三角恒等变换讲义-2026届高三数学一轮复习

三角恒等变换 课前学习任务 一、必备知识 1．两角和、差公式 (1) 两角和与差的余弦、正弦和正切公式 名称 公式 两角差的余弦 cos(α－β)＝____ 两角和的余弦 cos(α＋β)＝____ 两角和的正弦 sin(α＋β)＝____ 两角差的正弦 sin(α－β)＝____ 两角和的正切 tan(α＋β)＝____ 两角差的正切 tan(α－β)＝____ 说明：正切公式中，α，β，α＋β，α－β≠kπ＋(k∈Z)． (2) 辅助角公式 函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值确定． 2．二倍角公式 S2α sin 2α＝____； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝__cos2α－sin2α__＝____＝____； 降幂公式：cos2α＝____， sin2α＝____ T2α tan 2α＝ *3．半角公式 sin＝±；cos＝±； tan＝±＝＝． 课堂核心考点 考点一 辅助角公式的应用 例1　已知sin＋cosα＝，则cos＝(　　) A．－ B． C．－ D． 变式1　(1) 已知函数f(x)＝3cos x－4sin x，当f(x)取得最大值时，sin x＝(　　) A． B．－ C． D．－ (2) 已知sin＝，则sin＋cos2α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 视角1　给角求值 例 2－1　(1) (人A必一P255复习参考题T13(3))计算：tan 70°cos 10°(tan 20°－1)＝____． (2) 计算：sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝___． 注意：当式子中出现，1，，等数时，要考虑引入特殊角，通过“值变角”化简计算． 变式 2－1　求值：＝____． 视角2　给值求值 例 2－2　已知sin(α＋β)＝3cos(α－β)，tan αtanβ＝－，则tan α＋tan β＝(　　) A．－ B．－5 C． D．12 变式 2－2　已知tan＝，则cos＝(　　) A．－ B． C．－ D． 视角3　给值求角 例 2－3　(1) 已知sin α＝，α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． (2) 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为___． 变式 2－3　已知α，β∈，cos(α－β)＝，tan αtan β＝，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． 考点二 三角恒等式的证明 例3　已知2tan2β＝tan2α－1，求证：sin2α－cos2α＝sin2β． 课后提升练 1．函数f(x)＝sin x－cos x在上的最大值是____． 2．已知α∈，且sin 2α＝－，则cos＝(　　) A．－ B． C． D．－ 3．计算：＋4cos220°＝____． 4．已知θ∈，sin θ＝，则sin＝____；cos＝____． 答案解析 课前学习任务 1. (1) cos αcos β＋sin αsin β　cos αcos β－sin αsin β　sin αcos β＋cos αsin β　sin αcos β－cos αsin β　　 2. 2sin αcos α　cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α 　 课堂核心考点 例1　B　【解析】 因为sin ＋cos α＝sin α－cos α＋cos α＝sin α＋cos α＝sin (α＋)＝，所以cos (2α＋)＝cos ＝1－2sin2(α＋)＝1－2×＝. 变式1　(1)B　【解析】 令f(x)＝3cos x－4sin x＝5＝5cos (x＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，则f(x)＝3cos x－4sin x＝5cos (x＋φ)≤5，当且仅当x＋φ＝2kπ(k∈Z)时等号成立，此时sin x＝sin (－φ)＝－sin φ＝－. (2) D　【解析】 sin ＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＝sin ＝cos ＝cos ＝cos ＝1－2sin2＝. 例2-1　(1)－1　【解析】 原式＝tan 70°cos 10°(－1)＝tan 70°cos 10°·＝tan 70°cos 10°·＝tan 70°cos 10°·＝·cos 10°·＝·＝＝－1. (2) 　【解析】 原式＝cos 20°·cos 40°·cos 80°＝＝＝. 变式2-1　－2　【解析】 原式＝＝＝＝＝＝－2. 例2-2　C　【解析】 由tan αtan β＝－，得＝－，即sin αsin β＝－cos αcos β.又sin (α＋β)＝3cos (α－β)＝3cos αcos β＋3sin αsin β＝3cos αcos β＋3×＝cos αcos β，所以tan α＋tan β＝＋＝＝＝＝. 变式2-2　A　【解析】 因为tan ＝，所以＝， sin2＋cos2＝1，解得sin2＝，所以cos(2α－)＝cos ＝－cos ＝－[1－2sin2(α＋)]＝－＝－. 例2-3　(1)B　【解析】 由题知cos α＝＝.因为tanβ＝－3，且β为钝角，sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝，cos β＝－，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.又0＜α＜，＜β＜π，所以＜α＋β＜，所以α＋β＝. (2) －　【解析】 因为tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝＞0，所以0＜α＜.又因为tan 2α＝＝＝＞0，所以0＜2α＜，所以tan(2α－β)＝＝＝1.又tan β＝－＜0，所以＜β＜π，则－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－. 变式2-3　A　【解析】 因为cos (α－β)＝，tan αtan β＝，所以解得所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝.又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. 例3　【解答】 因为2tan2β＝tan2α－1，所以tan2α＝2tan2β＋1，即＝2×＋1，去分母，得sin2αcos2β＝2cos2αsin2β＋cos2αcos2β.又2cos2αsin2β＋cos2αcos2β＝2cos2α(1－cos2β)＋cos2αcos2β＝2cos2α－cos2αcos2β＝cos2α(2－cos2β)＝cos2α(1＋sin2β)，所以sin2αcos2β＝cos2α(1＋sin2β)，即sin2α(1－sin2β)＝cos2α＋cos2αsin2β，所以sin2α－sin2αsin2β＝cos2α＋cos2αsin2β，于是sin2α－cos2α＝(sin2α＋cos2α)sin2β＝sin2β，故sin2α－cos2α＝sin2β． 变式3　【解答】 sin (A＋B)sin (A－B)＝(sin A cos B＋cos A sin B)(sin A cos B－cos A sin B)＝sin2A cos2B－cos2A sin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2A sin2B－sin2B＋sin2A sin2B＝sin2A－sin2B，即得证． 课后提升练 1．2　【解析】 f(x)＝sin x－cos x＝2sin ，当x∈[0，π]时，x－∈，当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2. 2. A　【解析】 因为sin 2α＝－cos ＝－，所以cos ＝，所以cos ＝cos ＝2cos2(α＋)－1＝，则cos2＝，即cos＝±.由α∈，得2α∈，又sin 2α＝－<0，得2α∈，故α∈，所以α＋∈，则cos (α＋)<0，故cos ＝－. 3. 4　【解析】 ＋4cos220°＝＋2(1＋cos 40°)＝＋2cos 40°＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝4. 4. －　－　【解析】 因为θ∈，且sin θ＝，所以cos θ＝－，∈，所以sin ＝－＝－，cos ＝－＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$