精品解析：2025年山东省临沂市平邑县中考三模数学试题

2025年九年级综合训练模拟试题（三）数学 本试卷共8页．满分120分．考试时间120分钟．考试结束后将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（每小题3分，本题满分共30分）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下． 1. 一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为．则这四个零件中质量最差的是（ ） A. 第一个 B. 第二个 C. 第三个 D. 第四个 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 对称性揭示了自然秩序与和谐，是数学之美的体现．在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是（　　） A. 三叶玫瑰线 B. 笛卡尔心形线 C. 蝴蝶曲线 D. 四叶玫瑰线 4. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 如图，是的直径，弦交于点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况．实验数据记录如下表： …… 10 15 20 25 30 …… …… 45 30 225 18 15 …… 下列说法不正确是（ ） A. 弹簧测力计的示数与支点O的距离之间关系的图像如图 B. y与x的函数关系式为 C. 当弹簧测力计示数为时，弹簧测力计与O点的距离是37.5 D. 随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小 10. 在函数图象与性质的拓展课上，小明同学借助几何画板探索函数的图象，请你结合函数解析式的结构，分析他所得到的函数图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 代数式与代数式的值相等，则______． 12. 根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是______________． 13. 小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点出发，沿直线走6米后向左转，接着沿直线前进6米后，再向左转……如此下去，当他第一次回到点时，发现自己走了72米，的度数为___________． 14. 小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图1所示形状，并测得，接着活动学具成为图2形状所示，并测得，若图2中对角线cm，则图1中对角线的长为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上……当等边三角形翻滚2025次后点的对应点坐标是___________． 三、解答下列各题（75分） 16. （1）计算∶ （2）解不等式组 并写出该不等式组的整数解． 17. 如图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．、 （参考数据：） 18. 某校劳动实践小组为了解全校1800名学生参与家务劳动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告： 我市某校学生参与家务劳动情况调查报告 调查主题 学生参与家务劳动情况 调查方式 抽样调查 调查对象 学校学生 数据的收集、整理与描述 第一项 你日常家务劳动的参与程度是（单选） A．天天参与； B．经常参与； C．偶尔参与； D．几乎不参与． 第二项 你日常参与的家务劳动项目是（可多选） E．扫地抹桌； F．厨房帮厨； G．整理房间； H．洗晒衣服． 第三项 … … 调查结论 … 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）参与本次抽样调查的学生有__________人； （2）若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，求扇形统计图中选项“天天参与”对应扇形的圆心角度数； （3）估计该校1800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数； （4）如果你是该校学生，为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动，请你面向全体同学写出一条倡议． 19. 如图，在四边形中，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知菱形的对角线，点E、F分别是菱形的边、的中点，连接，若，求菱形的周长． 20. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若AB＝3，AC＝4，求线段PB的长． 21. 某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，两种水果的进价和售价如下： 品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 甲 a 5 乙 b 7 乙种水果的购进价格比甲种水果高2.5元/斤，如果水果经销店花费700元购进甲种水果，花费2400元购进乙种水果，则购进乙种水果的数量是甲种水果的2倍． （1）求a的值； （2）水果经销店每天购进两种水果共300斤，并在当天都销售完，其中销售甲种水果不少于80斤且不超过120斤，设每天销售甲种水果x斤，当天销售这两种水果总获利W元（销售过程中损耗不计）． ①求出W与x的函数关系式，并确定当天销售这两种水果的最大利润； ②周末水果经销店让利销售，将甲种水果售价降低m元/斤，为了保证当天销售这两种水果总获利的最小值不低于320元，求m的最大值． 22. 设二次函数（，是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： （1）若时，求二次函数的表达式； （2）当时，有最小值为，求的值； （3）若，求证：． 23. 如图 （1）【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是　 　； （2）如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）【拓展提升】如图，在（）的条件下，连接，则的最小值为　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级综合训练模拟试题（三）数学 本试卷共8页．满分120分．考试时间120分钟．考试结束后将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（每小题3分，本题满分共30分）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下． 1. 一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为．则这四个零件中质量最差的是（ ） A. 第一个 B. 第二个 C. 第三个 D. 第四个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的应用，绝对值，根据绝对值最大的是质量最差的可得答案． 【详解】解：∵， ∴的误差最大， ∴这四个零件中质量最差的是第二个． 故选：B． 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：4500000000=4.5×109， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现．在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是（　　） A. 三叶玫瑰线 B. 笛卡尔心形线 C. 蝴蝶曲线 D. 四叶玫瑰线 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 4. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．根据解答几何体的三视图的定义，画出从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：这个几何体的左视图为， 故选：C． 5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 6. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线，据此可得解． 【详解】解：由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线， ∴BD=CD=AC-AD=6-2=4， 故选：C 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一性质添加辅助线是解题的关键． 7. 如图，是的直径，弦交于点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，连接，先由直径所对的圆周角是直角得到，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可利用三角形外角的性质得到． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 8. 某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式算出重物上升的高度即可． 【详解】解：． 故选：B． 9. 如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况．实验数据记录如下表： …… 10 15 20 25 30 …… …… 45 30 22.5 18 15 …… 下列说法不正确的是（ ） A. 弹簧测力计的示数与支点O的距离之间关系的图像如图 B. y与x的函数关系式为 C. 当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是37.5 D. 随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小 【答案】C 【解析】 【分析】仔细观察表格，在坐标系中分别描出各点，并平滑曲线连接这些点，即可画出函数图像；观察所画图形，回想常见几种函数的图像特征，即可判断出函数类型，利用待定系数法求出函数关系式；把代入上面所得关系式求解，并根据函数的性质判断弹簧秤与O点的距离不断增大时的弹簧测力计示数变化情况． 【详解】解：由图像猜测y与x之间的函数关系为反比例函数． 所以设 把代入求得 ∴ 将其余各点代入验证均适合， ∴y与x的函数关系式为， 把代入得， ∴当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是， 随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小． 故选：C． 【点睛】此题考查的是反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 10. 在函数图象与性质的拓展课上，小明同学借助几何画板探索函数的图象，请你结合函数解析式的结构，分析他所得到的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的识别，分别求出当时，当时的函数解析式即可得到答案． 【详解】解：当时，，即此时是一个开口向上的二次函数， 当时，，即此时是一个开口向下的二次函数， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 代数式与代数式的值相等，则______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，去分母后，对整式方程进行求解，并对结果进行检验是解题的关键． 【详解】解：∵代数式与代数式的值相等， ∴， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 故答案为：． 12. 根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类．现有投放这四类垃圾垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾筒分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b， 画树状图如图： 共有12个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个， ∴分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知树状图的作法及概率的求解公式． 13. 小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点出发，沿直线走6米后向左转，接着沿直线前进6米后，再向左转……如此下去，当他第一次回到点时，发现自己走了72米，的度数为___________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和．小聪第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．计算这个正多边形的边数和外角即可． 【详解】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形， ∴多边形的边数为：． 根据多边形的外角和为， ∴他每次转过的角度． 故答案为：． 14. 小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图1所示形状，并测得，接着活动学具成为图2形状所示，并测得，若图2中对角线cm，则图1中对角线的长为___________． 【答案】cm 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理以及含的直角三角形的性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键． 根据勾股定理即可求得图2正方形边长，再根据菱形的性质和勾股定理即可求得图1中的长． 【详解】解：由题意可知，， ∴四边形是菱形（图1）， 当时，四边形是正方形（图2）， ∴图2中，， ∴在中， 由，， ∴， 在图1中，连接，交于，如图所示： ∵四边形是菱形（图1）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上……当等边三角形翻滚2025次后点的对应点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的翻转，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关键是通过实际操作理解等边经过第次翻转与第次翻转后点处在同一个点．先令，求得点与点的坐标，从而求出、、的长度，然后结合图形的翻转知道点经过次旋转后重新落在直线：上，第次旋转点的位置不变，再结合次一循环得到翻滚次后点的坐标． 【详解】解：把代入得：， 把代入得：， ∵直线l：与两坐标轴交于、两点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴，， 如图，等边经过第次翻转后， ∴， 而， ∴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∵， ∴， ， 等边经过第次翻转后，， 等边经过第次翻转后，点仍在点处， ∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位， ∵，第次与第次翻转后点处在同一个点， ∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位， ∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是， 故答案为：． 三、解答下列各题（75分） 16. （1）计算∶ （2）解不等式组 并写出该不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2），整数解是：，0，1 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算、实数的运算、以及不等式的解法，解题的关键是掌握基本的运算法则． （1）根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及零指数幂和负指数幂的性质即可解答本题． （2）根据不等式的解法解出不等式组的解集，再写出整数解即可． 【详解】解∶（1）原式 ； （2） 由①，得； 由②，得， 不等式组的解集是：， 不等式组的整数解是∶ ，0，1 17. 如图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．、 （参考数据：） 【答案】安装热水器的铁架水平横管的长度约为米 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用；过作于．求解（米）．（米），证明四边形是矩形．可得，求解（米），再进一步求解即可． 【详解】解：过作于． 在中，， 则（米）． 在中，， 则（米）， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， ∵米， ∴米， 在中，， 则（米）， ∴（米）， 答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米． 18. 某校劳动实践小组为了解全校1800名学生参与家务劳动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告： 我市某校学生参与家务劳动情况调查报告 调查主题 学生参与家务劳动情况 调查方式 抽样调查 调查对象 学校学生 数据的收集、整理与描述 第一项 你日常家务劳动的参与程度是（单选） A．天天参与； B．经常参与； C．偶尔参与； D．几乎不参与． 第二项 你日常参与的家务劳动项目是（可多选） E．扫地抹桌； F．厨房帮厨； G．整理房间； H．洗晒衣服． 第三项 … … 调查结论 … 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）参与本次抽样调查的学生有__________人； （2）若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，求扇形统计图中选项“天天参与”对应扇形的圆心角度数； （3）估计该校1800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数； （4）如果你是该校学生，为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动，请你面向全体同学写出一条倡议． 【答案】（1）200 （2） （3）1494人 （4）请各位同学们在家可以多帮助父母扫地抹桌和洗晾衣服等力家务事（合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体和扇形的圆心角度数． （1）把第一项的条形统计图中各组数据相加得到调查的总人数； （2）用乘以A组人数所占百分比即可； （3）用1800乘以“整理房间”的人数所占的百分比即可； （4）可从日常参与的家务劳动项目少的方面倡议即可． 【小问1详解】 解： 故参与本次抽样调查的学生有200人， 故答案为：200． 【小问2详解】 故扇形统计图中选项“天天参与”对应扇形圆心角度数为． 【小问3详解】 （人）， 该校1800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数为1494人． 【小问4详解】 请各位同学们在家可以多帮助父母扫地抹桌和洗晾衣服等力家务事（合理即可） 19. 如图，在四边形中，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知菱形的对角线，点E、F分别是菱形的边、的中点，连接，若，求菱形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）52 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边的性质，得到，即可证明结论； （2）连接交于点O，，根据三角形中位线定理，得到，由菱形的性质和勾股定理得出，即可求出菱形的周长． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：连接交于点O，如图： ∵点E、F分别是边、的中点，， ∴， ∵、是菱形的对角线，且，， ∴，，． 在中，，． ∴， ∴菱形的周长为：． 20. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若AB＝3，AC＝4，求线段PB的长． 【答案】（1）见解析；（2）PB＝. 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证； （2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P＝∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似；由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理求出BC的长，再由OD垂直平分BC，得到DB＝DC，相似三角形的性质，得比例，求出所求即可． 【详解】（1）证明：∵圆心O在BC上， ∴BC是圆O的直径， ∴∠BAC＝90°， 连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠DAC， ∵∠DOC＝2∠DAC， ∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC， ∵PD∥BC， ∴OD⊥PD， ∵OD为圆O的半径， ∴PD是圆O的切线； （2）∵PD∥BC， ∴∠P＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠P＝∠ADC， ∵∠PBD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°， ∴∠PBD＝∠ACD， ∴△PBD∽△DCA； ∵△ABC为直角三角形， ∴BC2＝AB2+AC2＝32+42＝25， ∴BC＝5， ∵OD垂直平分BC， ∴DB＝DC， ∵BC为圆O的直径， ∴∠BDC＝90°， 在Rt△DBC中，DB2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝25， ∴DC＝DB＝， ∵△PBD∽△DCA， ∴， 则PB＝． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键． 21. 某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，两种水果的进价和售价如下： 品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 甲 a 5 乙 b 7 乙种水果的购进价格比甲种水果高2.5元/斤，如果水果经销店花费700元购进甲种水果，花费2400元购进乙种水果，则购进乙种水果的数量是甲种水果的2倍． （1）求a的值； （2）水果经销店每天购进两种水果共300斤，并在当天都销售完，其中销售甲种水果不少于80斤且不超过120斤，设每天销售甲种水果x斤，当天销售这两种水果总获利W元（销售过程中损耗不计）． ①求出W与x的函数关系式，并确定当天销售这两种水果的最大利润； ②周末水果经销店让利销售，将甲种水果售价降低m元/斤，为了保证当天销售这两种水果总获利的最小值不低于320元，求m的最大值． 【答案】（1） （2）①，最大利润为360元；② 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式． （1）根据“花费700元购进甲种水果，花费2400元购进乙种水果，购进乙种水果的数量是甲种水果的2倍”，列分式方程求解即可； （2）①根据题意可得W与x的函数关系式，再根据一次函数的增减性解答即可； ②根据题意求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质讨论可得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①由题意得：， ∵， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值为360，即最大利润为360元； ②由题意得，， ∵当时，，不合题意， ∴， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，由题意得，， 解得， ∴m的最大值为． 22. 设二次函数（，是常数），已知函数值和自变量部分对应取值如下表所示： （1）若时，求二次函数的表达式； （2）当时，有最小值为，求的值； （3）若，求证：． 【答案】（1）； （2）或； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（）利用表格数据以及待定系数法求解即可； （）由表可知，抛物线经过两点，进而得到抛物线的对称轴为直线,则，即，再分和两种情况解答即可； （）利用二次函数的解析式求出，结合二次函数的对称轴进而得到，利用一次函数的性质即可求证； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由表可知，抛物线经过两点， ∴当或时，, ∴抛物线的对称轴为直线, ∴，即， ∴ ∵当时，y有最小值为， ∴①当，时，函数有最小值， ∴，解得：； ②当，则或时，函数y取得最小值， ∴，； 综上，的值或． 【小问3详解】 证明：由表和二次函数可得， ，，， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的值随的减小而增大， ∴当时，，即． 23. 如图 （1）【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是　 　； （2）如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）【拓展提升】如图，在（）的条件下，连接，则的最小值为　 　． 【答案】（1）； （2），，理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】()证明，即可得到； ()证明，得到，，延长相交于点，可以证明； ()作于，交的延长线于，首先证明点的运动轨迹是线段，将的最小值转化为求的最小值即可求解． 【小问1详解】 解： ∵正方形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，，理由如下： 延长相交于点 ∵矩形、矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作于，交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动轨迹是直线， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为， 由()知，， ∴， ∴， ∴的最小值就是的最小值， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，轴对称最短线段问题，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$