第二十一章 一元二次方程 单元复习讲义2025-2026学年人教版数学九年级上册

九上一元二次方程单元测 知识点1 一元 二次 方程的概念 1． 概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程满足的条件(三要素) （1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）整理后未知数的最高次数是 2． 例1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 例2．已知是一元二次方程，则 ． 3.一般形式： (强调a≠0)．其中 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 4一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。（代入整体思想式子求值） 例3若关于x的一元二次方程有一个根为 ，则m的值为 例4已知m是方程的一个根，则代数式m³-3m²-3m+2022的值为 知识点2：解方程：1.直接配平方法 2.配方法 3.公式法（万能公式） 4.因式分解法 （灵活选用） 1. 直接配平方法：不含一次项或整体思想 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）形式 例5计算（1）4x²=25；         （2） 4（x+1）²-1=15． （3） 4（2x-1）²=9（x+1）² 2.配方法：一次项系数是二次项系数的偶数倍 （式子时求最值） 步骤：一除（系数化1）二移三配四开方 例6用配方法解一元二次方程x²-4x+3=0时，此方程可变形为（      ） A． B． C． D． 例7已知代数式，则A的最小值为 例8计算(1)； (2)； (3)； 3.公式法：①把化成一般形式②确定a、b、c的值；③求出的值（或代数式）； ④若，两根，；若，则方程无解． 例9已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠1 D．a＜－2 例10若关于x的一元二次方程有实数根，则c的取值范围是 ． 例11嘉淇在判断一元二次方程根的情况时，把看成了它的相反数，得到方程有两个相等的实数根，则原方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有一个根是3 例12已知关于的方程 (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程的一个根是2，求的值及方程的另一个根 ． 例13计算(1)； (2）； (3). 4.因式分解法：计算便捷，优先考虑。（①提公因式②公式法③十字相乘法） 例14一元二次方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 例15若，则关于x的方程必有一根是（    ） A． B． C． D． 例16实数x满足方程，则的值等于 ． 例17已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 例18计算(1) （2） (3) 知识点3：根与系数的关系（韦达定理） ①如果方程 有两个实数根，那么 ②如果方程（系数化1）的两个实数根是，那么 例19已知m、n是方程的两实数根，则的值为（   ） A． B． C． D．1 例20若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 例21已知一元二次方程的两根是4和-5，则这个一元二次方程是（      ） A． B． C． D． 例22若方程的一个根为1，则= ，另一个根为 例23已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是 例24若、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 知识点4：实际问题（增长率、面积、利润（销售）、传播、规律、明信片、球赛等） 1.增长率问题： 平均增长率公式为 （a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量．） 平均降低率公式为 （a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量．） 例25种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年3年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．(1)求该种植户每年投资的增长率； (2)按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少万元种植中药材． 2面积问题 例26近年来，宜宾市聚焦打造乡村振兴，某农户要建一个长方形养鸡场，鸡场的边靠墙（墙长度等于9米），另外三边用木栏围成，木栏总长28米，设鸡场边的长为x 米，鸡场面积为y平方米．    (1)养鸡场面积__________（用含x的代数式表示）； (2)当鸡场面积为时，求边的长； (3)若农户想围成的鸡场，可以实现吗？说明理由． 3.利润（销售）问题 例27为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元． 4传播问题 例28.冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人 5.规律探究问题 例29.如图是用棋子摆成的图案    根据图中棋子的排列规律解决下列问题： (1)第4个图形中有__________颗棋子，第个图形中有__________颗棋子； (2)请求出第几个图形中棋子是274颗． 学科网（北京）股份有限公司 $$