） A．－1 B．1 C． D． （2022·浙江卷） 2．已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 3．设，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．设，则（    ） A． B． C． D． （2023高一上·安徽·竞赛） 5．已知，，，，则（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 （24-25高三上·江西赣州·期中） 6．已知函数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． （23-24高一上·浙江杭州·期中） 7．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． （2024·全国·模拟预测） 8．若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选择题 （24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中） 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．下列运算中，正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 （2023·河北石家庄·模拟预测） 11．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题： （24-25高三上·安徽合肥·阶段练习） 12． 13．函数，定义使为整数的数叫做“企盼数”，则在区间上这样的“企盼数”共有 个． （23-24高一上·湖南长沙·期末） 14．借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）.根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于 . 四、解答题. （24-25高一上·上海浦东新·期中） 15．（1）计算的值； （2）已知，比较与的大小 16．化简并求值． (1)若，，求的值； (2)设，求的值． （2023高一上·山东滨州·竞赛） 17．（1）已知，，求的值； （2）若，求的值. （24-25高一上·江苏徐州·期中） 18．我们知道，任何一个正实数都可以表示成．当时，记的整数部分的位数为，例如；当时，记的非有效数字的个数为，例如． (1)求，，并写出的表达式（不必写出过程）； (2)若，且取，求以及； (3)已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论． （23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末） 19．已知，函数，． (1)若，，求； (2)若，，求m； (3)若，，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$