同步微点进阶讲义20 三角函数三兄弟-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题五 三角函数 微点20   三角函数三兄弟 三角函数是一类典型的周期函数．在本章的学习中，学会借助单位圆理解任意角三角函数的定义、同角三角函数关系式等．要注重对基本概念的深度理解和对基本公式的灵活运用． 本专题先从以下三类问题开始研究： 1、三角函数的定义 2、同角三角函数的关系 3、综合应用 首先学会利用定义计算任意角的三角函数值，判定三角函数值的正负，其次要掌握由定义生成的同角三角函数关系式，并利用同角三角函数关系式进行化简与求值． 探究一　三角函数定义 若为角终边上的任意点，记，则． 【典例1】（1）已知角的终边与单位圆交于点，求的值； （2）已知角的终边在直线上，求的值． 【思路引导】直接利用单位圆及三角函数的定义计算即可. 【详细解析】（1）由题意得，所以． （2）在角的终边上任取一点，则． 当时，， 当时， 【题后反思】对于点在直线上需要讨论所属象限再利用定义计算相应三角函数值. 【举一反三】 1．已知． (1)求角的集合； (2)判断的符号． 【典例2】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则等于（    ） A．    B．    C．    D．1 【思路引导】利用定义，根据终边点的坐标比值得到三角函数值，列方程并解方程．可以直接代入，或者“化弦为切”，用表示． 【详细解析】方法1：由已知可得， 代入，得解得或所以. 故选：B． 方法2：由已知可得，所以①．由，得， 所以，所以②．由②解得，由①②可得. 故选B． 【题后反思】基于相似性，任意角的三角函数值与终边上点的位置无关，即终边上任取一点得到的坐标比值不变．反之，给定任意角，我们可以写出角终边上一点坐标． 【举一反三】 2．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 探究二　同角三角函数的关系 同角三角函数有平方关系与商数关系两个，平方关系通常在由弦求弦问题中，商数关系则通常在弦切互化中使用，而弦切转化通常构造齐次式，即构造一个等式的左右次数相等，比如（或），或者分子分母次数相等，比如等． 【典例3】已知， （1）求的值； （2）求的值． 【思路引导】观察式子结构，由于已知正切值，可构造齐次式将弦化为切计算. 【详细解析】（1）原式． （2）原式． 【题后反思】（1）中分子分母都是二次，称为二次齐次式．解这类问题的一般方法是分子分母同除以，将其转化为求解；（2）利用，把整式变为分式，再分子分母同除以． 【举一反三】 3．已知，求函数的最小值． 【典例4】若，则的取值范围是（     ） A．     B． C．     D． (以上) 【思路引导】根据，左边式子上下分子，分母分别乘，，所以cosx<0,解出x的取值范围即可 【详细解析】因为，所以， 所以cosx<0,解得： （以上） 故选：D 【题后反思】关键在于利用同角三角函数的平方关系化简三角函数等式，得出余弦函数的符合再求解x取值范围. 【举一反三】 4．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 探究三　综合应用 在同角三角函数的基本关系中：（或），它们之间有紧密联系． （1）和积转换：． （2）弦切转换：． 【典例5】已知，则______． 【思路引导】法一、利用平方关系和积差相互转化，解方程得正余弦值，再计算正切；法二，平方构造齐次式，再求切. 【详细解析】（方法1）因为，所以，则． 因为，所以．故， 所以．所以． （方法2）同方法1，得，所以． 化齐次，得，即，解得或． 又．所以，所以． 【题后反思】再弦切转化或求值时，特别要注意计算角的范围从而确定函数值符号. 【举一反三】 5．已知，是关于的方程的两个根，求的值． 【典例6】（多选题）已知，则下列式子成立的是（ ） A．  B．  C．    D． 【思路引导】对原式进行切化弦，整理可得：，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详细解析】∵， ， 整理得， ∴， 即， 即，∴C、D正确. 故选：CD 【题后反思】观察问题与已知条件，可知需切化弦，灵活运用平方关系结合分解因式化简即可判定选项. 【举一反三】 6．已知，则的最大值为 7．已知，则 A． B． C． D．2 8．若，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 9．若，则 ． 10．角α终边上的点P与A(a，2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ的值. 11．已知，求． 12．在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的问题中，并求解.已知角A为锐角，___________. （1）求角A的大小； （2）求的值. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题五 三角函数 微点20   三角函数三兄弟 三角函数是一类典型的周期函数．在本章的学习中，学会借助单位圆理解任意角三角函数的定义、同角三角函数关系式等．要注重对基本概念的深度理解和对基本公式的灵活运用． 本专题先从以下三类问题开始研究： 1、三角函数的定义 2、同角三角函数的关系 3、综合应用 首先学会利用定义计算任意角的三角函数值，判定三角函数值的正负，其次要掌握由定义生成的同角三角函数关系式，并利用同角三角函数关系式进行化简与求值． 探究一　三角函数定义 若为角终边上的任意点，记，则． 【典例1】（1）已知角的终边与单位圆交于点，求的值； （2）已知角的终边在直线上，求的值． 【思路引导】直接利用单位圆及三角函数的定义计算即可. 【详细解析】（1）由题意得，所以． （2）在角的终边上任取一点，则． 当时，， 当时， 【题后反思】对于点在直线上需要讨论所属象限再利用定义计算相应三角函数值. 【举一反三】 1．已知． (1)求角的集合； (2)判断的符号． 【答案】(1) (2)正号 【分析】（1）根据三角函数值的符号，确定角的终边所在位置. （2）先分情况讨论的终边所在位置，再确定它的三角函数值的符号即可. 【详解】（1）由，知在第三、四象限或轴的非正半轴上； 由，知在第一、三象限， 故角在第三象限，其集合为． （2）由，得， 故的终边在第二、四象限． 当在第二象限时，，所以取正号； 当在第四象限时，，所以也取正号． 综上，取正号． 【典例2】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则等于（    ） A．    B．    C．    D．1 【思路引导】利用定义，根据终边点的坐标比值得到三角函数值，列方程并解方程．可以直接代入，或者“化弦为切”，用表示． 【详细解析】方法1：由已知可得， 代入，得解得或所以. 故选：B． 方法2：由已知可得，所以①．由，得， 所以，所以②．由②解得，由①②可得. 故选B． 【题后反思】基于相似性，任意角的三角函数值与终边上点的位置无关，即终边上任取一点得到的坐标比值不变．反之，给定任意角，我们可以写出角终边上一点坐标． 【举一反三】 2．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】确定点Q的初始位置，由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值对比选项即可得解. 【详解】由题意，点Q的初始位置的坐标为，锐角， 设t时刻两点重合，则,即， 此时点， 即， 当时，，故A正确； 当时，，即，故B正确； 当时，，即，故D正确. 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合. 故选：ABD. 探究二　同角三角函数的关系 同角三角函数有平方关系与商数关系两个，平方关系通常在由弦求弦问题中，商数关系则通常在弦切互化中使用，而弦切转化通常构造齐次式，即构造一个等式的左右次数相等，比如（或），或者分子分母次数相等，比如等． 【典例3】已知， （1）求的值； （2）求的值． 【思路引导】观察式子结构，由于已知正切值，可构造齐次式将弦化为切计算. 【详细解析】（1）原式． （2）原式． 【题后反思】（1）中分子分母都是二次，称为二次齐次式．解这类问题的一般方法是分子分母同除以，将其转化为求解；（2）利用，把整式变为分式，再分子分母同除以． 【举一反三】 3．已知，求函数的最小值． 【答案】4 【分析】利用正余弦齐次式法变形函数，再换元并借助二次函数求出最小值. 【详解】当时，，设，则， 则，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为4. 【典例4】若，则的取值范围是（     ） A．     B． C．     D． (以上) 【思路引导】根据，左边式子上下分子，分母分别乘，，所以cosx<0,解出x的取值范围即可 【详细解析】因为，所以， 所以cosx<0,解得： （以上） 故选：D 【题后反思】关键在于利用同角三角函数的平方关系化简三角函数等式，得出余弦函数的符合再求解x取值范围. 【举一反三】 4．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由三角函数定义得，再由同角三角函数的基本关系建立方程组求解正、余弦，代入式子化简可得. 【详解】由角的终边在直线，则， 联立解得或； 终边落在第一象限时，，此时， 则； 终边落在第三象限时，，此时， 则； 综上所述，的值为或. 故选：BD. 探究三　综合应用 在同角三角函数的基本关系中：（或），它们之间有紧密联系． （1）和积转换：． （2）弦切转换：． 【典例5】已知，则______． 【思路引导】法一、利用平方关系和积差相互转化，解方程得正余弦值，再计算正切；法二，平方构造齐次式，再求切. 【详细解析】（方法1）因为，所以，则． 因为，所以．故， 所以．所以． （方法2）同方法1，得，所以． 化齐次，得，即，解得或． 又．所以，所以． 【题后反思】再弦切转化或求值时，特别要注意计算角的范围从而确定函数值符号. 【举一反三】 5．已知，是关于的方程的两个根，求的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，结合同角的三角函数关系式中的平方和关系进行求解即可. 【详解】由题意有，所以或， 又， 则，从而或（舍去）， 因此． 所以 ， 所以. 【典例6】（多选题）已知，则下列式子成立的是（ ） A．  B．  C．    D． 【思路引导】对原式进行切化弦，整理可得：，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详细解析】∵， ， 整理得， ∴， 即， 即，∴C、D正确. 故选：CD 【题后反思】观察问题与已知条件，可知需切化弦，灵活运用平方关系结合分解因式化简即可判定选项. 【举一反三】 6．已知，则的最大值为 【答案】 【分析】由已知求得，可得，利用同角三角函数基本关系可得，利用二次函数性质即可求解. 【详解】， ，，即 又， 利用二次函数的性质知，当时， 故答案为： 7．已知，则 A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】由 可得 ， ，故选D. 8．若，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】判断出、的符号，由此可判断出角的终边所在的象限. 【详解】，，又，则. 因此，角为第三象限角. 故选：C. 【点睛】本题考查象限角的判断，考查推理能力，属于基础题. 9．若，则 ． 【答案】 【分析】把已知等式两边平方可得的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果. 【详解】由已知得，则，所以． 所以． 故答案为：. 10．角α终边上的点P与A(a，2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ的值. 【答案】－1. 【分析】先根据对称性要求求出点P、Q，然后由三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，点Q的坐标为(2a，a). 所以，sinα＝，cosα＝，tanα＝； sinβ＝，cosβ＝，tanβ＝. 故有sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ＝. 故答案为：. 11．已知，求． 【答案】2 【分析】利用结合齐次式可得的值. 【详解】由题意得， ∴， 化简得，解得． 12．在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的问题中，并求解.已知角A为锐角，___________. （1）求角A的大小； （2）求的值. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】（1）利用同角的三角函数的基本关系式可求的三角函数值，从而得到角的大小. （2）利用诱导公式可求三角函数式的值. 【详解】若选①， （1）由可得， 因为为锐角，故. （2）. 若选②， （1）由，故， 故或（舍）， 因为为锐角，故. （2）. 若选③， （1）由可得，因为为锐角，故， 故. （2）. 【点睛】方法点睛：（1）利用同角的三角函数基本关系式化简时，常见的方法有弦切互化法、“1的代换”等，注意根据三角函数式的特征选择合适的方法. （2）使用诱导公式化简三角函数式，注意函数名是否改变，三角函数式的符号是否改变. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$