同步微点进阶强化训练16 函数与方程（一）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

强化练 指数函数与对数函数 微点16    函数与方程（一） 一、单选择题 （24-25高一上·北京·期中） 1．下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的奇偶性以及函数的零点情况，即可得答案. 【详解】对于A，函数的定义域为R，，是偶函数，存在零点，A不是； 对于B，函数的定义域是，不是偶函数，B不是； 对于C，函数不是偶函数，C不是； 对于D，函数的定义域为R，，是偶函数，没有零点，D是. 故选：D （23-24高一上·四川达州·期中） 2．“”是“函数只有一个零点”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】在时，求函数的零点，判断充分性，由函数只有一个零点求，判断必要性，由此可得结论. 【详解】当时，函数只有一个零点； 当时，函数只有一个零点1； 若函数只有一个零点，则或． 所以“”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件． 故选：C. （24-25高一上·北京·期中） 3．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据给定的数表，利用零点存在性定理判断即得. 【详解】在上的函数的图象是连续不断的， 由数表知，， 因此函数在区间上分别至少有1个零点， 所以函数的零点个数至少为3个. 故选：C （24-25高一上·全国·课后作业） 4．已知a，b，c，d都是常数，，，若的零点为c，d，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出二次函数的图象即可判断、、、的大小关系﹒ 【详解】， 由解析式知，对称轴为， 因为为函数的零点，且，， 所以可在平面直角坐标系中作出函数的大致图象，    由图可知. 故选：D. （24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习） 5．设函数，则函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用换元法，，先解出时的值，然后再根据的图象，判断时，的个数. 【详解】因为，令， 则由，即，解得或或， 在同一平面直角坐标系中分别作出，，，的图象如图所示，    由图象可知与有1个交点，即有1个根， 与有3个交点，即有3个根， 与有2个交点，即有2个根， 所以函数的零点个数为个， 故选：C （23-24高一上·天津南开·期末） 6．定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得为定值，且，进而求得，将问题化为求的解的范围，利用对应函数的单调性，结合各项区间端点出函数值大小确定解的范围. 【详解】由题设为定值，且， 所以，则，易知，故， 由，则，显然在第一象限有一个交点， 又在上分别单调递增，单调递减， 由，，，故方程解在上. 故选：C （22-23高一上·北京·期末） 7．已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数对数函数图像数形结合即可得到，，的大小关系. 【详解】在同一平面直角坐标系内作出 的图像 过点；过点； 过点；过点， 则与图像交点横坐标依次增大， 又与图像 交点横坐标分别为，则. 故选：C （23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习） 8．已知是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对A：根据零点存在定理，即可判断零点范围；对B：，两边取对数，即可判断；对C：，结合的范围，即可得到，从而进行判断；对D：根据的范围，再结合指数函数单调性，即可判断. 【详解】均为单调增函数，故为单调增函数； 对A：因为，故，故A错误； 对B：因为，故，两边取对数可得，故B正确； 对C：，故，则，则，故C错误； 对D：因为，，故，则，，故D错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题A选项是所有选项中最重要的一个，需要根据零点存在定理，取求解的范围；对其它选项的处理关键是要灵活应用所学知识. 二、多选择题 （23-24高一上·辽宁辽阳·期中） 9．若函数恰有三个零点，则a的值可能为（    ） A．－1 B．6 C．1 D．2 【答案】BCD 【分析】根据函数解析式，在上有两个零点，在上有一个零点，则有，可得a可能的值. 【详解】函数恰有三个零点， 时，，函数有两个零点0和6， 则时，有一个零点，所以，即， BCD选项都符合. 故选：BCD （23-24高一上·四川南充·阶段练习） 10．已知为函数的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分析可知直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得出，利用基本不等式可判断ABC选项，利用特殊值法可判断D选项. 【详解】令可得，则直线与函数的图象有两个交点， 且这两个交点的横坐标分别为、，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 设，则，由，可得，解得， 由，可得，解得，所以，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，则，C对； 对于D选项，取，则，，D错. 故选：ABC. （23-24高一上·浙江杭州·期末） 11．函数，有且，则下列选项成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用对数性质判断选项A；再利用零点存在定理判断得，从而判断选项B、C、D. 【详解】因为有且 所以，即，得 所以，且 所以A正确 （因为）， 故即 ， 令 当时， 当时，， 而 故在之间必有解，所以存在，使得所以C正确 ，所以B不正确 ，所以D正确    故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、填空题： （23-24高一上·上海·期末） 12．方程的根，，则 ． 【答案】2020 【分析】将方程的根问题转化函数的零点所在区间求解，由，利用零点存在性定理可得. 【详解】设，. 因为， 且， 所以，又在单调递减， 由零点存在性定理可得，在有唯一零点. 即方程的根，即. 故答案为：. （23-24高一上·江西九江·期末） 13．已知函数，且时，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意画出图形，得出各自的范围以及关系，进一步即可求解. 【详解】    ， 结合图形可得，，， ∵，∴，∴， ∴，∴. 故答案为：. （24-25高一上·上海·阶段练习） 14．定义区间的长度均为，其中.已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为 ． 【答案】1 【分析】不等式变形为，分或和，两种情况，计算出，，设的两个根分别为，从而求出不等式的解集，得到区间长度，结合韦达定理，相加得到答案 【详解】， 当或时，不等式等价于， 即， 令， 则，， 设的两个根分别为， 由韦达定理得， 则，又或， 故的解集为 故满足的构成的区间的长度为， 当时，不等式等价于， 即， 同理可得，满足的构成的区间的长度为， 则满足的构成的区间的长度和为. 故答案为：1 四、解答题. （24-25高一上·广东东莞·期中） 15．已知二次函数满足，且，为上的奇函数，且当时，. (1)求函数在上的解析式，在给定的坐标系中画出的图象，并根据图象写出函数的单调增区间； (2)讨论关于的方程的根的个数. 【答案】(1)，作图见详解，的单调增区间为 (2)答案见详解 【分析】（1）设出解析式，根据题目条件得到方程组，求出，得到解析式；根据函数的奇偶性得到的解析式，从而画出函数图象；由图象写出函数的单调增区间； （2）在（1）的基础上，结合图象，讨论得到方程的根的个数. 【详解】（1）设二次函数，则， 因为， 故， 所以，解得，则， 所以； 当时，， 当时，，则， 为上的奇函数，故，， 故， 综上，， 画出函数图象如下： 函数的单调增区间为. （2）由图可知，，， 方程，即， 当，即时，或当，即时，方程有一个根； 当，即或时，方程有两个根； 当，即时，方程有三个根. （24-25高一上·浙江·期中） 16．设函数. (1)若，求证：在内存在零点； (2)若不等式的解集是，且时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，得到，从而，，分和讨论求解； （2）根据题意得到，且，是方程的两根，从而，，再根据时，恒成立，转化为在上恒成立求解. 【详解】（1）解：由， 即，， ， ， 当时，，由零点存在性定理知在上存在零点； 当时，则，是零点，此时存在零点； 综上在内存在零点. （2）依题意得，且，是方程的两根， 由韦达定理得，，， 所以， 依题意，得在上恒成立， 因为，，所以只需， 令，， 令，则，在上单调递增， 所以时，，   . 17．已知函数， (1)当时，求的单调递减区间； (2)若有三个零点，且求证： ① ②. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据题意去绝对值，然后根据二次函数的性质即可求解； （2）①根据题意可得当时不符合题意即，且进而得到，然后根据题意代入即可证明； ②根据题意和求根公式可得，，然后作差即可证明. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递增； 因此的单调递减区间为. （2）①， 当时，仅有一个零点，不合题意； 当时， 当时，在仅有一个零点，在没有零点，不合题意； 当时，在仅有一个零点，因为，所以在没有零点，不合题意； 因此，所以 在仅有一个零点，在有两个零点，，且当时； ，∴， ∵，∴， ∴，∵， ∴， 综上： ②由题意可知： ，， ∴ ， ∴. （24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习） 18．已知函数的定义域为D，若存在常数，使得对D内的任意x，都有，则称是“反比例对称函数”．设，． (1)判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (2)若函数与的图像恰有一个交点，求的值； 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据“反比例对称函数”的定义来进行判断. （2）由有一个解列方程，化简求得的值. 【详解】（1）是“反比例对称函数”，理由如下： 由题可知， 可知， 所以， 故是“反比例对称函数”． （2）由题可知，，此时， 因为函数与的图像恰有一个交点，即有一个解， 得， 令，得仅有一个解， 显然， 因为，则有， 要使仅有一个解， 只需，或（舍） 所以． 【点睛】方法点睛： 反比例对称函数的判断：通过对函数进行化简并运用反比例对称函数的定义，确认了函数是否满足对称条件，这部分依赖于对对数运算和函数对称性的理解. 交点求解：通过设定方程来求解，从而得到交点条件，这里利用了函数代数表达式的结合与化简，最终得到只有一个解的条件，从而确定的值. （24-25高一上·江苏苏州·期中） 19．已知函数是偶函数，． (1)求函数的零点； (2)若函数有零点，求实数的取值集合； (3)当时，函数与的值域相同，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义求得，然后求得，最后结合对数概念根据零点的定义求解即可. （2）由函数的解析式可得，再由换元法将函数零点问题转化为二次函数在某区间上与轴有交点，即可得到结果； （3）先根据基本不等式求得，再结合二次函数的单调性得为方程的两个根，结合复合函数的单调性，奇偶性即可得解. 【详解】（1）是偶函数， 则，即， ， 由的任意性得，即， ， ， 令，则或（舍去），即， 有一个零点为. （2）由（1）可知，则， 令可得， 令，当且仅当时，即时，等号成立， 即，即方程有实根， 即，，令，， 由对勾函数的单调性可知，单调递减，单调递增， 所以时，，所以. 则实数的取值集合为. （3）设当时，函数的值域为， 则函数的值域也为， 由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 令，则， 在区间上单调递增， 所以当时，的值域为， 即，则， 即为方程的两个根，解得， 所以当时，的值域为， 令，则， 在上单调递增，对勾函数在上单调递增， 由复合函数的单调性知，在上单调递增， 是偶函数，在上单调递减， 令，即，解得或， 即或， 故的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化练 指数函数与对数函数 微点16    函数与方程（一） 一、单选择题 （24-25高一上·北京·期中） 1．下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（   ） A． B． C． D． （23-24高一上·四川达州·期中） 2．“”是“函数只有一个零点”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 （24-25高一上·北京·期中） 3．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （24-25高一上·全国·课后作业） 4．已知a，b，c，d都是常数，，，若的零点为c，d，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． （24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习） 5．设函数，则函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 （23-24高一上·天津南开·期末） 6．定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（    ） A． B． C． D． （22-23高一上·北京·期末） 7．已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（    ） A． B． C． D． （23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习） 8．已知是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选择题 （23-24高一上·辽宁辽阳·期中） 9．若函数恰有三个零点，则a的值可能为（    ） A．－1 B．6 C．1 D．2 （23-24高一上·四川南充·阶段练习） 10．已知为函数的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． （23-24高一上·浙江杭州·期末） 11．函数，有且，则下列选项成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题： （23-24高一上·上海·期末） 12．方程的根，，则 ． （23-24高一上·江西九江·期末） 13．已知函数，且时，，则的取值范围是 . （24-25高一上·上海·阶段练习） 14．定义区间的长度均为，其中.已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为 ． 四、解答题. （24-25高一上·广东东莞·期中） 15．已知二次函数满足，且，为上的奇函数，且当时，. (1)求函数在上的解析式，在给定的坐标系中画出的图象，并根据图象写出函数的单调增区间； (2)讨论关于的方程的根的个数. （24-25高一上·浙江·期中） 16．设函数. (1)若，求证：在内存在零点； (2)若不等式的解集是，且时，恒成立，求的取值范围. 17．已知函数， (1)当时，求的单调递减区间； (2)若有三个零点，且求证： ① ②. （24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习） 18．已知函数的定义域为D，若存在常数，使得对D内的任意x，都有，则称是“反比例对称函数”．设，． (1)判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (2)若函数与的图像恰有一个交点，求的值； （24-25高一上·江苏苏州·期中） 19．已知函数是偶函数，． (1)求函数的零点； (2)若函数有零点，求实数的取值集合； (3)当时，函数与的值域相同，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$